【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）3.2.1 单调性与最大（小）值（九大题型）

3.2.1单调性与最大（小）值目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 6题型一：单调性的概念 6题型二：函数的单调性的证明 10题型三：求函数的单调区间 13题型四：利用函数单调性求参数的取值范围 15题型五：利用函数单调性的性质解不等式 17题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系 20题型七：求函数的最值 23题型八：抽象函数单调性的证明 26题型九：二次函数在闭区间上的最值问题 30

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数的定义域为，区间如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．知识点诠释：（1）属于定义域内某个区间上；（2）任意两个自变量且；（3）都有；（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．上升趋势下降趋势2、单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．知识点诠释：①单调区间与定义域的关系单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；③不能随意合并两个单调区间，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；④有的函数不具有单调性；⑤遵循最简原则，单调区间应尽可能大．3、证明函数单调性的步骤（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；（2）分别确定各个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数．知识点诠释：（1）单调区间必须在定义域内；（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性．（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点二、基本初等函数的单调性1、正比例函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．2、一次函数当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数．3、反比例函数当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间．4、二次函数若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．知识点三、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．【典型例题】题型一：单调性的概念【典例1-1】（2024·高一·上海杨浦·期中）已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【解析】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性；反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性.即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件.故选:B【典例1-2】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误；对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误；对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误；对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确.故选：D.【方法技巧与总结】单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函数在区间上是减函数：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．【变式1-1】（2024·高一·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，则“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件【答案】D【解析】由得不到“函数在区间上单调递增”，如，，显然满足，但是函数在上递增，在上递减，故“”不是“函数在区间上单调递增”的充分条件；而由“函数在区间上单调递增”可得.则“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：D.【变式1-2】（2024·高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（

）A．所有的函数在其定义域上都具有单调性.B．若函数在区间上是减函数，则函数的单调递减区间是.C．若函数为R上的减函数，则.D．若函数在定义域上有，则函数是增函数.【答案】C【解析】函数在其定义域上不具有单调性，故A错误；函数在区间上是减函数，而的单调递减区间是，故B错误；若函数为R上的减函数，因为，所以，故C正确；函数，，满足，而在上单调递增，在上单调递减，在其定义域R上不是增函数，故D错误.故选：C【变式1-3】（2024·高一·上海·期末）已知函数的定义域为，给定下列四个语句：①在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；②在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；③在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数；④在区间上是严格增函数，且是奇函数.其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（

）个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】对于①，令，满足在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，但是函数在上不单调，故①错误；对于②：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，即任意的都有，都有，所以，设任意的且，若，则，若，则，若，，则，所以函数在上是严格增函数，故②正确；对于③：在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，则在区间上是严格增函数，在区间上也是严格增函数，结合②可知，函数在上是严格增函数，故③正确；对于④：令，满足在区间上是严格增函数，且是奇函数，但是函数在上不单调，故④错误.故选：B【变式1-4】（2024·高一·上海长宁·期末）已知函数的定义域为.是上的严格增函数；任意，都有，且当时，恒有；：当时，都有；下列关于的充分条件的判断中，正确的是（

）A．都是 B．是，不是C．不是，是 D．都不是【答案】B【解析】根据题意，对于：任意，，都有，令，则有，再令，有，变形可得，则函数为奇函数；设，有，则有，必有，故函数是上的严格增函数，则是的充分条件；对于，例如，当，满足时，都有；但不是单调递增函数，故不是的充分条件；故选：B．题型二：函数的单调性的证明【典例2-1】（2024·高一·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.【解析】（1）因为，所以.（2）在上单调递减.证明如下：令，则，，即，所以在上单调递减.【典例2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，用单调性的定义证明在内单调递增【解析】，且，有，因为，且，所以，，所以，所以在内单调递增.【方法技巧与总结】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？（作差）（3）如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）【变式2-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义在上且，，当，时，有试判断函数在上是增函数还是减函数，并证明．【解析】任取，且，则，又，所以，因为当，时，有，所以，又，则，即，所以在上是增函数.【变式2-2】（2024·高一·河北邯郸·期中）已知函数，图象经过点，且.(1)求的值；(2)用定义法证明函数y=f(x)在区间上单调递增.【解析】（1）由题意得，解得（2）由（1）可知，，且，，因为，所以，又，所以，所以，即，所以，所以函数在区间上单调递增.【变式2-3】（2024·高一·上海·课堂例题）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论．【解析】当时，函数在区间-1,1上为严格减函数．证明：设，则．因为，，所以，，，，所以，所以．所以当时，函数在-1,1上为严格减函数．【变式2-4】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）已知函数，，.(1)求的解析式；(2)试判断函数在上的单调性并利用定义给予证明.【解析】（1）由题意得，解得∴.（2）在上单调递增；证明：设，则，由，得，，，∴，∴，即，故在上单调递增.题型三：求函数的单调区间【典例3-1】（2024·高一·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为【答案】和【解析】，所以的单调递增区间为和故答案为：和【典例3-2】（2024·高三·江西九江·阶段练习）函数的单调增区间是．【答案】【解析】的对称轴为，因为，所以的图象开口向上，所以的单调递增区间为.故答案为：【方法技巧与总结】（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关．（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决．关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．【变式3-1】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）函数的单调递增区间为.【答案】【解析】，由，得，当时，单调递减，单调递增；当时，单调递减，单调递增，所以的单调增区间为．故答案为：．【变式3-2】（2024·高一·安徽六安·期中）函数的单调递减区间为．【答案】【解析】令，解得，设，，外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间，，对称轴为，其开口向下，故其减区间为.故答案为：.【变式3-3】（2024·高一·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为.【答案】【解析】，画出函数图象，结合图象得函数的单调递增区间为.故答案为：.【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）函数的单调递增区间为.【答案】【解析】由题意可得，即，解得：，所以函数的定义域是，是由和复合而成，因为对称轴为，开口向下，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，而单调递增，所以的单调递增区间是，故答案为：.【变式3-5】（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）函数的递减区间是．【答案】和0,+∞【解析】当时，为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在期间0,+∞单调递减，当时，，开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减，综上所述：函数的递减区间是，故答案为：和题型四：利用函数单调性求参数的取值范围【典例4-1】（2024·高一·湖北恩施·阶段练习）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对任意，当时都有成立，所以函数在上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.【典例4-2】（2024·高一·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】开口向上，对称轴为，要想函数在区间上单调递增，则需，解得，故实数的取值范围是故选：A【方法技巧与总结】（1）解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．（2）分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题．【变式4-1】（2024·高一·江西上饶·开学考试）已知函数在定义域上是减函数，则实数a的取值可以为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由题意可得，解得，故选项中A正确，B、C、D错误.故选：A.【变式4-2】（2024·高一·山东日照·阶段练习）函数在上是减函数．则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得，故选：B．【变式4-3】（2024·高一·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由任意，都有，知在单调递减，要使在单调递减，则或，即或.故选：A.【变式4-4】（2024·高一·江苏扬州·期中）若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】开口向上，对称轴为，要想在区间上为单调增函数，则.故选：B题型五：利用函数单调性的性质解不等式【典例5-1】（2024·高一·全国·课堂例题）已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为.【答案】【解析】因为函数在定义域上是减函数，需满足，解得，即的取值范围为.故答案为：.【典例5-2】（2024·高二·河北沧州·阶段练习）已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为．【答案】【解析】令，则，则，由可得：，因为是定义在区间上的增函数，所以，解得：.则的取值范围为:.故答案为：.【方法技巧与总结】求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．【变式5-1】（2024·高一·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是．【答案】【解析】因是定义在R上的增函数，故由可得，即，解得.故答案为：.【变式5-2】（2024·高一·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是．【答案】【解析】因为对任意给定的实数，均有恒成立，所以函数在上单调递减，又，又不等式，所以当，即时，，则，解得，故；当，即时，，则，解得，故；综上，不等式的解集为.故答案为：.【变式5-3】（2024·高一·重庆云阳·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】当时，，，故，故，不成立；当时，，，不成立，当时，要使得，有两种情况：第一种情况，，即，此时由于在上单调递增，只需，解得，第二种情况，，即时，只需，解得，与取交集得，综上，的取值范围是．故答案为：【变式5-4】（2024·高一·四川成都·阶段练习）定义在上的函数满足:对，且，都有成立，且，则不等式的解集为.【答案】【解析】由题意，不等式可化为，令，因为对，且，都有成立,不妨设，则，故,则，即，所以在上单调递增，又因为，所以，故可化为，所以由的单调性可得，即不等式的解集为.故答案为：.【变式5-5】（2024·高一·广东佛山·期中）已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，则有：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递增，且，所以为上的连续函数且在上单调递增.又因为，则，可得，即对任意恒成立，注意到的图象开口向下，则，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.题型六：利用函数单调性的性质比较函数值的大小关系【典例6-1】（2024·高一·全国·专题练习）定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函数图象关于对称，且对任意，当时都有，∴在上单调递减，在单调递增，，∵，∴，∴．故选：B．【典例6-2】（2024·高一·辽宁·期中）已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对任意的，有，不妨设，则有因为，所以，即，所以在上是增函数，因为的图像关于对称，所以，故A错误；，故B错误；，故C错误，D正确.故选：D【方法技巧与总结】利用函数的单调性进行比较，数形结合．【变式6-1】（2024·高一·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，又因为在R上严格增，所以，，所以.故选：A．【变式6-2】（2024·高一·河南新乡·阶段练习）已知，点都在二次函数的图象上，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】二次函数，其图象的对称轴方程为，而，所以，即，当时，是单调增函数，因为，所以，所以，即，综上，．故选：D．【变式6-3】（2024·高一·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】是定义在上的减函数，与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误；，时，；时，，故的关系不确定，故B错误；，，，故C正确．，时，；时，，故关系不确定，D错误，故选：C．【变式6-4】（2024·高一·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由知且，由y=fx在R上是严格增函数，故，，故．故选：A.题型七：求函数的最值【典例7-1】（2024·高一·浙江衢州·期末）函数的最小值为.【答案】【解析】由题意可得函数的定义域为，，由复合函数的单调性可得函数为增函数，所以当时，取得最小值，最小值为，故答案为：.【典例7-2】（2024·高一·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为.【答案】/【解析】，设，而在上单调递增，所以，当且仅当时等号成立，则.所以函数的最大值为.故答案为：【方法技巧与总结】（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．【变式7-1】（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）函数在的值域是.【答案】【解析】因为在上单调递增，故，且，所以函数的值域为；故答案为：【变式7-2】（2024·高一·陕西宝鸡·期中）已知函数，(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数在区间上的最大值与最小值.【解析】（1）图象如下：（2）当时，，对称轴为，开口向上，可得在时单调递减；当时，，开口向下，对称轴为，所以上单调递减；在区间上单调递增，综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增.（3）由图象可得当时，最大值为，当时，最小值为，所以函数在区间上的最大值为4，最小值为.【变式7-3】（2024·高一·浙江杭州·期末）设函数．(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论；(2)若，求函数的值域．【解析】（1）函数在上单调递增；证明：任取，且，则，因为，所以，所以，得，所以函数在上单调递增；（2）因为，则，，所以，由（1）的证明过程知，函数在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得，函数在0,1上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又，显然，故，所以函数的值域为：【变式7-4】（2024·高一·重庆·期末）已知函数，且．(1)求实数的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数在上的值域．【解析】（1）∵，且，，.（2）函数在上单调递增．证明：任取，且，则∵，,即,∴函数在上单调递增．（3）由（2）得在上单调递增，∴在上单调递增，又，∴在上的值域为．题型八：抽象函数单调性的证明【典例8-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明；【解析】任取，且，因为，，所以，故，因为，所以，又因为当时，，所以，所以，所以，即，所以在R上为减函数.【典例8-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数满足、，；，.(1)求的值；(2)证明是上的增函数；(3)若，求的取值范围.【解析】（1）令，得到，解得.（2）、，，则，所以，，则，即，所以是上的增函数.（3）因为是上的增函数，且，所以，解得.因此，实数的取值范围是.【方法技巧与总结】研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的．一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例，二是“”型．对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可．【变式8-1】（2024·高一·福建南平·期中）已知定义在区间上的函数对于任意的，满足，且当时，.(1)求的值；(2)判断的单调性并用单调性定义加以证明；(3)若，解不等式.【解析】（1）令，代入得，故.（2）任取，且，则，由于当时，，所以，即，因此，所以函数在区间上是单调递减函数.（3）由题意有，则，而，所以.由于函数在区间上是单调递减函数由，得，∴.又因为，因此不等式的解集为或.【变式8-2】（2024·高一·安徽·期末）已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，.(1)判断并证明函数的单调性；(2)若，求解关于x的不等式的解集.【解析】（1）在上单调递减，证明如下：因为，，总有成立，当时，，，且，则，则，即，所以在上单调递减.（2）因为因为，，总有成立，所以，则，因为，所以，所以不等式可化为，所以，解得.所以不等式的解集为.【变式8-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知定义在上函数同时满足如下三个条件：①对任意都有；②当时，；③．(1)计算的值；(2)证明在上为减函数；(3)有集合，问：是否存在点使？【解析】（1）由，，得．（2）对任意，有．根据条件②有．所以．所以在0,+∞上为减函数．（3）联立，将，代入上式得，因为在0,+∞上是减函数，所以消去得．因为，所以无实数解．所以不存在满足题设的点．【变式8-4】（2024·高一·山东德州·期中）已知定义在上的函数满足：①对，，；②当时，；③.(1)求，判断并证明的单调性；(2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）令，得，解得；在上的单调递增.证明如下：任取，即，则，因为时，，所以时，，所以在上的单调递增.（2）令，得，因为，所以，不等式等价于，即；因为在上单调递增，所以恒成立，①时，，解得，不等式并非在上恒成立；②时，只有满足条件，解得.综上可得.题型九：二次函数在闭区间上的最值问题【典例9-1】（2024·高一·广东惠州·阶段练习）已知二次函数.(1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围；(2)求在上的最小值的解析式.【解析】（1）当时，，所以，又因为，，所以在上的值域为0,1时，；（2）由题意可知，的对称轴为，且图象开口向上，①当时，在0,1上单调递增，故；②当时，在上单调递减，在上单调递增，故；③当时，在0,1上单调递减，故．综上所述，．【典例9-2】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数，．(1)求的最大值；(2)当时，求的最大值．【解析】（1）；当，即时，在上单调递增，；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；当时，在上单调递减，；综上所述：.（2）由（1）知：当时，；当时，；综上所述：当时，的最大值为.【方法技巧与总结】二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴