【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）5．7 三角函数的应用（五大题型）

5．7三角函数的应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 3题型一：三角函数模型在物理学中的应用 3题型二：三角函数模型的实际应用 8题型三：数据拟合问题 11题型四：三角函数在圆周中的应用 17题型五：几何中的三角函数模型 23

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、函数中，，，的物理意义1、简谐运动的振幅就是．2、简谐运动的周期．3、简谐运动的频率．4、称为相位．5、时的相位称为初相．知识点二、三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．知识点三、三角函数模型应用的步骤（1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．（2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．知识点四、三角函数应用题的三种模式（1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．（2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．（3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．知识点五、三角函数模型应用注意点（1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．（2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．【典型例题】题型一：三角函数模型在物理学中的应用【典例1-1】（2024·高一·全国·课后作业）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图（1）．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系为，如图（2）．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达位置（）的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（

）A． B． C．1s D．【答案】D【解析】由题意得，，故函数的周期为，，可得，令，解得，故总时间为，综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为.故选：D.【典例1-2】（2024·高一·全国·课后作业）如图所示，一个以为始边，为终边的单摆的角与时间（单位：s）满足函数关系式，则当时，角的大小及单摆频率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，由函数解析式易知单摆周期为，故单摆频率为．故选：B.【方法技巧与总结】处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，由乙点开始经过周期后，与图中哪个点相同（

）A．甲 B．戊 C．丙 D．丁【答案】D【解析】因为最小值和最大值之间的横坐标相差12而乙在最低点，所以经过12周期后，乙点与丁点相同故选：D.【变式1-2】（2024·高一·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（

）A．B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则【答案】B【解析】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，当时，，即，，所以，则，故A错误；因为，，所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确；若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，所以，解得，即，故C错误；因为，令，，则，，满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，此时，故D错误.故选：B【变式1-3】（2024·高一·辽宁沈阳·阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，故函数的周期为，则，可得，位移的大小即，故令，得，，或,则，或者，故总时间为：，故选：C.【变式1-4】（2024·高一·湖南·课后作业）电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为．【答案】【解析】由函数的图象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案为：.【变式1-5】（2024·高一·上海嘉定·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动次.【答案】【解析】函数，的周期，故频率为.所以每秒钟小球能振动次.故答案为：.题型二：三角函数模型的实际应用【典例2-1】（2024·高一·江苏连云港·期中）如图，为测量旗杆的高，在水平线上选取相距的两点，用两个垂直于水平面且高度均为的测量标杆观测旗杆的顶点，记处测量标杆的上端点分别为，直线与水平线分别交于点，且测得的长分别为，则旗杆的高为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可得，，所以，又，得到，又，所以，解得m，故选：A.【典例2-2】（2024·高二·安徽·学业考试）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】频率为，故选：C【方法技巧与总结】解三角函数应用问题的基本步骤【变式2-1】（2024·高一·江西景德镇·期中）某市一年中的月平均气温与月份的关系可近似用函数来表示已知6月份的月平均气温为，12月份的月平均气温为，则10月份的月平均气温为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，且，解得，所以，当时，所以10月份的月平均气温为.故选：D【变式2-2】（2024·高一·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表.时间0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67【答案】C【解析】记时间为，水深值为，设时间与水深值的函数关系式为，由表中数据可知，，所以，，所以，又时，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大约为.故选：C【变式2-3】（2024·高一·江西宜春·期中）某卖场去年1至12月份销售某款饮品的数量（单位：万件）与月份x近似满足函数，已知在上单调，且对任意的，都有，若，则该卖场去年销售该款饮品的月销量不低于65万件的月份有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【解析】由题意可得，，又在上单调，且对任意的，都有，所以，所以，所以，即，又因为，所以，所以，所以，解得，因为，所以，即有5个月，故选：B.题型三：数据拟合问题【典例3-1】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】设简谐振动的解析式为，其中由表格可知：振幅，周期，过点，由周期，且，可得，由过点，可得，即，则，可得，所以简谐振动的解析式为.故选：D.【典例3-2】（2024·高一·全国·课后作业）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（

）（要考虑船只驶出港口需要一定时间）时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A．至 B．至C．至 D．至【答案】C【解析】由题意得，函数的周期为，振幅，所以，又因为达到最大值，所以由，可得，所以，所以函数的表达式为，令，解得，所以在可安全离港，故选：C【方法技巧与总结】数据拟合的通法（1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用．（2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题．【变式3-1】（2024·高一·全国·课后作业）某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：（小时）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）【解析】（1）根据数据，，，，，，函数的表达式为；（2）由题意，水深，即，，，，1，或；所以，该船在至或至能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.【变式3-2】（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）某市某日气温()是时间，单位：小时的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：（时）03691215182124()15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数的图象．(1)根据以上数据，试求函数的表达式(2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得3倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温不能低于，根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)【解析】（1）由的图象，可得，解得，又由，解得，所以，因为时，可得，即，解得，即，所以，又因为，解得，所以.（2）令，即，可得，解得，解得，又因为，所以当时，可得，所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售．【变式3-3】（2024·高一·福建莆田·期中）某企业一天中不同时刻的用电量（万千瓦时）关于时间（小时）的函数近似满足（，，）．如图是函数的部分图象对应凌晨0点）．(1)根据图象，求，，，的值；(2)由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有限，又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施．已知该企业某日前半日能分配到的供电量（万千瓦时）与时间（小时）的关系可用线性函数模型（）拟合．当供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．初步预计这一时刻处在中午11点到12点间，为保证该企业即可提前准备应对停产，又可尽量减少停产时间，请从这个初步预计的时间段开始，用二分法将这一时刻所处的时间段精确到15分钟．【解析】（1）由函数图象知，∴，，，代入，得，则,又,综上，,,,.（2）由（1）知,令，设，则为该企业的停产时间．当时，，则在上单调递增，而（）为减函数，故在上是单调递增函数．由，又，则，即11点到11点30分之间（大于15分钟），又，则，即11点15分到1点30分之间（正好15分钟），故估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产．【变式3-4】（2024·高一·河北邢台·期末）某地农业检测机构统计发现：该地区近几年的活鸡收购价格（元/斤）每年四个季度会重复出现，但活鸡养殖成本（元/斤）逐季递增.下表是该地区今年四个季度的统计情况：季度第1季度第2季度第3季度第4季度收购价格81086养殖成本34现打算从以下两个函数模型：①；②中选择适当的函数模型，分别来拟合今年活鸡收购价格与第季度之间的函数关系､养殖成本与第季度之间的函数关系（从今年第1季度为第1个季度开始计算）.（数据参考：取.）(1)请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型的解析式.(2)若活鸡的收购价格高于养殖成本，则该地区活鸡养殖户盈利，若活鸡的收购价格低于养殖成本，则该地区活鸡养殖户亏损.按照你选定的函数模型，帮助该机构估计一下，明年四个季度该地区活鸡养殖户是盈利还是亏损？【解析】（1）由表中数据可知，收购价格随月份变化上下波动，应选择模型①；由表中数据可知，收养殖成本随月份缓慢上升，应选择模型②.对于模型①，由点及可得该函数周期为，则由，可得.又该函数最大值为10以及最小值为6可得，，解得.所以.将代入可得，所以，又，所以，所以模型①为.对于模型②，的图象过点，.所以，解得.所以模型②为.（2）由（1）设，.若，则盈利，若，则亏损.当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则；当时，，，则.这说明明年四个季度的收购价格都高于养殖成本，所以估计明年四个季度该地区活鸡养殖户都会盈利.【变式3-5】（2024·高一·全国·课后作业）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：t/时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.61.0(1)从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．【解析】（1）把表格中的数据在坐标系内描出，如下，由所描点知：应选择，令，，，依题意，函数的最大值为，最小值为，周期为，则，，，于是，代入点，得，即，则，又，因此，所以该模型的解析式为：.（2）令，得，则，解得，而，当时，，则；当时，，则；当时，，则，因此或或，依题意，应在白天11点到19点之间训练较恰当.题型四：三角函数在圆周中的应用【典例4-1】（2024·高一·全国·单元测试）如图，一个大风车的半径为旋转一周，它的最低点离地面2m，风车翼片的一个端点从开始按逆时针方向旋转，则点离地面距离与时间之间的函数关系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意可设，则．旋转一周，．最大值与最小值分别为14，2，，解得．．故选：D．【典例4-2】（2024·高一·四川成都·期末）筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（

）米．A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意可得，即，又，所以，所以，则当时，即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米.故选：B【变式4-1】（2024·高一·广东湛江·期末）如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心到地面的距离为41米，每30分钟按逆时针方向转动1圈．若初始位置是从距地面21米时开始计算时间，以摩天轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系．设从点运动到点时所经过的时间为（单位：分钟），且此时点距离地面的高度为（单位：米），则是关于的函数．当时，（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，而是以为始边，为终边的角，由在内转过的角为，可知以为始边，为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距地面的高度为，故选：A.【变式4-2】（2024·高一·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车按逆时针方向做一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：），则下列说法正确的是（

）

①时，盛水筒P到水面的距离为；②与时，盛水筒P到水面的距离相等；③经过，盛水筒P共8次经过筒车最高点；④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】依题意作图如下：以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，当刚露出水面时，与轴的夹角是，相邻盛水桶之间的夹角是，当旋转时，旋转了，旋转到点，此时点到水面的距离为，所以①正确；②当时，旋转了周，即，此时的位置是点，与轴正半轴的夹角是，当时，旋转了，即点，与轴正半轴的夹角也是，点与点到水面的距离相等，所以②正确；③经过，则水车转过了个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；④设在的上方，与轴负方向的夹角为，，则与轴负方向的夹角为，相邻两筒到水面的距离差为：，其中，，当时取最大值为，故④错误；故选：A．【变式4-3】（2024·高一·全国·课后作业）如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为.(1)求函数的关系式；(2)画出函数的大致图象.【解析】（1）如图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立平面直角坐标系.过点作轴的垂线段，垂足为，连接.设点的坐标为，则.设，则，所以.又，即，所以，则.（2）函数的大致图象如图所示.【变式4-4】（2024·高三·山东济宁·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．

(1)求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；(2)若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求为何值时高度差最大．（参考公式：，）【解析】（1）设，则，令时，则，，又，解得，所以，．（2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为．不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，时1号与9号的高度分别为，，则，，所以高度，由参考公式得，上式从而高度差为，；当，即，时，解得，，又，所以或，此时高度差的最大值为．题型五：几何中的三角函数模型【典例5-1】（2024·高一·云南大理·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直角三角形较短的直角边长为x，由于，则较长直角边长为，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为，因为小正方形与大正方形面积之比为1∶5，所以，所以，所以，由于，解得．【典例5-2】（2024·高一·吉林长春·阶段练习）如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为.将点到直线的距离表示成的函数，则在的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图：过作于，则由题意可得：，，在中，，所以，所以，其图象即为选项B.故选：B.【变式5-1】（2024·高三·河北邢台·期末）如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（

）A．260万元 B．265万元C．255万元 D．250万元【答案】D【解析】设，，则，，所以矩形ODEH的面积，又，所以风景区面积，当时，有最大值，故最多需要万元的修建费．故选：D．【变式5-2】（2024·高三·上海浦东新·期末）动点在圆上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间时，点的坐标是，则动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，得，点每秒旋转，所以秒旋转，，则．令，解得：，经检验：当时，，故D符合，故选：D．【变式5-3】（2024·高一·河北衡水·阶段练习）如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图：过作于，则由题意可得：，，在中，，所以，∴.故选：B．【变式5-4】（2024·高一·广东佛山·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，矩形内接于该扇形，其中点分别在半径和上，点在上，，记矩形的面积为S.(1)当点分别为半径和的中点时，求S的值；(2)设，当为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.【解析】（1）如图，连接，则，所以，又因为矩形ABCD，，所以，从而可得，所以，因为，且，则为等边三角形，即，又因为矩形ABCD，，则，过点D作的垂线，垂足为E，设，则，，，在中，则，，可得，若点分别为半径和的中点，则，即，且，则，则，可得，所以.（2）由（1）可得：，又因为，则，可知当，即时，矩形面积S取到最大值为.【变式5-5】（2024·高一·辽宁大连·期中）校园里有个如图的半径为4，圆心角为的扇形花坛，P是圆弧上一点（不包括A，B），点M，N分别在半径，上.为美化校园，分别在四边形，