2025年外研版三年级起点高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(b)＝M，f(a)＝－M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在区间[a，b]上()A.是增函数B.是减函数C.可取得最大值MD.可取得最小值－M2、下列关系中，不正确的是A.B.C.D.3、角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点则cosθ=（）A.B.C.D.4、【题文】已知集合A={直线}，B={双曲线}，则中元素个数为（）A.0B.1C.2D.0或1或25、四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（）A.f1（x）=x2B.f2（x）=4xC.f3（x）=log2xD.f4（x）=2x6、动圆P和圆C1：（x+1）2+y2=外切和圆C2：（x﹣2）2+y2=内切，那么动圆圆心P和已知两圆的圆心C1、C2构成三角形PC1C2的周长等于（）A.5B.6C.7D.87、已知函数f（x）=ex﹣e﹣x，e为自然对数的底，则下列结论正确的是（）A.f（x）为奇函数，且在R上单调递增B.f（x）为偶函数，且在R上单调递增C.f（x）为奇函数，且在R上单调递减D.f（x）为偶函数，且在R上单调递减8、如图，▱ABCD中，==则下列结论中正确的是（）A.+=-B.+=C.=+D.-=+评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°，则此三角形解的个数为____．10、给出下列四个命题：

①函数f（x）=2x-x2有且仅有两个零点；

②对于函数f（x）=lnx的定义域中任意的x1，x2（x1≠x2）必有

③已知f（x）=|2-x-1|，当a＜b时有f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；

④已知图象连续不断的函数y=f（x）在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次．

其中正确命题的序号是____．11、一个算法如下：第一步：取值取值第二步：若不大于则执行下一步；否则执行第六步；第三步：计算且将结果代替第四步：用结果代替第五步：转去执行第二步；第六步：输出则运行以上步骤输出的结果为____．12、【题文】如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为则下列命题正确的是____（写出所有正确命题的编号）.

①当时，为四边形。

②当时，为等腰梯形。

③当时，与的交点满足

④当时，为六边形。

⑤当时，的面积为13、【题文】三个函数①②③中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是____.14、已知集合A={x|0＜x≤2，x∈Z}，则集合A的子集个数______．15、一个半径为r的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形所对圆心角的度数为______．16、若0<娄脕<娄脨2,鈭�娄脨2<娄脗<0cos(娄脨4+娄脕)=13cos(娄脨4鈭�娄脗2)=33

则cos(娄脕+娄脗2)=

______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．19、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

20、请画出如图几何体的三视图．

21、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．22、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、证明题(共2题，共20分)23、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．24、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、综合题(共4题，共28分)25、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．26、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．27、如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=BC；AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．

（1）设BE为x；DF为y，试用x的式子表示y．

（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．28、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】【解析】试题分析：∵函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=－M，f（b）=M∴M＞0且区间[a，b]关于原点对称，从而函数函数f（x）为奇函数φ=2kπ，∴函数g（x）=Mcos（ωx+φ）=Mcoswx在区间[a，0]是增函数，[0，b]减函数，∴函数g（x）=Mcos（ωx+φ）在区间[a，b]上取得最大值M，故选C．考点：正弦函数、余弦函数的图象及性质【解析】【答案】C2、D【分析】【解析】试题分析：选项A中，由于0是自然数，那么说明正确。选项B中，因为是无理数，那么正确。选项C中，空集是任何集合的子集，成立。选项D，左边是元素，右边是空集，根据空集的定义，它是没有任何元素的集合，显然不成立。故选D。考点：本题主要考查了集合的概念和集合间的关系的运用。【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】

因为角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点所以tanθ=点在第一象限，则可以得到cosθ=选B【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】本题考查集合的交集运算。

集合是一次曲线；而B={双曲线}是二次曲线，故

即中元素的个数为

故正确答案为【解析】【答案】A5、D【分析】【解答】根据题意最终跑在最前面的人一为f值最大的函数。

通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，D中，f4（x）=2x增长最快。

故选D

【分析】根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．6、B【分析】【解答】解：由圆C1：（x+1）2+y2=和圆C2：（x﹣1）2+y2=

得到C1（﹣1，0），半径r1=C2（1，0），半径r2=

设圆P的半径为r；

∵圆P与C1外切而又与C2内切；

∴PC1=r+PC2=﹣r；

∴PC1+PC2=（r+）+（﹣r）=2a=4，又C1C2=2c=2；

∴a=2；c=1；

∴圆心P在焦点在x轴上；且长半轴为4的椭圆上。

∴动圆圆心P和已知两圆的圆心C1、C2构成三角形PC1C2的周长等于2a+2c=6．

故选：B．

【分析】由两圆的方程分别找出圆心C1与C2的坐标，及两圆的半径r1与r2，设圆P的半径为r，根据圆P与C1外切，得到圆心距PC1等于两半径相加，即PC1=r+又圆P与C2内切，得到圆心距PC2等于两半径相减，即PC2=﹣r，由PC1+PC2等于常数2a，C1C2等于常数2c，可得出圆心P在焦点在x轴上，且长半轴为a，短半轴为b的椭圆上，即可得出结论．7、A【分析】【解答】解：f（x）的定义域为R；

f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x）；

∴f（x）为奇函数；

x增加时，e﹣x减小，﹣e﹣x增加，且ex增加；∴f（x）增加；

∴f（x）在R上单调递增．

故选A．

【分析】可先得出f（x）的定义域为R，求f（﹣x）=﹣f（x），从而得出f（x）为奇函数，根据指数函数的单调性便可看出x增大时，f（x）增大，从而得到f（x）在R上单调递增，这样便可找出正确选项．8、D【分析】解：∵由图形可知A：+=A显然不正确；

由平行四边形法则知B：+=2+B也不正确；

故C不正确；

D中-=+正确．

故选D．

结合平行四边形可以看出以平行四边形的边做向量；所得到向量之间的关系，依据是平行四边形的一对对边平行且相等，得到相等向量和相反向量．

本题考查相等向量和相反向量，以及向量的加法、减法及其几何意义，是一个借助于平行四边形的边之间的关系来解题的，是一个基础题，只要认真就没有问题．【解析】【答案】D二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

∵△ABC中，a=18，b=24；A=45°；

∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得182=242+c2-2×24ccos45°；

化简整理，得c2-24c+252=0，解之得c=12±15

因此，△ABC的三条边分别为：a=18、b=24、c=12-15，或a=18、b=24、c=12+15

可得此三角形解的个数有2个。

故答案为：2

【解析】【答案】根据余弦定理，建立a2关于b、c和cosA的式子，得到关于边c的一元二次方程，解之得c=12±15．由此可得此三角形有两解；得到本题的答案．

10、略

【分析】

∵f（-1）＜0；f（0）＞0，故函数f（x）在（-1，0）上有一个零点，又∵f（2）=f（4）=0，故函数f（x）至少有三个零点，故①错误；

若任意的x1，x2（x1≠x2）必有则函数f（x）为凹函数，但函数f（x）=lnx为凸函数，故②错误；

∵f（x）=|2-x-1|在（-∞，0]上为减函数，在[0，+∞）上为增函数，故当a＜b时有f（a）＜f（b）时，b＞0，则必有0＜f（b）＜1；故③正确；

设须计算n次，则n满足=＜0.0001，即2n＞1000．由于29=512＜1000，210=1024＞1000，那么将区间（a，b）等分的次数至少是10次；即④正确．

故答案为：③④

【解析】【答案】①根据零点存在定理可判断出f（x）在（-1，0）上有一个零点，结合2，4也是函数f（x）=2x-x2的零点；可判断①的真假；

②根据函数的凹凸性；可判断②的真假；

③根据指数函数的图象和性质及函数图象的平移变换和对折变换法则，分析出f（x）=|2-x-1|的图象和性质；可判断③的真假．

④根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足＜精确度确定等分次数；可判断④的真假；

11、略

【分析】【解析】试题分析：从第三步：计算且将结果代替可以看出，此算法是求和，由第四步：用结果代替知是求连续奇数的和，由第二步：若不大于则执行下一步；否则执行第六步；等，可知，此算法用于计算考点：本题主要考查程序框图功能的识别。【解析】【答案】2512、略

【分析】【解析】（1）S等腰梯形，②正确，图如下：

（2）S是菱形，面积为⑤正确，图如下：

（3）画图如下：③正确。

（4）如图是五边形，④不正确；

（5）如下图，是四边形，故①正确。

【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面.【解析】【答案】①②③⑤13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】③14、略

【分析】解：∵A={x|0＜x≤2；x∈Z}={1，2}；

∴对应的子集为∅；{1}，{2}，{1，2}，共4个．

故答案为：4．

根据条件求出集合A；利用子集的关系即可得到结论．

本题主要考查集合子集个数的判断，比较基础．【解析】415、略

【分析】解：设圆心角为θ，半径为r；弧长为l；

由题意得2r+l=πr，解得l=（π-2）r；

可得：圆心角θ==π-2．

故答案为：（π-2）rad．

设圆心角为θ，半径为r；弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角即可．

本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，属基础题．【解析】（π-2）rad16、略

【分析】解：隆脽0<娄脕<娄脨2,鈭�娄脨2<娄脗<0

隆脿娄脨4<娄脨4+娄脕<3娄脨4,娄脨4<娄脨4鈭�娄脗2<娄脨2

隆脽cos(娄脨4+娄脕)=13cos(娄脨4鈭�娄脗2)=33

隆脿sin(娄脨4+娄脕)=223sin(娄脨4鈭�娄脗2)=63

隆脿cos(娄脕+娄脗2)=cos[(娄脨4+娄脕)鈭�(娄脨4鈭�娄脗2)]=13隆脕33+223隆脕63=539

故答案为：539

根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据cos(娄脕+娄脗2)=cos[(娄脨4+娄脕)鈭�(娄脨4鈭�娄脗2)]

可求cos(娄脕+娄脗2)

的值．

本题考查角的变换，考查差角余弦公式的运用，解题的关键是进行角的变换．【解析】539

三、作图题(共6题，共12分)17、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．18、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．20、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．22、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、证明题(共2题，共20分)23、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．24、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．五、综合题(共4题，共28分)25、略

【分析】【分析】（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=；故可得出结论；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四边形BEFC，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．【解析】【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC的边AB上的高为h．

∵S△ADC=AD•h，S△BDC=BD•h，S△ABC=AB•h；

∴=，=；

又∵点D为边AB的黄金分割点；

∴=；

∴=；

∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

设直线EF与CD交于点G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四边形AFGD+S△FCG=S四边形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四边形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．26、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）