2025年新科版九年级数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年新科版九年级数学上册月考试卷825考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知是非零向量，与同方向的单位向量记作，则下列式子中，正确的是（）A.B.C.D.2、已知三角形三边长a，b，c都是整数，并且a≤b＜c，若b=7，那么这样的三角形共有（）个．A.21B.28C.49D.143、两个相似三角形，他们的周长分别是36

和12.

周长较大的三角形的最大边为15

周长较小的三角形的最小边为3

则周长较大的三角形的面积是(

)

A.52

B.54

C.56

D.58

4、【题文】与如图所示的三视图对应的几何体是()5、要做一个母线10分米，底面圆的直径为3分米的圆锥形漏斗（接缝处不计），则需要扇形铁皮的圆心角是（）A.30°B.60°C.45°D.90°评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、（1）边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图1所示阴影部分），则这个风筝的面积是____．

（2）如图2，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是____．

7、计算：1+=____．8、如图，正方形ABCD边长为1，动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为____；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为____（用含自然数n的式子表示）．

9、请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．10、若关于的方程-+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是____11、已知△ABC中，∠A=30°，BC=2，则△ABC的外接圆半径为.12、已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），若AB=2，则AP﹣BP=____评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)13、三角形三条角平分线交于一点14、有理数是正数和负数的统称．____（判断对错）15、两个正方形一定相似．____．（判断对错）16、1+1=2不是代数式．（____）17、锐角三角形的外心在三角形的内部．()18、到角的两边距离相等的点在角的平分线上.评卷人得分四、解答题(共4题，共16分)19、如图；在Rt△ABC中，E为CD的中点，FG∥AC．

（1）若BD=DA；试探究AG与BF数量关系；

（2）若BD=kDA，AG与BF数量关系如何，加以证明．20、在日历上任意圈出一竖列上的4个数，如果这4个数的和是54，那么这4个数是多少呢？如果这4个数的和是70，那么这4个数是多少呢？你能否找到一种最快的方法，马上说出这4个数是多少？21、已知二次函数图象的顶点为A（3，-2），且过点P（1，0），求这个函数的解析式．22、解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．

评卷人得分五、其他(共3题，共30分)23、物理课上，小华向老师提了一个问题：某电路如图所示，已知R2=（R1+2）Ω，R3=4Ω，这个电路的总电阻为7Ω，试求R1，R2．24、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（min）之间满足：y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），求当y=59时所用的时间．25、某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．

（1）若某户2月份用电90千瓦时；超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）

（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况：。月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？评卷人得分六、综合题(共2题，共18分)26、如图1．已知正方形ABCD的边长为1；点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连结PQ；DQ、CQ、BQ，设AP=x．

（1）BQ+DQ的最小值是____．此时x的值是____．

（2）如图2；若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD=90°．

①求证：点E是CD的中点；②求x的值．

（3）若点P是射线AD上的一个动点；请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．

27、如图，直线y=-x+5与x、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线AB上；且经过另一点（2，3）

（1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线与x轴的负半轴交于点C；在直线y=-x+5有一点E，使△ABO与△ACE相似，求出点E的坐标．

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使△APC的面积等于△ACE的面积？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【分析】单位向量是指模等于1的向量．由于是非零向量；单位向量具有确定的方向．

一个非零向量除以它的模；可得与其方向相同的单位向量．

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．【解析】【解答】解：A、||•=；原式计算错误，故本选项错误；

B、•=；原式计算错误，故本选项错误；

C、||•=；原式计算正确，故本选项正确；

D、=||；原式计算错误，故本选项错误；

故选C．2、A【分析】【分析】根据已知条件首先可以得到a的可能值有1，2，3，4，5，6，7，再根据三角形的三边关系可以得到c的值．【解析】【解答】解：根据已知；得。

a的可能值有1；2，3，4，5，6，7．

根据三角形的三边关系；得。

当a=1时；则c不存在；

当a=2时；则c=8；

当a=3时；则c=8，9；

当a=4时；则c=8，9，10；

当a=5时；则c=8，9，10，11；

当a=6时；则c=8，9，10，11，12；

当a=7时；则c=8，9，10，11，12，13．

则这样的三角形有21个．

故选A．3、B【分析】解：隆脽

两相似三角形的周长分别是36

和12

隆脿

相似比为31

隆脽

周长较大的三角形的最大边为15

周长较小的三角形的最小边为3

隆脿

周长较大的三角形的最小边为9

周长较小的三角形的最大边为5

隆脿

周长较大的三角形的第三条边为12

隆脿

两个三角形均为直角三角形。

隆脿

周长较大的三角形的面积=12隆脕9隆脕12=54

故选B．

根据已知先求得两相似三角形的相似比；然后根据相似比可求得较大的三角形的三边的长，根据其边长判定三角形为直角三角形，从而不难求得其面积．

此题主要考查学生对相似三角形的性质及三角形面积公式的运用能力．【解析】B

4、B【分析】【解析】

试题分析：如图所示的三视图中的第三个是几何体的俯视图；而B；D中的几何体的俯视图与之吻合，所以排除A、C；B、D中几何体的正视图，与如图所示的第一个图形相符的只有B

考点：三视图。

点评：本题考查三视图，要求考生掌握三视图的概念，会读几何体的三视图【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】解：设扇形铁皮的圆心角为n°；

根据题意得解得n=60；

所以需要扇形铁皮的圆心角是60°．

故选B．

【分析】设扇形铁皮的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到然后解方程即可．二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】【分析】（1）设B′C′与CD相交于点E；然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AB′E全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAB′=∠EAD，再根据旋转角求出∠BAB′=30°，再解直角三角形求出ED的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；

（2）延长AB′，根据正方形的对角线平方一组对角与旋转角是45°可知AB′经过点C，然后判定△OCB′是等腰直角三角形，然后设OD=OB′=x，在Rt△OCB′中，根据等腰直角三角形的性质列式计算求出x，从而得解．【解析】【解答】解：（1）如图；设B′C′与CD相交于点E；

在Rt△ADE和Rt△AB′E，；

∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL）；

∴∠EAB′=∠EAD；

∵旋转角为30°；

∴∠BAB′=30°；

∴∠EAD=（90°-30°）=30°；

在Rt△ADE中，ED=ADtan30°=1×=，

∴这个风筝的面积=2×S△ADE=2××1×=；

（2）延长AB′；∵旋转角为45°；

∴延长AB′经过点C；

∴△OCB′是等腰直角三角形；

设OD=OB′=x；

则OC=OB′=x；

∴CD=x+x=1；

解得x==-1；

∴四边形AB′OD的周长=2（1+-1）=2．

故答案为：（1），（2）2．7、略

【分析】

1+=．故答案为．

【解析】【答案】把1=然后进行加法运算．

8、略

【分析】

根据题意：正方形ABCD边长为1；动点P从A点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，2009除以4的余数是1；

故点P所在位置为点B；

当点P所在位置为D点时；点P的运动路程为4n+3或4n-1．

【解析】【答案】根据已知发现存在的规律；按规律进行解题即可．

9、略

【分析】

如图；以圆心为坐标原点，要想经过点多，半径必须为整数；

在xy轴上必然有四个点；而在别的点作x轴的垂线并与圆心连接构成的一定是一个直角三角形；

而根据勾股定理；符合这一条件的只有3；4、5这三个数；

所以半径是5；其它各点是（3，4），（4，3），（-3，4），（-4，3），（3，-4），（4，-3），（-3，-4），（-4，-3），所以共有12个点．

【解析】【答案】要想经过点多；半径必须为整数，再画图直观的看一下即可．

10、略

【分析】【解析】

由一元一次方程的定义得m-2=1，即m=3，则这个方程是3x=0，解得：x=0．【解析】【答案】011、略

【分析】试题分析：设△ABC的外接圆为⊙O，连接OB、OC，根据圆周角定理可知∠BOC=2∠A=60°，可知△BOC为等边三角形，OB=BC=2．考点：三角形的外接圆，圆周角定理【解析】【答案】212、2﹣4【分析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB=﹣1；

则BP=2﹣AP=3﹣

∴AP﹣BP=（﹣1）﹣（3﹣）=2﹣4；

故答案为：2﹣4．

【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．三、判断题(共6题，共12分)13、√【分析】【解析】试题分析：根据三角形的角平分线的性质即可判断，若动手操作则更为直观.三角形三条角平分线交于一点，本题正确.考点：角平分线的性质【解析】【答案】对14、×【分析】【分析】根据有理数的定义可以判断题目中的语句是否正确．【解析】【解答】解：有理数是正数；0和负数的统称；故题干的说法是错误的．

故答案为：×．15、√【分析】【分析】根据相似多边形的性质进行解答即可．【解析】【解答】解：∵正方形的四条边都相等；四个角都是直角；

∴两个正方形一定相似．

故答案为：√．16、√【分析】【分析】本题中的1+1=2为等式，不是代数式，即可求出答案．【解析】【解答】解：根据分析可知：1+1=2为等式；不为代数式，故正确．

故答案为：√．17、√【分析】【解析】试题分析：根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点即可判断.锐角三角形的外心在三角形的内部，本题正确.考点：三角形的外心【解析】【答案】对18、√【分析】【解析】试题分析：根据角平分线的判定即可判断.到角的两边距离相等的点在角的平分线上，本题正确.考点：角平分线的判定【解析】【答案】对四、解答题(共4题，共16分)19、略

【分析】【分析】（1）过点B作BN∥AC，与AF延长线交于N，过D作DM∥AC，由AE是Rt△ACD斜边的中线，得到AE=CE=DE，推出△ACE∽△FGE，得到△EFG是等腰三角形，证得AF=CG，推出△AGC≌△CFA，根据全等三角形的性质得到AG=CF，根据平行线的性质得到∠EAC=∠EMD，推出△AEC≌△MED，证得AC=MD，根据相似三角形的性质得到，求得；根据相似三角形的性质即可得到结论；

（2）设DA=a，则BD=ka，则AB=（1+k）a，推出，于是得到，证得，即BF=（1+k）CF，于是得到结论．【解析】【解答】解：（1）BF=2AG；

证明：过点B作BN∥AC；与AF延长线交于N，过D作DM∥AC；

∵AE是Rt△ACD斜边的中线；

∴AE=CE=DE；

∵FG∥AC；

∴△ACE∽△FGE；

∴△EFG是等腰三角形；

∴EF=EG；

∴AE+EF=CE+EG；

∴AF=CG；

在△AGC和△CFA中，；

∴△AGC≌△CFA；

∴AG=CF；DM∥BN∥AC；

∴∠EAC=∠EMD；

在△AEC与△MED中，；

∴△AEC≌△MED；

∴AC=MD；

∴△AMD∽△ANB；

∴；

∴；

∴△ACF∽△NBF；

∴；

∴BF=2CF=2AG；

（2）BD=kDA；设DA=a；

则BD=ka；则AB=（1+k）a；

∴；

即；

∴；

即BF=（1+k）CF；

∴BF=（k+1）AG．20、略

【分析】【分析】日历上竖列上相邻的4个数依次相差为7，因此可设最小的数是x，依次是x+7，x+14，x+21，根据和是54，70，可列方程求解．【解析】【解答】解：设最小的数是x；

x+x+7+x+14+x+21=54；

4x=12；

x=3；

3+7=10；3+14=17，3+21=24．

所以如果这4个数的和是54；那么这4个数是3，10，17，24；

同理x+x+7+x+14+x+21=70；

4x=28；

x=7；

7+7=14；7+14=21，7+21=28．

所以如果这4个数的和是70；那么这4个数是7，14，21，28．

由以上可知：最小数=（这4个数的和-42）÷4，再将最小数依次加上7，14，21，可得另外三个数．21、略

【分析】【分析】根据已知条件可以设二次函数的解析式为顶点式方程y=a（x-3）2-2（a是常数，且a≠0）．然后将点P的坐标代入求得a的值即可．【解析】【解答】解：∵二次函数图象的顶点为A（3；-2）；

∴设二次函数的解析式为顶点式方程y=a（x-3）2-2（a是常数；且a≠0）；

又∵该函数的图象过点P（1；0）；

∴0=a（1-3）2-2；

解得，a=；

∴该二次函数的解析式是：y=（x-3）2-2，或y=x2-3x+．22、略

【分析】

解不等式①得x＜-1；解不等式②得x≥-4．

∴原不等式组的解集为-4≤x＜-1．

在数轴上表示如图．

【解析】【答案】首先解不等式组中的每个不等式；然后确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集．

五、其他(共3题，共30分)23、略

【分析】【分析】根据物理知识，R1，R2并联的电阻为：R=，与R3串联后的总电阻为：R+R3=7．【解析】【解答】解：由电路图可知：R1，R2并联后与R3串联；由串并联电路可知：

R1，R2并联的电阻为：

R==①；

与R3串联后的总电阻为：R3+R=4+R=7；②

R2=（R1+2）Ω；③

由①②③可求的：

；

．24、略

【分析】【分析】将59代入y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），求解即可．【解析】【解答】解：由题意可得；

-0.1x2+2.6x+43=59；

解得x=10；x=16；

经检验均是方程的解．

因此当y=59时所用的时间是10或16分钟．25、略

【分析】【分析】（1）由于超过部分要按每千瓦时元收费，所以超过部分电费（90-A）•元；化简即可；

（2）依题意，得：（80-A）•=15，解方程即可．此外从表格中知道没有超过45时，电费还是10元，由此可以舍去不符合题意的结果．【解析】【解答】解：（1）超过部分电费=（90-A）•=-A2+A；

答：超过部分电费为（-A2+A）元．

（2）依题意得（80-A）•=15；

解之得，A1=30，A2=50．

∵A应大于45千瓦时；

A=30千瓦时舍去；

答：电厂规定的A值为50千瓦时．六、综合题(共2题，共18分)26、略

【分析】【分析】（1）BQ+DQ为点B到D两段折线的和．由两点间线段最短可知，连接DB，若Q点落在BD上，此时和最短，且为．考虑动点运动，这种情形是存在的，由AP=x，则PD=1-x，PQ=x．又PDQ=45°，所以，即1-x=．求解可得x=．

（2）由已知条件对称分析；AB=BQ=BC，则∠BCQ=∠BQC，由∠BQE=∠BCE=90°，可得∠EQC=∠ECQ．那么若有QE=ED，则结论可证．再分析新条件∠CQD=90°，易得①结论．求x，通常都是考虑勾股定理，选择直角三角形PDE，发现PE，DE，PD都可用x来表示，进而易得方程，求解即可．

（3）若△CDQ为等腰三角形，则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边．又Q点为A点关于PB的对称点，则AB=QB，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，则Q点只能在弧AB上．若CD为腰，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为腰）的Q点．若CD为底边，则作CD的垂直平分线，其与弧AC的交点即为使得△CDQ为等腰三角形（CD为底）的Q点．则如图所示共有三个Q点，那么也共有3个P点．作辅助线，利用直角三角形性质求之即可．【解析】【解答】（1）答：，．

（2）①证明：在正方形ABCD中；

AB=BC；∠A=∠BCD=90°．

∵Q点为A点关于BP的对称点；

∴AB=QB；∠A=∠PQB=90°；

∴QB=BC；∠BQE=∠BCE；

∴∠BQC=∠BCQ；

∴∠EQC=∠EQB-∠CQB=∠ECB-∠QCB=∠ECQ；

∴EQ=EC．

在Rt△QDC中；

∵∠QDE=90°-∠QCE；

∠DQE=90°-∠EQC；

∴∠QDE=∠DQE；

∴EQ=ED；

∴CE=EQ=ED；即E为CD的中点．

②解：∵AP=x；AD=1；

∴PD=1-x；PQ=x，CD=1．

在Rt△DQC中；

∵E为CD的中点；

∴DE=QE=CE=；

∴PE=PQ+QE=x+；

∴；

解得x=．

（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2-，，2+．

（分析如下：以下内容作答不要求书写）

如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．

作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．

以下对此Q1，Q2，Q3．分别讨论各自的P点；并求AP的值．

①讨论Q1，如图作辅助线，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1；作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ1为等边三角形；正方形ABCD边长为1；

∴，．

在四边形ABPQ1中；

∵∠ABQ1=30°；

∴∠APQ1=150°；

∴△PEQ1为含30°的直角三角形；

∴PE=．

∵AE=；

∴x=AP=AE-PE=2-．

②讨论Q2，如图作辅助线，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E；交AB于F．

∵EF垂直平分CD；

∴EF垂直平分AB；

∴AQ2=BQ2．

∵AB=BQ2；

∴△ABQ2为等边三角形．

在四边形ABQP中；

∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ2=60°；

∴∠APE=120°

∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°；

∴；

∴EG=；

∴DG=DE+GE=-1；

∴PD=1-；

∴x=AP=1-PD=．

③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．

∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形；BC=1；

∴，；

∴．

在四边形ABQ3P中。

∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°；

∴∠EPF=30°；

∴EP=EF=．

∵AE=；

∴x=AP=AE+PE=+2．

综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2-，，2+．27、略

【分析】【分析】（1）设抛物线的顶点坐标为（t，-t+5），利用顶点式得到y=-（x-t）2-t+5；然后把（2，3）代入求出t的值即可得到抛物线解析式；

（2）根据坐标轴上点的坐标特征确定B（0，5）、A（5，0），C（-1，0），则可判断△AOB为等腰直角三角形，所以