九年级数学第八章《综合型专题突破》综合测试卷VIP

九年级数学第八章《综合型专题突破》综合测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：(1)洗锅盛水2min；(2)洗菜3min；(3)准备面条及佐料2min；(4)用锅把水烧开7min；(5)用烧开的水煮面条和菜要3min.以上工序除(4)外，一次只能进行一道工序，小明要将面条煮好，最少要用(C)A．14minB．13minC．12minD．11min(第2题)2．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为(B)A.eq\f(tanα,tanβ)B.eq\f(sinβ,sinα)C.eq\f(sinα,sinβ)D.eq\f(cosβ,cosα)【解析】设AC＝x，则AB＝eq\f(AC,sinα)＝eq\f(x,sinα)，AD＝eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(x,sinβ)，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(\f(x,sinα),\f(x,sinβ))＝eq\f(sinβ,sinα).3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是“有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地”，则此人第六天走的路程为(C)A．24里B．12里C．6里D．3里【解析】设第一天走了x里，根据题意，得xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,22)＋\f(1,23)＋\f(1,24)＋\f(1,25)))＝378，解得x＝192，故第六天走的路程为eq\f(1,25)×192＝6(里)．4．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下面四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是(C)eq\a\vs4\al\co1(,（第4题）)eq\a\vs4\al()【解析】图C中右下角的三角形和平行四边形的面积和应为整个七巧板的eq\f(1,4)，与它们贴在一起的三角形的面积也应为整个七巧板的eq\f(1,4)，故它们的面积应该相等．但从图中可以看出该三角形的面积明显大于右下角的三角形和平行四边形的面积和，故该图不是由同一副七巧板拼成的．(第5题)5．如图，P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连结OP，OM.若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是(B)A．0B．1C．2D．3【解析】连结OQ，设线段OP与⊙O相交于点N，连结MN，则MN是△POQ的中位线，∴MN＝eq\f(1,2)OQ＝1.以点N为圆心，MN长为半径作圆，与OP相交于点M′，当点M与点M′重合时，OM的值最小，为ON－MN＝2－1＝1.6．某工厂为了要在规定期限内完成加工2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件(a为整数)，开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，仍不能按期完成这次任务，则由此可知a的值至少为(B)A．10B．9C．8D．7【解析】设原计划n天完成，开工x天后3人外出培训，则15an＝2160，得an＝144.由题意，得15ax＋12(a＋2)(n－x)＜2160.整理，得ax＋4an＋8n－8x＜720.∵an＝144，∴将其代入化简，得ax＋8n－8x＜144，即ax＋8n－8x＜an，整理，得8(n－x)＜a(n－x)．∵n＞x，∴n－x＞0，∴a＞8，∴a的值至少为9.7．如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面的高度为(A)(第7题)A.eq\f(24,5)B.eq\f(32,5)C.eq\f(12\r(,34),17)D.eq\f(20\r(,34),17)(第7题解)【解析】如解图，过点C作CF⊥BG于点F.设DE＝x，则AD＝8－x.由题意，得eq\f(1,2)(8－x＋8)×3×3＝3×3×6，解得x＝4，∴DE＝4，∴CD＝eq\r(DE2＋CE2)＝eq\r(42＋32)＝5.∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF.又∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△DCE∽△BCF，∴eq\f(CE,CF)＝eq\f(CD,CB)，即eq\f(3,CF)＝eq\f(5,8)，∴CF＝eq\f(24,5)，即水面高度为eq\f(24,5).8．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，得到eq\o(P1P2,\s\up8(︵))，eq\o(P2P3,\s\up8(︵))，eq\o(P3P4,\s\up8(︵))，…，形成斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…，得到螺旋折线(如图)．已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为(B)(第8题)A.(－6，24)B.(－6，25)C.(－5，24)D.(－5，25)【解析】根据题意得，点P6的坐标为(－6，－1)，点P7可以由点P6向右平移8个单位长度，再向下平移8个单位长度得到，即坐标为(2，－9)；点P8可以由点P7向右平移13个单位长度，再向上平移13个单位长度得到，即坐标为(15，4)；点P9可以由点P8向左平移21个单位长度，再向上平移21个单位长度得到，即坐标为(－6，25)．(第9题)9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连结AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为(D)A．5B．4C．3eq\r(,5)D．2eq\r(,5)(第9题解)【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F.在Rt△ABC中，∵AB＝5，BC＝10，∴AC＝5eq\r(,5).∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB.又∵∠AFD＝∠CBA＝90°，∴△ADF∽△CAB，∴eq\f(DF,AB)＝eq\f(AD,CA)，∴eq\f(DF,5)＝eq\f(AD,5\r(,5)).设DF＝x，则AD＝eq\r(5)x.在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AD2＋AB2)＝eq\r(5x2＋25).∵∠DEF＝∠DBA，∠DFE＝∠DAB＝90°，∴△DEF∽△DBA，∴eq\f(DE,DB)＝eq\f(DF,DA)，∴eq\f(3,\r(5x2＋25))＝eq\f(x,\r(5)x)，∴x1＝2，x2＝－2(不合题意，舍去)，∴AD＝eq\r(5)x＝2eq\r(,5).10．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝(a＋b)2－(a－b)2，有下列结论：①若a@b＝0，则a＝0或b＝0；②a@(b＋c)＝a@b＋a@c；③不存在实数a，b，满足a@b＝a2＋5b2；④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．其中正确结论的序号是(C)A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【解析】由题意，得a@b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(a＋b)2－(a－b)2＝0，则(a＋b＋a－b)(a＋b－a＋b)＝0，即4ab＝0，解得a＝0或b＝0，故①正确．∵a@(b＋c)＝(a＋b＋c)2－(a－b－c)2＝4ab＋4ac，a@b＋a@c＝(a＋b)2－(a－b)2＋(a＋c)2－(a－c)2＝4ab＋4ac，∴a@(b＋c)＝a@b＋a@c，故②正确．令a2＋5b2＝(a＋b)2－(a－b)2，整理，得(a－2b)2＋b2＝0，解得a＝0，b＝0，故③错误．∵a@b＝(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥4ab(当且仅当a＝b时取等号)，a＋b为定值，∴当a@b最大时，a＝b，故④正确．综上所述，正确的是①②④.二、填空题(每小题4分，共24分)(第11题)11.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A′处．若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为__eq\f(\r(10),10)__．【解析】由折叠知A′E＝AE，A′B＝AB＝6，∠BA′E＝∠BAE＝90°，∴∠BA′C＝90°，∴在Rt△A′CB中，A′C＝eq\r(BC2－A′B2)＝8.设AE＝x，则A′E＝x，DE＝10－x，CE＝8＋x.在Rt△CDE中，根据勾股定理，得(10－x)2＋62＝(8＋x)2，解得x＝2，∴AE＝2，∴在Rt△ABE中，BE＝eq\r(AB2＋AE2)＝2eq\r(10)，∴sin∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(\r(10),10).12．阅读材料：定义：若一个数的平方等于－1，则记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加法、减法和乘法运算与整式的加法、减法和乘法运算类似．例如，计算：(4＋i)＋(6－2i)＝(4＋6)＋(1－2)i＝10－i；(2－i)(3＋i)＝6－3i＋2i－i2＝6－i－(－1)＝7－i；(4＋i)(4－i)＝16－i2＝16－(－1)＝17；(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.根据以上信息，完成下面的计算：(1＋2i)(2－i)＋(2－i)2＝__7－i__．【解析】(1＋2i)(2－i)＋(2－i)2＝2－i＋4i－2i2＋4＋i2－4i＝6－i－i2＝6－i＋1＝7－i.13．将被3整除余数为1的正整数，按照如图所示的规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是__625__．(第13题)【解析】由图可得，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，…，则前20行有1＋2＋3＋…＋19＋20＝210(个)数，∴第20行第20个数是1＋3×(210－1)＝628，∴第20行第19个数是628－3＝625.14．给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)均在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＜0)的图象上，则y2＜y3＜y1；③若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－1，,x>a))无解，则a≥－1；④将点A(1，n)向左平移3个单位到点A1，再将点A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则点A2的坐标为(－n，－2)．其中所有真命题的序号是__②③④__．【解析】平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，故①错误．反比例函数y＝eq\f(k,x)(k＜0)的图象在第二、四象限，当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0，且在每一象限内y随x的增大而增大，故y2<y3<y1，故②正确．若关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－1，,x>a))无解，则a≥－1，故③正确．将点A(1，n)向左平移3个单位到点A1，则点A1(－2，n)．将点A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则点A2(－n，－2)，故④正确．综上所述，真命题的序号是②③④.15．所谓勾股图是指以直角三角形的三边长为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在如图所示的勾股图中，已知∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4.作△PQR使得∠R＝90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，则△PQR的周长等于27＋13eq\r(,3)．(第15题)(第15题解)【解析】如解图，延长BA交QR于点M，连结AR，AP.∵AC＝GC，BC＝FC，∠ACB＝∠GCF，∴△ABC≌△GFC(SAS)，∴∠FGC＝∠BAC＝30°，∴∠HGQ＝60°.∵∠HAC＝∠BAD＝90°，∴∠BAC＋∠DAH＝180°.∵∠PRQ＝∠ADE＝90°，∴AD∥QR，∴∠AMR＝∠BAD＝90°，∠RHA＋∠DAH＝180°，∴∠RHA＝∠BAC＝30°，∴∠QHG＝60°，∴△QHG是等边三角形，∠Q＝60°.∵AC＝AB·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(,3)，∴QH＝HG＝HA＝AC＝2eq\r(,3).易知HM＝AH·cos30°＝2eq\r(,3)×eq\f(\r(3),2)＝3，MR＝AD＝AB＝4，∴QR＝2eq\r(,3)＋3＋4＝7＋2eq\r(,3)，∴QP＝2QR＝14＋4eq\r(,3)，PR＝eq\r(3)QR＝7eq\r(,3)＋6，∴△PQR的周长等于RP＋QP＋QR＝27＋13eq\r(,3).16．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10m．拴住小狗的10m长的绳子一端固定在点B处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．(1)如图①，若BC＝4m，则S＝__88π__m2.(2)如图②，现考虑在矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为__eq\f(5,2)__m.eq\a\vs4\al\co1(,（第16题）)【解析】(1)易知在点B处是以点B为圆心，10m为半径的eq\f(3,4)个圆；在点A处是以点A为圆心，4m为半径的eq\f(1,4)个圆；在点C处是以点C为圆心，6m为半径的eq\f(1,4)个圆，∴S＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×102＋\f(1,4)×42＋\f(1,4)×62))＝88π(m2)．(2)设BC＝x(m)，则AB＝(10－x)m，∴S＝eq\f(3,4)π×102＋eq\f(30,360)π×(10－x)2＋eq\f(1,4)π×x2＝eq\f(1,3)π(x2－5x＋250)＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(325,4)π，∴当x＝eq\f(5,2)时，S最小，∴BC＝eq\f(5,2)m.三、解答题(共66分)17．(6分)如图，海中有一小岛A，它周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达点D处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？请说明理由．,(第17题)),(第17题解))【解析】没有触礁的危险．理由如下：如解图，过点A作AC⊥BD于点C，则AC的长就是点A到BD的最短距离．∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°，∠ABD＝180°－90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝12nmile.∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝eq\f(1,2)AD＝6nmile，∴AC＝eq\r(122－62)＝6eq\r(,3)≈10.392(nmile)＞8nmile，∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．18．(6分)(1)填空：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4．(2)猜想：(a—b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn(其中n为正整数，且n≥2)．(3)利用(2)中猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.【解析】(3)在公式(a—b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn中，令a＝2，b＝－1，n＝10，则[2－(－1)](29－28＋27－…＋23－22＋2－1)＝210－(－1)10，∴29－28＋27－…＋23－22＋2－1＝eq\f(210－（－1）10,[2－（－1）])＝eq\f(1023,3)＝341，∴29－28＋27－…＋23－22＋2＝341＋1＝342.19．(6分)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．(第19题)甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(m2)是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：当绿化面积不超过1000m2时，每月收取费用5500元；当绿化面积超过1000m2时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．(1)求甲公司方案中y关于x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)．(2)如果某校目前的绿化面积是1200m2，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【解析】(1)设y＝kx＋b，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝400，,100k＋b＝900，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5，,b＝400，))∴y＝5x＋400.(2)当绿化面积是1200m2时，甲公司每月的养护费用为5×1200＋400＝6400(元)，乙公司每月的养护费用为5500＋4×200＝6300(元)．∵6300＜6400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．20．(8分)如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度(精确到1m，参考数据：sin32°≈eq\f(17,32)，cos32°≈eq\f(17,20)，tan32°≈eq\f(5,8)，sin42°≈eq\f(27,40)，cos42°≈eq\f(3,4)，tan42°≈eq\f(9,10))．,(第20题)),(第20题解))【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，则CE∥DF.又∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120m，DF＝CE.在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80m，∴DF＝BD·cos32°≈80×eq\f(17,20)＝68(m)，BF＝BD·sin32°≈80×eq\f(17,32)＝eq\f(85,2)(m)，∴BE＝EF－BF＝eq\f(155,2)m.在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68m，∴AE＝CE·tan42°≈68×eq\f(9,10)＝eq\f(306,5)(m)，∴AB＝AE＋BE＝eq\f(306,5)＋eq\f(155,2)≈139(m)．答：木栈道AB的长度约为139m.21．(8分)某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．经调查发现，若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，则共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，则共需资金1440元．(1)求甲、乙两种书柜的单价．(2)若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．【解析】(1)设甲种书柜的单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＝1020，,4x＋3y＝1440，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝180，,y＝240.))答：甲种书柜的单价为180元，乙种书柜的单价为240元．(2)设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买(20－m)个．由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20－m≥m，,180m＋240（20－m）≤4320，))解得8≤m≤10.∵m为整数，∴m＝8，9，10.共有三种购买方案：方案一，购买甲种书柜8个，乙种书柜12个；方案二，购买甲种书柜9个，乙种书柜11个；方案三，购买甲种书柜10个，乙种书柜10个．22．(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，P是⊙O上一点，连结OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．(1)求证：OP∥BC.(第22题)(2)过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.若∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．【解析】(1)∵点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上，∴eq\o(AP,\s\up8(︵))＝eq\o(PC,\s\up8(︵))，∠AOP＝∠COP，∴∠AOP＝eq\f(1,2)∠AOC.∵∠ABC＝eq\f(1,2)∠AOC，∴∠AOP＝∠ABC，∴OP∥BC.(2)连结PC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO＝∠COP.∵∠AOP＝∠COP，∴∠APO＝∠AOP，∴OA＝AP.又∵OA＝OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP＝60°.又∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠AOP＝60°.又∵OC＝OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠POC＝180°－(∠AOP＋∠COB)＝60°.又∵OP＝OC，∴△POC也为等边三角形，∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC.又∵∠OCD＝90°，∴∠PCD＝30°.又∵∠D＝90°，∴DP＝eq\f(1,2)PC.又∵PC＝OP＝eq\f(1,2)AB，∴DP＝eq\f(1,4)AB，∴AB＝4DP＝4.23．(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(－1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A，B，C三点．(第23题)(1)求A，C两点的坐标．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．【解析】(1)∵OA＝OC＝4OB＝4，∴点A，C的坐标分别为(4，0)，(0，－4)．(2)设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋1)(x－4)＝a(x2－3x－4)，把点C的坐标代入，得－4a＝－4，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－4.(3)易得直线CA的函数表达式为y＝x－4.过点P作y轴的平行线交AC于点H.∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°.设点P(x，x2－3x－4)，则点H(x，x－4)，∴PD＝HP·sin∠PHD＝eq\f(\r(2),2)(x－4－x2＋3x＋4)＝－eq\f(\r(2),2)x2＋2eq\r(,2)x＝－eq\f(\r(2),2)(x－2)2＋2e