2024年上海市各区中考一模数学试卷专题汇编 13 几何综合题（解答题25题压轴题）

专题13几何综合题(解答题25题，压轴题)

一、解答题

1.(2024・上海宝山•统考一模)如图，已知5c中，AI3=AC=\,。是边AC上一点，且AO,过点C作CE〃A8,

并截取CE=A。，射线AE与40的延长线交于点尸.

BC

(I)求证：AF2=DF•BF;

⑵设AD=x,DF=y,求＞与x的函数关系式；

(3)如果△八。下是直角三角形，求£＞尸的长.

2.(2024.上海奉贤•统考一模)在直角梯形A8CD中，AD//BC,ZB=90°,AD=6,A8=4,BC＞AD,NAOC的

平分线交边3c于点£,点尸在线段OE上，射线C/与梯形A8CQ的边相交于点G.

4

(1)如图1,如果点G与A重合，当tan/8c§时，求8E的长；

&G)n

(2)如图2如果点G在边4。上，联结BG,当Z)G=4,且VCGBsV84G时，求的zNBC。的值;

图2

(3)当尸是OE中点，且4G=1时，求CD的长.

3.(2024・上海松江•统考一模)在.ABC中，AC=8C.点。是射线AC上一点(不与4、C重合)，点尸在线段8C

上，直线。尸交直线A8于点E,CD?=CFCB.

D

(1)如图，如果点。在AC的延长线上

①求证：DE=BD；

②联结CE,如果CE//BD,CE=2,求E/的长.

(2)如果£>F:OE=1:2,求：勺值.

4.(2024・上海青浦•统考一•模)在4ABe中，NACB=90。，AC=6,BC=8.点。、E分别在边AB、BC±,连

接ED,将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90。得到线段EF.

图1图2图3

(I)如图I,当点E与点C重合，EDJ.AB时，AF与ED相交于点O,求AO：O尸的值;

(2)如图2,如果AB=5BD,当点4、E、尸在一条直线上时，求BE长；

(3)如图3,当DA=DB,CE=2时，连接AF,求N'AFE的正切值.

5.(2024・上海崇明•统考一模)已知RtZXABC中，ZACB=90°tAC=3,AB=5,点。是A8边上的一个动点(不

与点4、8重合)，点尸是边8C上的一点，且满足NCD/=NA,过点C作CE_LCD交OE的延长线于E.

(1)如图1,当C石〃A8时，求A。的长:

(2)如图2,联结8E,设人。=工，BE=y,求)，关于x的函数解析式并写出定义域；

(3)过点C作射线质的垂线，垂足为，，射线。，与射线交于点Q,当△口?£：是等腰三角形时，求AO的长.

6.(2024・上海浦东新•统考一模)如图，已知正方形48CO的边长为6,点E是射线4C上一点(点E不与点/?、C重

合)，过点A作交边CO的延长线于点?，直线口■分别交射线AC、射线4。于点M、N.

备用图备用图

⑴当点E在边6c上时，如果与J，求一胡£的余切值；

AN5

(2)当点E在边8c延长线上时，设线段BE=x,y=ENMF,求)，关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

(3)当CE=3时，求的面积.

7.(2024.上海金山•统考一模)已知：如图，在48c中，AB=AC,ZCAD=ZABC,DC±AC,4力与边8c相

交于点P.

⑴求证：AB-=^ADBC-

4

(2)如果sin乙48C=w，求的值；

(3)如果△88是直角三角形，求NA8C的正切值.

8.(2024・上海静安・统考一模)已知梯形ABCO中，AD//BC,AB=2,AO=4,OC=3,BC=1.点尸在射线创

上，点Q在射线8C上(点~、点。均不与点〃重合)，且尸。二伙2,连接。Q,设8户=相△。篁的面积为上

(1)如图1所示，求sinB的值;

(2)如图2所示，点。在线段上，求)关于%的函数解析式，并写出定义域;

(3)当A。。。是等腰三角形时，求8P的长.

9.(2024•上海长宁・统考一模)已知ABC中，ZABC=2ZC,8G平分NABC,44=8,AG=；＞，点。，E分

别是边8C,AC上的点(点。不与点8,C重合)，且NAOE=NABC,AD,BG相交于点尸.

(2)AE,点。在边AB上运动的过程中，/X4C的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出/£4。

的人小；

(3)设OE与AC的交点为G,点〃是边BC上的一点，旦/CPD=NCGD,如果点。到直线C。的距离等于线段GE的

长度，求。。£的面积.

4

13.(2024・上海虹口•统考一模)如图①，在RlAABC中，ZAC8=90。，tan乙ABC=g,点。在边8C的延长线上，

连接AD,点E在线段AO上，ZEBD=ZDAC.

图①图②备用图

(I)求证：ADBAs八DEC；

⑵点尸在边C4的延长线上，。尸与的的延长线交于点M(如图②).

①如果AC=2Af\且DEC是以0c为腰的等腰三角形，求tan/血的值；

②如果。£=乎。。，EM=3,FM:DM=5:3,求4尸的长.

14.(2024•上海普陀•统考一模)如图，在矩形A8CD中，AB=2,BC=4,E是边8c延长线上一点，过点3作

BM上DE,垂足为点例，联结CM,设CE=a(0<a<l).

(1)求证：△DCES/\BME：

(2)NCME的大小是否是一个确定的值？如果是，求出.NCME的正切值；如果不是，那么用含字母。的代数式表

示NCME的正切值；

(3)P是边A。上一动点(不与点A、。重合)，联结?笈、PM.随着点P位置的变化，在中除N8QW外的两

个内角是否会有与NCME相等的角，如果有，请用含字母〃的代数式表示此时线段AP的长；如果没有，请说明理

由.

15.(2024•上海杨浦•统考一模)如图，已知正方形A8CD,点。是边3c上的一个动点(不与点8、。重合)，点E

在OP上，满足AE=",延长跖交CD于点尸.

ADAD

(1)求证：NBED=135;

(2)连接CE.

RP

①当。£_13尸时，求行的值;

/V-

②如果△（?母'是以CE为腰的等腰三角形，求NF8C的正切值.

16.（2024・上海闵行•统考一模）如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,以AC,8c为边在△A4C外部作等边三角

形ACE和等边三角形BCF,且联结EF.

（1）如图I,联结4F,EB,求证：△ECB经△ACE

（2）如图2,延长AC交线段E/于点M.

①当点M为线段中点时，求幽的值;

BC

②请用直尺和圆规在直线上方作等边三角形4BD（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点M在

△A3。的内部时，求空的取值范闱.

BC

图1图2

专题13几何综合题（解答题25题，压轴题）

一、解答题

1.（2024・上海宝山•统考一模）如图，已知5c中，AI3=AC=\,。是边AC上一点，且AO,过点C作CE〃A8,

并截取CE=A。，射线AE与40的延长线交于点尸.

⑴求证：AF2=DFBFx

⑵设AD=x,DF=y,求＞与x的函数关系式;

（3）如果△八。下是直角三角形，求£＞尸的长.

【答案】（1）见解析；

⑵片』

（3也或也.

62

【分析】（1）先证明△针恒△AEC,得出/3=/4,进而证明根据相似三角形的性质，即可得

证；

（2）过点。作DG〃AB,交AE于点G,证明△ADGs/kACE,得出OG=f,JDGs另胡，根据相似三角形

的性质得出比例式，即可得出函数关系式；

（3）由ND4/=NA5Z）H90。，分两种情况分别讨论，ZAFD=90°,?ADF90?,在Rl4??中，根据三角函数

的定义，即可求解.

【详解】（1）证明：*：CE//AB,

:.Z1=Z2,

又・・・AB=4C,CE=AD,

•••/3=/4,

又：ZAFB=ZAFD,

AABFs公ADF,

.AFBF

..---=---.

DFAF

,AF2=DFBF

(2)解：过点。作交AE十点G

又・・・C£〃/IB,

：,DG//CE,

,AADGs^ACE

.DGAD

••=，

CEAC

由AO=x,AC=1,则CE=x,CD=l-x,

•\DG=x2,

'：DG"AB,

JFDGSFBA

.DGDF

②如果NA/；Q=90。，

由N1=N3=N4,Zl+Z3+Z4=90°,可得N3=N4=30。

设DF-m,则AD=BD=2m,

BF

在Rt48/中，cosZ3=——，

AB

・in+2m

••--------------■m=-------

126

③如果？AD/90?,

由N1=N3=N4,Nl+/3=90。，可得N3=N4=45。，

设DF=m,AD=RD=in.

Alt

在RtABF中，cosZ3=—,

BF

.iV2

••-----=—,tn=—.

m+m22

所以，当△AOb是直角三角形时，Qb的长为正或走.

62

【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟练掌握相

似三角形的性质与判定是解题的关键.

2.（2024•上海奉贤•统考一模）在直角梯形A8CO中，AD//BC,N3=90。，AD=6,AB=4,BC>AD,NAOC的

平分线交边4c于点，点户在线段OE上，射线CT与梯形AACQ的边相交于点G.

4

(1)如图1,如果点G与A重合，当tan/8CO=§时，求8E的长;

图1

(2)如图2,如果点G在边A。上，联结BG,当£心=4,且VCGBsV84G时，求s加NBCO的值:

(3)当/是/定中点，且4G=1时，求CD的长.

【答案】(1)4

(3)C£＞的长为5或9+5

【分析】（I）过点。作于点〃，利用直角梯形的性质，矩形的判定与性质求得。〃，利用直角三角形的

边角关系定理求得C”，利用勾股定理求得C。，利用角平分线的定义和平行线的性质得到8=8,则

BE=BC-CE；

（2）过点。作力例IRC于点、M,利用（I）的结论，勾股定理和相似二角形的判定与性质求得BCCM,再利用等

腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可；

（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点G在AO上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等

三角形的判定与性质解答即可；②当点G在44上时，连接DG,GE,延长DG,CG交于点N,利用勾股定理求得BE,

利用相似三角形的判定与性质求得AN,再利用全等三角形的判定与性质解答即可.

【详解】（1）解：过点。作OH_L8C于点〃，如图，

,?AD"BC,NB=90°,

・••ZBAD=90°,

DHLBC,

•••四边形人为矩形，

:.DH=AB=4,BH=AD=6,

4

tan/BCD=—,

3

DH4

••=—，

CH3

/.CH=3,

:.CD7cHl+DH?=5,

QAD"BC,

:"ADE=NDEC,

Q/ADE=NCDE,

NCDE=NCED,

:.CE=CD=5,

BC=BH+CH=9,

...BE=3C-CE=9-5=4；

（2）过点。作。MJL3C于点M,如图,

由（1）知：AD=BM=6,DM=AB=4,CD=CE,

QOG=4,AO=6,

AAG=2,

BG=ylAB2+AG2=275,

YCGBRBAG,

."AG=NCGB=90°,—=—,

AGBG

2石RC

•.一二运

/.BC=10,

：.CM=BC-I3M=4,

••.QM=CM=4,

.ZDWC为等腰直角三角形,

ZBCD=ZCDM=45°,

由（1）知：CD=CE,

•・•尸是OE中点,

:.CF1DE,

在△以；产和,0b中,

/GDF=/CDF

<DF=DF

NDFG=NDFC=90。

:.：.DGF^ADCF（ASA）,

：.DG=DC,

QAG=1,AO=6,

DG=5,

/.CD=DG=5：

②当点G在AB上时，连接。GGE,延长力G,CG交于点N,如图,

•・•尸是DE中点,

；・CFLDE,

・・・CG为。石的垂直平分线，

:,GD=GE,

•••GD'GE?,

,AG2+AD2=BG2+BE\

・•・I2+62=32+BE2,

:.BE=2不,

,?AD/7BC,

,VAA8V8CG,

.AGAN

••南一正’

.IAN

,•夏正，

在△DM7和Ob中，

4NDF=ZCDF

<DF=DF,

4NFD=NCFD=9b。

；・DNF2.DCF(AAS),

:・CD=ND,

设CD=x,

则BC=CE+BE=x+2y/j,AN=DN-DA=CD-DA=x-6,

.]_x—6

^3~x+2y/l9

*X=9+V7,

ACD=9+V7,

综上，C。的长为5或9+5.

【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的

边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的

判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线.

3.（2024・上海松江•统考一模）在.A3C中，AC=8C.点。是射线AC上一点（不与4、C重合），点尸在线段8c

上，直线。尸交直线A8于点用CD2=CFCH.

（I）如图，如果点。在AC的延长线上

①求证：DE=BD；

②联结CE,如果CE〃BD,CE=2,求石厂的长.

⑵如果DF:£>E=1:2,求：A£:殖的值.

【答案】⑴①见详解；②所=0-1

(2)AE:EB的值为1

【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形

的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明VFC8VDC3是解题的关键.

mCF

（1）①由CD2=CFCB，得=="，因为N"Z>=NOC3,所以,得ZCDF=NCBD,由AC=BC,

CBCD

得NA=NABC,所以NA+NC"=/4BC+NCBO,则NDEB=NDBE,即可证明OE=B。；

CEEF

②由。£〃8£）,得NR7E=NC8O,则N/<E=NCDE,可证明VRTEsVCDE,得；^=二，所以=C炉=%

DECE

EFCECE

而ACEFS/\BDF,得=二=笠=U，所以&'•。石=2。9，则2。尸=4,求得。尸=2,于是得EP（£7U2）=4,

OFBDDE

求得E尸=石-1;

（2）分两种情况,一是当点。在AC的延长线上,联结CE，作EG〃BD^BC的延长线于点G,可证明NGEF尔BDF,

得GE=8。=OE,再证明YBEG4AED，得跳：=，则；£=1：二是当点。在线段AC上，可证明尸CD与/\DCB

EB

不相似，则不存在。2=bC8的情况.

【详解】（I）证明：如图1,•••CD'CAa,

.CDCF

~CB~~CD'

Q4FCD=/DCB,

.NFCD^NDCB,

:.NCDF=/CBD,

AC=BC,

:.ZA=ZABC.

ZA+ZCDF=ZABC+NCBD,

QZ.DEB=NA+NCDF、ZDBE=乙ABC+NCBD,

4DEB=/DBE,

:.DE=BD.

②如图l,QCE〃3aCE=2,

图1

/.NFCE=NCBD,

Q4CDE=4CBD,

"CE="£>£,

QZC£F=ZDEC,

:NFCEfCDE,

.CEEF

~DE~~CE"

:.EFDE=CE2=22=4,

SCEFKBDF,

•_E__F_—_C__E___C__E_

~DF~~BD~~DE"

;.EFDE=2DF,

.-.2DF=4,

DF=2,

:.EF(EF+2)=4.

解得EF=石-1或"=-6-1(舍去),

：.EF=x[5-\.

(2)如图2,点。在AC的延长线上，

联结CE,作水；〃8。交8C的延长线于点G,则NG=NO8F,

，ZG=ZADE,

*：DF:DE=\:2,

DF=EF=-DE,

2

在△G£F和V4O产中，

NG=/DBF

4GFE=/BFD、

EF=DF

.^GEF^BDF(AAS),

GE=BD,

:.GE=DE,

QZDEB=4DBE=ZGE4,

/./DEB+/GED=ZG£4+/GED,

/BEG=AAED,

在，8£G和△AEO中，

NG=NADE

,GE=DE,

ZBEG=ZAEO

1BEG"AED(ASA),

:.BE=AE,

AE,

——=I;

EB

如图3,点。在线段ACI:,

c

图3

QZCDF>ZA

/.Z.CDF>ZABC,

QZA8C>4BFE,4BFE=NDFC,

：./ABC>4DFC,

Z.CDF>NDFC,

Q/DFC>NCBD,

NCDF>NCBD,

尸CD与△OCB不相似，

不存在CD2=CFCB的情况，

综上所述，的值为1.

4.（2024•上海青浦•统考-一模）在,ABC中，NACB=90。，AC=6,BC=8.点。、E分别在边AB、BC±,连

接ED,将线段ED绕点£按顺时针方向旋转90。得到线段EF.

图1图2图3

(I)如图I,当点石与点。重合，EDJ.AB时，AF与ED相交于点O,求47：。尸的值;

(2)如图2,如果AB=5BD,当点A、E、尸在一条直线上时，求BE长；

(3)如图3,当DA=DB,CE=2时，连接AF,求/AFE的正切值.

3

【答案】⑴

4

(2)*24+2晒或/法=24-2呵

55

._________|124

【分析】(1)根据勾股定理得出==根据S,A8c=5AC.4C=34"CO,求出CO=M，进而

得出4。=〃。2一。。2=%根据旋转的性质得出/。所=9(产，CD=EF=y,则A8〃CF,通过证明

ADO^FEO,即可求解;

（2）过点D作。HJ.8C「点H,求出进而得出。〃=二方尸=（，CH=BC-BH。，设BE=x,

则CE=8-x,E〃=x-，通过证明＞4。£。..？/〃），得出生.二名，求出x的值即可；

5EHDH

（3）以点E为原点建立平面直角坐标系，令AEOE相交于点G,过点D作y轴的垂线，垂足为P,过点F作y轴

的垂线，垂足为点Q,则8（6,0）,4：-2,6）,。（2,3）,用待定系数法求出OE的函数解析式为y=通过证明

DEP^EFQ,得出尸（3,-2）,再用特定系数法求出AF的函数解析式为,，=-?工+?,进而得出言），即

可解答.

【详解】（1）解：VZACB=90°,AC=6,BC=8,

，根据勾股定理可得：AB=\IAC2+BC2=10»

・

•,.S八mAf{e=2-ACB2C=-ABCD,

/.ACBC=ABCD,即6x8=10C。，

24

解得：CD=—,

J

在Rl/XACO中，根据勾股定理可得：AD=ylAC2-CD2=y,

•・•线段ED绕点E按顺时针方向旋转90。得到线段EF,

24

AZDFF=90°,CD=EF=—t

VED.LAB,

AB//CF,

，ADO^FEO,

18

_AOAD3

••--=----==—，

OFCF244

y

3

即AO：OF'=-；

4

(2)解：过点D作。，_L8C于点H,

VAB=5BD,

.BD1

..---=—，BD=2,

AB5

DHLBC,NACB=90。，

，AC//DHf

BHBD11

..——=—=一，则——=一，

BCAB585

解得：BH=[

/a)

:.DH=dBD?-BH?=-,CH=BC-BH==,

55

Q

设BE=x,贝l」CE=8—羽七"=

•••线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF,

••・ZDEF=90°，

•・•点4、E、尸在一条直线上，

，ZA团=90。，

/./AF.C.+/DF.H=90°,

,/ZAEC+ZEAC=90°,

/.NDEH=ZE4C，

又：ZACE=/EHD=90。，

/.ACE^,EHD,

.ACCE

••-----=------,

EHDH

6_8-x

即―8=~6-,

x——

55

解得：%=24±2晒,24-2719

155

.・.赤竺丑叵或公竺匚色；

55

(3)解：以点E为原点建立平面直角坐标系，令AEOE相交于点G,过点D作y轴的垂线，垂足为P,过点F作

y轴的垂线，垂足为点Q,

BC=8、CE=2,

:,BE=6,则8(6,0),

AC=6,

/•A(-2,6),

DA=DB,

・•・。(2,3),

・•・DE々T2+3?=岳，

设。石的函数解析式为y=h,

将0（2,3）代入得:3=23

解得：料，

3

•••。石的函数解析式为y=

•・•线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF,

/.DE=EF=V13,NDEF=90°,

VZD£P+ZFEG=90o,/DEP+NEDP=90。,

・•・NFEQ=/EDP,

ZFEQ=NEDP,ZDPE=NEQF.DE=EF,

;._DEP"EFQ,

JQF=PE=3,EQ=DP=2,

・•・F（3,-2）,

设AF的函数解析式为y=〃优+〃，

把A（-2,6）,尸（3,-2）代入得:

6=-2m+n

-2=3m+n

8

m=5-

解得：,

14

T

:.AF的函数解析式为y=-j8x+1y4,

814

y=—x+—

5

联立:35

y=-x

14后

-tanzAFE=||=31=H.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练

掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键.

S.(2024.上海崇明.统考一模)已知Rt/XAAC中，ZACB=90°,AC=3.AI3=5,点力是边上的一个动点(不

与点4、B重合)，点尸是边上的一点，且满足=过点。作CE_LC。交。尸的延长线于£

(1)如图I,当CE〃八8时，求4。的长；

(2)如图2,联结防，设A。"=求)，关于x的函数解析式并写出定义域；

(3)过点C作射线跖的垂线，垂足为出射线C”与射线交于点Q,当△CQE是等腰三角形时，求AO的长.

9

【答案】⑴《

4

(2)函数关系式为y=定义域为。vxv5

(3)4/9=1

【分析】(I)由平行关系可得N8=NEC。，由CE_LCO,则可得CDJ_A4,由面积关系可求得C。，进而由勾股定

理求得结果；

(2)由已知易得.ABCs,℃£■,由相似三角形的性质及NACQ=/8CE,可得△ACQS^BCE,由相似三角形的

性质即可得函数关系式；再由点。是A8边上的一个动点，且不与点A、8重合，即可确定自变量的取值范围；

(3)由(2)Z\ACDsz^BCE得NCBE=ZA,则可得NO8E=9()。，讲而得CQ〃A4：由面积关系求得的长：

由勾股定理可求得CH;由平行可得一QHEs二。BE,由相似三角形的性质即可求得AO的值.

【详解】(1)解：・・・CE〃A8,

:・NECB=/B,

VCE1CD,

:・？DCB?ECB90?

，NDCB+NB—90。；

ACD-AB；

由勾股定理得：BC=\IAB2-AC2=4,

\,-ACBC=-ABCD

22t

.fACBC12

AB5

।-------------o

由勾股定理得：AD=>JAC2-CD2=-；

(2)解：•:?ACB90痛CDCE,

•・ZACB=NDCE=%)。,

：NO=Z4,

•・ABCsDCE,

.ACBC

.----=-----；

CDCE

・•ZACB=ZDCE=90°,

•・ZACD=ZBCE,

•・△ACD<FBCE,

.ACAD3x

•—=—,H即r1:二一

BCBE4y

.4

・y=H；

J

••点D是A8边上的•个动点,且不与点A、B重合,

••自变量x的取值范围为0vxv5；

(3)解：由(2)知，AACDs八BCE,

\ZCBE=ZA,

/.?DBEABC2CBE?ABC?A90?,

VCHLBH,

：.CQ//AB；

22

.RH_ACKBC_12

AB5

由勾股定理得CH=VBC2-BH1=与；

•J

•：CQ//AB,

:._QHEs..DBE,

.QB__QE

**DBDE：

?DEC90?,

?CEQ90?,

••△CQE为等腰三角形时，只能是CE=QE：

QH_CE

\QH=CH,

~DB~~DE

：AACDsMCE,

.CE_BC_A

**CD-7C_3J

设CE=4k,CD=3k,由勾股定理得DE=5k,

.QH_CE_4

**DB-D£-5?

DB=AB-AD=5-AD,

16

即5_4,

5-AD5

解得：AD=1.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，面积关系的应用，等腰三角形的

性质，综合运用这些知识是关键.

6.(2024•上海浦东新•统考一模)如图，已知正方形A8CO的边长为6,点E是射线BC上一点(点£不与点8、。重

合)，过点A作4尸_LAE,交边。。的延长线于点尸，直线E厂分别交射线AC、射线4。于点M、N.

备用图备用图

(1)当点石在边8。上时，如果纵=!，求/明石的余切值；

(2)当点E在边/3C延长线上时，设线段=y=ENMF,求了关于x的函数解析式，并写出函数定义域;

(3)当CE=3时，求△EMC的面积.

【答案】(1)NE4£的余切值为2或3；

(2)y=36+X2(X>6)

【分析】（1）根据正方形的性质证明"BE名,AT）尸，根据全等三角形得出AE=4尸，。尸=即、根据平行线分线

段成比例得D出N若=D芸F，进而求得5E=2或8E=3,进而根据锐角三角函数的定义即可求解；

（2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出EN-M"=AE2,再根据勾股定理得出4炉=36+/即可；

（3）分类讨论，当上在BC上和8c的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出.EMC的边CE上的高“?

即可.

【详解】（1）解：如图1,

正方形A8CO,

.\AB=AD=6,ZB=ZADC=9()°=ZADF,

AE1AF,

/.ZE4F=90°=NDAF+NDAE,

ZBAE+/DAE=NBAD=90°,

:.NBAE=NDAF,

.二A8—AOF(ASA),

:,AE=AF,DF=BE,

v-=-,AD=6=DN+AN,

AN5

:.DN=l,AN=5,

DN；/EC,

DNDF

・'•-----=-----,

ECCF

设BE=x,则Dk=x,EC=b-x,

1x

•••_—_一__，

6-x6+x

解得x=2或x=3,

经检验，x=2,x=3都是原方程的根，

BE=2或BE=3,

在Rt45E中,

cotZ.BAE==9=3或cotZ.BAE==—=2；

BE2BE3

(2)如图2,由(1)得AE=A尸,

图2

AE1AF,

.工田是等腰直角三角形，

:.ZAEF=ZAFE=45°,

ZA£F=45°=ZM4A^,ZA^=ZM,

MANs：MFA,

:.ZANE=ZMAF,

ANEsMAFt

•ENAE

"~AF~^F，

:.ENMF=AEAF=AE2,

在Rt48E中，4B=6,I3E=x,

AE2=AB2+BE2=36+X2,

y=ENMF,

即y=36+Y(x>6)；

(3)当点E在8c上时，如图1,过点M作MQ_L3C,垂足为P,

图1

CE=3,

,-.BE=6-3=3,

由（1）可知，当8七=3时，DN=\,

.•./W=6-l=5,

AN/7EC,

AAMNs«ME,

.ANAN_5

,CA7-EC-3*

AC=y/AB2+BC2=672,

MC=^—AC=^-

3+54

在RtAMC中，PM=—MC=",

24

I1Q97

・・・ZXEMC的面积为一CE・MP=-x3x-==

2248

当点E在BC的延长线上时，如图2,过点M作"〜_L8C,垂足为P,

图2

由（1）可得，DF=BE=6+3=9,

AN〃BP,

DFDN9DN

/.——=——,即nn----=----,

CFCE9+63

9

解得：DNy

939

AN=6+-=—

55

.MCES..MAN,

e3_MP

••・空=—,即39-MP+6，

ANMP+CD—

J

解得：MP=—

4

EMC的面积为=="

2248

综上所述，EMC的面积为2一7或短45.

8o

【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌

握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键.

7.(2024•上海金山•统考一模)已知：如图，在中，AB=AC,NC4O=4ABC,DCA.AC,4。与边BC相

交于点P.

2

(1)求证：AB=-ADRCi

4

(2)如果sin/A4C=w，求BP:PC的值；

(3)如果△BCO是直角三角形，求NA8C的正切值.

【答案】(1)证明见解析

⑶&或1

【分析】(1)根据等边时等角可得？4C82ABC；推得NAC3=NC4£＞；根据等角对等边可得AP=PC；根据直

角三角形两锐角互余，等角的余角相等可得NPQC=NP8；根据等角对等边可得。力=PC；根据有两个角对应相

等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边成比例，且都等于相似比即可证明

43

（2）结合题意可得CQ=yA。，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得AC=gA。；结合（1）

1Q

中结论可求得三A。：分别求出8P和PC,即可求解.

CD2

（3）分两种情况讨论：当ND?C=90。时，根据相似三角形的判定和性质可■求得根据勾股定理和（1）

AD

中结论可求得8c=2（/\"——C。）,即可列出等式，求得根据勾股定理求出AC2=：A£）2,分别求出

AD33

CD、AC与A。的关系，根据锐角三角函数的定义即可求解；当NBQC=900时，根据同旁内角互补，两直线平行

可得AC〃80；根据两直线平行，内错角相等可得ND8C=/AC8=NC4O：根据锐角三角函数H勺定义可推得

AC=BD,根据正方形的判定和性质即可求出NA8C=45。，根据特殊角的锐角三角函数值即可求解；当"8=90。

时，分析可得aA8C不存在，即可推得该情况不存在.

【详解】（1）证明：•・•A8=AC,

?ACB?ABC,

,?NC4O=Z4BC,

，ZACB=ZCAD,

JAP=PC,

:DCA.AC,

JNACD=90°,

即ZACP+NPCD=90。,

又•:ZDAC+NPDC=90。,ZACP=ZDAC,

，ZPDC=/PCD,

，PD=PC,

即AP=PD=PC,

*/ZC4P=ZABC,ZACB=ZACP,

/.AA6Cs△尸AC,

.ABBC

••9

PAAC

AB=AC,PA=-AD,

2

ABBC

：t-ADABi

2

即AB2=^ADBC.

（2）解：VZACB=ZC4D,

4

sinZ.ABC=sinZ.CAD=-

5

CD4

即sin/C4O=J=—,

AD5

4

：.CD=-AD

5t

在Rt/XACO中，AC=yjAD2-CD2=.MD2-f-Ao'l=-AD,

V15J5

3

AB=—AD,

又：AB2=-ADBC,

2

即(|回=；AOBC,

整理得：BC=—AD；

;PC=-AD

2f

••・BP=BC-PC=—AD--AD=—AD,

25250

.BP^AD\\

••=-:----=-

(3)解：当/O8C=90。时,

•?ZPCD=/PDC,NDBC=ZDC4=90。,

,NBDC=NCAD,

/..ACD^>DBC,

.BCCD

••=,

CDAD

即BC=—

AD

在Rt^ACZ)中，

即AB2=AD2-CD2，

又「AB2=-ADBC

2f

：.-ADBC=AD2-CD2

2t

拓2(AD2-CD2)

故3c=-^---------------L，

AD

则也义吐吧

ADAD

、2

整理得：CD2=-AD\

在RtAACD中，AC2=AD2-CD2=AD1——AD2=-AD2

33t

SPCD=—AD,AC=—AD,

33

&AD

tanZCAD=—=^=—=&,

AC66

——AD

3

BPtanZ4BC=x/2;

当/次）0900时，

ZBDC=ZDCA=90°,

JAC//BD,

J/DBC=ZACB=ZC4D,

CDCD

VtanZCAD=—,tanZD«C=—,

ACDB

CDCD

故w前=而’

，AC=BD,

・•・四边形A8DC是平行四边形，

又,：NBDC^P,

，平行四边形A8DC是矩形，

XVAB=AC,

・••四边形人8OC是正方形；

则人。和是正方形的对角线，

・•・NA5C=45。

故lanZA8c=1.

当NBCD=90°时，点A在8C上，即，ABC不存在，

故不存在ZBCD=90°这种情况.

【点睛】本题考查了等边对等角，等角对等边，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性

质，勾股定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数等；结合第1问中的结论通过BC列出等式，求出

是解题的关键.

8.（2024.上海静安•统考一模）已知梯形ABCZ）中，AD//BC,A/3=2,4）=4,DC=3,BC=7.点尸在射线84

上，点。在射线上（点P、点。均不与点3重合），且PQ=8Q,连接。Q,设=△。翼的面积为V.

图I图2（瞽用图）

⑴如图1所示，求sinB的值；

(2)如图2所示，点。在线段8C上，求y关于人的函数解析式，并写出定义域;

(3)当A。。。是等腰三角形时，求破的长.

【答案】(1)5m8=也

3

⑵k_后+喻＜若：

⑶8P=[或8尸=弓或8P=g；或BP=?

yJDLJL

【分析】(1)过点A作AE〃C。交3c于点E,过点E作E产_LAB于点R证明四边形ADCE为平行四边形，得出

AE=DC=3,EC=AD=4,求出8E=8C-CE=7-4=3,根据等腰三角形的性质得出=AF=,AB=1,根

2

据勾股定理求出EF=在商-BF，=、密二干=2夜，根据三角函数定义即可得出答案；

(2)过点A作A/Z8C于点F,。，_148于点”，根据5由8=半，cosB=g,在RtA8厂中根据三角函数求

JD

]_

出A/=A8xsin8=2x^=还，8。="=军=：]，求出CQ=7-8Q=7-]x,根据三角形面积公式求出

33cosB£22

3

y=lc0-AF=1(7-|x^x^=-x/2x+-^l,然后求出x的取值范围即可；

(3)分四种情况进行讨论：当OQ=DC=3时，当