【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）4.3 对数（九大题型）

4.3对数目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：对数的定义 4题型二：指数式与对数式互化及其应用 6题型三：利用对数恒等式化简求值 8题型四：积、商、幂的对数 9题型五：一类与对数有关方程的求解问题 10题型六：对数运算法则的应用 12题型七：换底公式的运用 15题型八：由已知对数求解未知对数式 17题型九：证明常见的对数恒等式 19

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、对数概念1、对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．知识点诠释：对数式中各字母的取值范围是：且，，．2、对数（且）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即；（2）1的对数为0，即；（3）底的对数等于1，即．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点二、对数的运算法则已知，（且，、）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；推广：（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；知识点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：，，．知识点三、对数公式1、对数恒等式：2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，则有，，即，即，即：．（2），令，则有，则有即，即，即当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．【典型例题】题型一：对数的定义【典例1-1】（2024·高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使对数式有意义，需满足，解得或，所以实数的取值范围是．故选:D.【典例1-2】（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知对数式有意义，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由有意义可知，解得且，所以a的取值范围为.故选：B【方法技巧与总结】对数式中各字母的取值范围是：且，，．【变式1-1】（2024·高一·全国·课后作业）使有意义的实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是．故选：C.【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是（

）A．(－∞，5) B．(3，5)C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5)【答案】D【解析】由题意得，解得3<a<4或4<a<5，即a的取值范围是(3，4)∪(4，5)．故选：D.【变式1-3】（2024·高一·上海·专题练习）下列说法中错误的是（

）A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数【答案】B【解析】由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式，因此零和负数没有对数，把以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，故选：B【变式1-4】（2024·高一·全国·课后作业）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，则，解得或.故选：B.题型二：指数式与对数式互化及其应用【典例2-1】将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.（6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为.【典例2-2】求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得．（2）∵，∴，∴．（3）∵，∴，∴．（4）∵，∴，∴．【方法技巧与总结】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.【变式2-1】将下列指数式与对数式进行转换：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为.（2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为.（3）根据指数式和对数式的关系，可化为（4）根据指数式和对数式的关系，可化为【变式2-2】（2024·高一·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【变式2-3】（2024·高一·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）因为，所以有：.（2）因为，所以有：.（3）因为，所以有：.（4）因为，所以有：.（5）因为，所以有：.（6）因为，所以有：.题型三：利用对数恒等式化简求值【典例3-1】（2024·河南·高三阶段练习）计算：___________．（可保留根式）【答案】【解析】．故答案为：【典例3-2】（2024·上海市杨浦高级中学高一期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故选：C【方法技巧与总结】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.【变式3-1】（2024·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习）化简：＝________．【答案】2【解析】．故答案为：2．题型四：积、商、幂的对数【典例4-1】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）计算：．【答案】1【解析】故答案为：【典例4-2】（2024·高一·北京·期中）计算：.【答案】2【解析】.故答案为：2.【方法技巧与总结】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．【变式4-1】（2024·高一·湖南·期中）.【答案】6【解析】.故答案为：6.【变式4-2】（2024·高一·河南·期末）.【答案】/0.5【解析】.故答案为：.【变式4-3】（2024·高一·江苏南京·期中）=．【答案】【解析】故答案为：题型五：一类与对数有关方程的求解问题【典例5-1】（2024·高一·上海·期中）关于的方程的解集为．【答案】【解析】因为，可得，所以方程的解集为.故答案为：.【典例5-2】（2024·高一·上海浦东新·期中）若方程的两个解为，，求的值为．【答案】【解析】由题意：，又．故答案为：．【方法技巧与总结】直接利用定义法或者换元法【变式5-1】（2024·高一·上海·单元测试）已知方程的两个实数根为、，则的值是．【答案】36【解析】、是方程的两个实数根所以，则．故答案为：36【变式5-2】（2024·高一·上海·期中）甲、乙两人同时解关于的方程：.甲写错了常数，得两根为及；乙写错了常数，得两根及，则这个方程的真正的根为【答案】或【解析】原方程可变形为：甲写错了，得到根为及，；又乙写错了常数，得到根为及，；原方程为，即，或，或.故答案为：或.【变式5-3】（2024·高一·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则【答案】【解析】令，则，解得或，即或，解得或，所以，或，，所以.同理可求时，结果也为，故答案为：【变式5-4】（2024·高一·广东惠州·期中）记，则关于的方程的解集为.【答案】【解析】因为，所以方程可化为，令，则可化为，解得或（舍去），所以，故，所以方程的解集为.故答案为：.题型六：对数运算法则的应用【典例6-1】（2024·高一·浙江宁波·期中）求值(1)(2)【解析】（1）原式.（2）原式.【典例6-2】（2024·高一·浙江宁波·期中）计算下列各式的值.(1)(2)【解析】（1）.（2）.【方法技巧与总结】（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来.【变式6-1】（2024·高一·江苏南京·期中）求下列各式的值．(1)(2)【解析】（1）原式.（2）原式.【变式6-2】（2024·高一·全国·课后作业）计算下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）由对数的运算法则和对数的换底公式，可得：；（2）由对数的运算法则，可得【变式6-3】化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.题型七：换底公式的运用【典例7-1】（2024·高三·山东泰安·阶段练习）已知，则=【答案】1【解析】由于，故，故，则.故答案为：1【典例7-2】（2024·高一·上海·期中）若实数，且，则.【答案】1【解析】因为，所以，由，解得或（舍去），所以，即，所以，故答案为：1【方法技巧与总结】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．【变式7-1】（2024·宁夏·模拟预测）若，则.【答案】【解析】若，则.故答案为：.【变式7-2】（2024·高二·上海·开学考试）已知，则.【答案】1【解析】因为，所以，，所以.故答案为：.【变式7-3】（2024·高三·天津·阶段练习）已知，且，则的值为．【答案】【解析】由，则，，则，因此可得，故答案为：.【变式7-4】（2024·高二·宁夏石嘴山·期末）设，若，则．【答案】3【解析】由整理得：，解得或，即（舍去）或.故答案为：3【变式7-5】（2024·高一·江苏苏州·开学考试）已知，则．【答案】1【解析】，则，，．故答案为：．【变式7-6】（2024·高一·北京·开学考试）已知，且，，则．【答案】4【解析】，且，即，设，则，，解得或（舍去），即，，，，，解得或（舍去），所以．故答案为：．题型八：由已知对数求解未知对数式【典例8-1】（2024·高一·江苏徐州·期中）已知，，则（用、表示）【答案】/【解析】因为，则，又因为，所以，.故答案为：.【典例8-2】（2024·高一·上海·期中）已知，，则（结果用、表示）.【答案】【解析】由，则，又，故答案为：.【方法技巧与总结】利用对数运算法则的应用进行转换.【变式8-1】（2024·高一·浙江嘉兴·期中）已知，，则（用，表示）等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，则故选：D【变式8-2】（2024·高一·北京通州·期中）已知，，那么用含a、b的代数式表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由换底公式，.故选：B.【变式8-3】（2024·高一·江苏南通·期中）已知，，则（

）（结果用，表示）A． B． C． D．【答案】A【解析】将已知代入得：．故选：A．【变式8-4】（2024·高一·湖北武汉·期中）已知，，则可以用、表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，∴．故选：B．【变式8-5】（2024·高一·陕西渭南·期末）已知，，则用，表示【答案】【解析】由，，可得，又由.故答案为：.题型九：证明常见的对数恒等式【典例9-1】（2024·高一·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：．【解析】依题意、、均不为，令，且，则，，．因为，所以，即，所以，即．【典例9-2】（2024·高一·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等