高一数学人教B版寒假作业（18）平面向量线性运算的应用

（18）平面向量线性运算的应用——高一数学人教B版寒假作业学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题1．[2024春·高一·云南曲靖·期中校考]如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么()A. B. C. D.1．答案：A解析：依题意，，，所以.故选A.2．一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间t（单位：）为()A.7.2 B.7.8 C.120 D.1302．答案：B解析：若使得船的航程最短，则船的实际速度与水流速度垂直，作，，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图所示.由题意可知，，，且，，由勾股定理可得.因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间为，则.故选B.3．已知满足（其中k是非零常数），则的形状一定是()A.等边三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形3．答案：C解析：因为在中，（其中k是非零常数），所以，即，所以.又，不共线，所以，所以，即一定是等腰三角形.故选C.4．[2023秋·高二·四川宜宾·开学考试校考]在平面上有及其内一点O满足关系式：，即称为经典的“奔驰定理”.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则O为的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心4．答案：B解析：记点O到AB，BC，CA的距离分别为，，，则，，.因为，则，即，又因为，所以，所以点O是的内心.故选B.5．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为()A. B.6 C. D.45．答案：B解析：如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，.因为，，所以，，，即，，，则，，故当，即时，取得最小值6.故选B.6．已知平面向量a，b，c满足，且，，则的最小值为()A. B. C. D.6．答案：B解析：设，，，则，又，所以点C在以为圆心，2为半径的圆上.如图，取，则，，又，所以，即.又因为，，所以.故选B.7．设点O在内部，且有，则的面积与的面积的比值为()A.2 B. C. D.37．答案：A解析：设，，，如图所示.根据题意得，即点O是的重心，取的中点E，连接OE，则，O，E三点共线，且，所以边上的高是边上的高的3倍，所以，即，同理可得，，所以.又因为，，所以，，故的面积与的面积的比值为.故选A.8．已知中，，，，，，则的最小值为()A.3 B.5 C. D.8．答案：C解析：设点O为BC上的一点，令，即，当时，取最小值3，此时根据勾股定理可得，由此可知为等边三角形，当点O为BC的中点时建立如图所示的平面直角坐标系，则有，，，所以，，所以，，所以，故.因为，所以，则，.因为，所以当时取最小值，.故选C.二、多项选择题9．生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半.”这就是著名的欧拉线定理.设在中，点O，H，G分别是其外心、垂心和重心，则下列四个选项错误的是()A.B.C.设BC边的中点为D，则有D.9．答案：CD解析：如图，根据欧拉线定理得，故A正确；根据三角形重心的性质可知B正确；因为点D为BC的中点，点G为的重心，所以，又，，所以，即，故C错误；向量，，的模相等，方向不同，故D错误.10．若的三个内角均小于，点M满足，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量b，c满足，且，则的取值可以是()A.10 B. C.3 D.10．答案：AB解析：因为，，所以可设，，，则，即为点到，，三点的距离之和，则是等腰锐角三角形.如图，由费马点的性质可知，当点M满足时，点M到三角形三个顶点的距离之和最小，因为，所以，故，则的最小值是.故选AB.三、填空题11．一个所受重力大小为的物体从倾斜角为，斜面长的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是__________.11．答案：解析：因为物体的重力为，物体在重力方向上的位移大小是，所以重力做的功为.12．如图，在中，，，是正三角形，点M是的中心.若，则__________.12．答案：-4解析：如图，设MC交AB于点E.，，点M是的中心，，设，则，.是的平分线，，.设，E，A，B三点共线，，，.由，得，，，.四、双空题13．某人骑车以每小时的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，则实际风速为__________，方向为__________.13．答案：；西北方向吹来解析：设a表示此人以的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为，设实际风速为v，那么此时人感到的风速为.设，，，因为，所以，这就是感到由正北方向吹来的风速.因为，所以，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意，，，，从而，为等腰直角三角形，所以，即，所以实际风速为，方向为西北方向.五、解答题14．已知，向量，.（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；（2）若点P为线段AB上靠近点B的三等分点，求点P的坐标.14．答案：（1）（2）解析：（1）设点C的坐标为，因为，，，可得，，则，若四边形OACB为平行四边形，可得，则解得故点C的坐标为.（2）设点P的坐标为，由（1）可知，，则，.若点P为线段AB上靠近点B的三等分点，则，则解得故点P的坐标为.15．已知四边形ABCD的顶点坐标为，，，且.（1）若点C在第一象限，求实数的取值范围；（2）若点M为直线AC外一点，且，问实数为何值时，点P恰为四边