【教无忧】2024-2025学年高二数学同步讲义（人教A版2019）4．3．1 等比数列的概念（八大题型）

4．3．1等比数列的概念目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 5题型一：等比数列的判断 5题型二：等比数列的通项公式及其应用 9题型三：等比数列的证明 11题型四：等比中项及应用 14题型五：等比数列的实际应用 16题型六：等比数列通项公式的推广及应用 19题型七：等比数列性质的应用 22题型八：灵活设元求解等比数列问题 24

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知识点诠释：①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列；⑤证明一个数列为等比数列，其依据．利用这种形式来判定，就便于操作了．知识点二、等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．知识点诠释：①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项．当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项．②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一．但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一．③当时，、、成等比数列．④是、、成等比数列的必要不充分条件．知识点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义可得：∴；；；……当n=1时，上式也成立∴归纳得出：（2）叠乘法：根据等比数列的定义可得：，，，……，把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知识点诠释：①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明：∵，∴∴由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况．知识点四、等比数列的性质设等比数列的公比为①若，且，则，特别地，当时．②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为．③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．知识点五、等比数列中的函数关系等比数列中，，若设，则：（1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点．（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点．①当且时，等比数列是递增数列；②当且时，等比数列是递减数列；③当且时，等比数列是递减数列；④当且时，等比数列是递增数列．（3）当时，等比数列是摆动数列．知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列．【方法技巧与总结】等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步骤：运用方程思想列出基本量和的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量．【典型例题】题型一：等比数列的判断【典例1-1】（2024·高二·全国·专题练习）数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设数列的公比为q（），，，可得，于是数列为递增数列；反之不成立，例如数列是递增数列，但．“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件．故选：A．【典例1-2】（2024·高二·河南·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“a，b，c成等比数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为a，b，c是的三边，所以a，b，c均不为0，则由，可得，所以a，b，c成等比数列，反之，当a，b，c成等比数列，可得，所以“”是“a，b，c成等比数列”的充要条件．故选：C.【方法技巧与总结】一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．【变式1-1】（2024·高二·湖北·期中）“数列{}是等比数列”是“数列是等比数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若是等比数列，设的公比为q，则，则数列是公比为的等比数列.假设数列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，则数列是等比数列，但是数列不是等比数列.故数列“是等比数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-2】（2024·高二·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（

）A．若是等差数列，则是等差数列B．若是等比数列，则是等比数列C．若是等差数列，则是等比数列D．若是等比数列，则是等差数列【答案】C【解析】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数，所以，数列是等比数列，但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对；对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为，则不是常数，故数列不是等比数列，不是常数，故数列不是等差数列，BD都错.故选：C.【变式1-3】（2024·江苏扬州·模拟预测）设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若为递增数列，当，且时，有，此时为递增数列，当对任意,，故“为递增数列”不是“存在正整数，当时，”的充分条件；若存在正整数，当时，，此时，，故，，假设存在，使得，则有，则，又且，故，则当时，，与条件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即对任意的，，即为递增数列，故“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要条件；综上所述，“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的必要不充分条件.故选：B.【变式1-4】（2024·高二·湖北·阶段练习）记数列的前项和是，前项积是．①若是等差数列，则是等差数列；②若和都是等差数列，则是等差数列；③若是等比数列，则是等比数列；④若是等比数列，则是等比数列．其中真命题的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】对于①，若是等差数列，则，故，其中为常数,故，整理得到：，故，此时，故是等差数列，故①正确.对于②，因为为等差数列，则，其中常数为公差，则即，因为为等差数列，故，故，此时，故是等差数列，故②正确.对于③，设等比数列的通项为，则，此时不是等比数列，故③错误.对于④，设等比数列的通项为，则，此时，此时，故不为常数，故不是等比数列，故选：B.题型二：等比数列的通项公式及其应用【典例2-1】（2024·高二·江苏苏州·期中）已知等比数列满足，则.【答案】【解析】设公比为.因为，故，解得或者，若，则且，此时，若，则且，此时，故答案为：.【典例2-2】（2024·高二·上海·期中）已知数列为等比数列，、，则【答案】【解析】因为数列为等比数列，、，所以，所以，又，所以，即，所以.故答案为：-2【方法技巧与总结】等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．【变式2-1】（2024·福建·模拟预测）已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．故答案为：2【变式2-2】（2024·高二·西藏林芝·期中）在等比数列中.(1)若它的前三项分别为，，，求；(2)若，，，求；(3)已知，，求；【解析】（1）在等比数列中，，而，所以.（2）依题意，，则，所以.（3）依题意，.【变式2-3】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列为等比数列，若，，求数列的通项公式.【解析】将代入，得，解得．设数列的公比为q（），则的前三项依次为，2，2q，则有，整理得，解得或．所以或，所以或．【变式2-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列为正项等比数列，为等差数列，若，，则．【答案】8【解析】由题得，即，，又，即，则，所以．故答案为：8.【变式2-5】（2024·高二·全国·课后作业）在正项等比数列中，，则．【答案】486【解析】由得．因为，所以，所以，即，所以，所以，故．故答案为：486.【变式2-6】（2024·高二·全国·课后作业）在等比数列中，，且，则公比．【答案】2【解析】依题意得，两式相除得，所以，即.利用试根法分解因式得，解得．故答案为：2.题型三：等比数列的证明【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知数列，，证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式．【解析】因为所以.由，知，从而.所以.所以是以为首项，2为公比的等比数列．所以，即.【典例3-2】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知数列满足.(1)证明：数列是等比数列，并指出其首项及公比；(2)求数列的通项公式．【解析】（1），，，，数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）得，当时，，当时，也满足上式，故【方法技巧与总结】1、定义法：（常数）为等比数列；2、中项法：（）为等比数列；3、通项公式法：（，为常数）为等比数列．4、构造法：在条件中出现关系时，往往构造数列，方法是把与对照，求出即可．【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）在数列中，为其前项和，且满足．判断数列是否为等比数列，并说明理由．【解析】因为，所以当时，，当时，，整理可得，因为，又.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列．【变式3-2】（2024·高二·江苏苏州·期中）已知数列满足且.(1)求；(2)证明数列是等比数列，并求.【解析】（1）当时，，当时，，（2）∵，∴得到，∴，又满足上式，∴，则代入①得：，则∴，且，∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，∴，∴【变式3-3】（2024·高二·全国·专题练习）已知数列中，，，满足.求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式.【解析】∵，∴，∴，即．∵，∴．∵，∴，∴，∴数列为等比数列，首项为2，公比为2，∴．∵，∴．【变式3-4】（2024·高二·全国·专题练习）在数列中，，且.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式.【解析】（1）由于，所以．又，所以．所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，所以．【变式3-5】（2024·高二·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列．【解析】因为，所以，则，因为，所以，所以，又，所以数列为等比数列．题型四：等比中项及应用【典例4-1】（2024·高二·甘肃兰州·期中）在等比数列中，各项均为正数，且，，则与的等比中项是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】等比数列中，各项均为正数，，则，所以与的等比中项为.故选：B.【典例4-2】（2024·高二·北京大兴·期末）若数列是等比数列，则实数的值为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为数列是等比数列，所以，解得或，当时，不满足，故舍去；当时，经检验符合题意，所以.故选：B【方法技巧与总结】（1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项．（3）a，G，b成等比数列等价于．【变式4-1】（2024·高二·山东淄博·期中）等比数列中，，，则与的等比中项为（

）A．12 B． C． D．30【答案】C【解析】记与的等比中项为G，则，所以.故选：C【变式4-2】（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（

）A．5 B．1 C． D．或1【答案】D【解析】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列，则，故，故选：D【变式4-3】（2024·高二·江苏无锡·期末）等比数列中，，则与的等比中项为（

）A．24 B． C． D．【答案】C【解析】与的等比中项，即48与12的等比中项，则与的等比中项为．故选：C．【变式4-4】（2024·安徽马鞍山·三模）已知数列是公差为2的等差数列，若成等比数列，则（

）A．9 B．12 C．18 D．27【答案】D【解析】由成等比数列，得，所以，解得，所以.故选：D【变式4-5】（2024·高二·湖北十堰·期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【解析】由题可知，，则，这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则，这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，若是等差中项，则，又，解得，则，故，若是等差中项，则，又，解得，则．故．故选：D.题型五：等比数列的实际应用【典例5-1】（2024·高二·全国·单元测试）从2017年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2021年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元）的总数为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设自2018年起每年到5月1日存款本息合计为，，，.则，，，.故选：D【典例5-2】（2024·高二·福建漳州·期中）已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为，由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列，则第6次着地后经过的路程为（），故选：D【方法技巧与总结】等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题．【变式5-1】（2024·高二·全国·专题练习）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有一个人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天到达该关口．则此人第二天走的路程为（

）A．80里 B．86里 C．90里 D．96里【答案】D【解析】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，∴此人第二天走的路程为（里）．故选：D【变式5-2】（2024·高二·辽宁沈阳·期中）某牧场今年年初牛的存栏数为1200头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（参考数据：（

）A．1420 B．1480 C．1520 D．1580【答案】B【解析】依题意，当时，，则，于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列，则，即，所以.故选：B【变式5-3】（2024·山东·一模）如图所示，在等腰直角三角形中，斜边，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，过点作边的垂线，垂足为，…，依此类推．设，，，…，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，数列的相邻两项分别为同一个等腰直角三角形的底边和腰，即，因此数列是首项，公比的等比数列，，所以.故选：B【变式5-4】（2024·高二·福建·期中）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第n次着地后，它经过的总路程超过5m，则n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为，由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列，则第n次着地后经过的路程为，即，结合选项，检验时，，时，成立，故选：A【变式5-5】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马、“马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还（

）升粟.A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，羊、马、牛主人应偿还量构成公比为2的等比数列，设马主人应偿还升粟，则，解得，所以马主人应偿还升粟.故选：C题型六：等比数列通项公式的推广及应用【典例6-1】（2024·全国·高二课时练习）在等比数列中，公比，若，则______．【答案】【解析】等比数列中，公比，所以．故答案为：．【典例6-2】（2024·全国·高二单元测试）已知数列满足，，则______．【答案】【解析】因为，且，所以令，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故．故答案为：．【方法技巧与总结】（1）应用，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求．（2）等比数列的单调性由，共同确定，但只要单调，必有．【变式6-1】（2024·广西·平桂高中高二阶段练习）数列是等比数列，且，，则___________．【答案】16【解析】设的公比为q，则，∴，∴﹒故答案为：16．【变式6-2】（2024·全国·高二课时练习）已知数列满足，且，则______．【答案】47【解析】∵，∴数列是公比的等比数列，∴，∴．故答案为：47【变式6-3】（2024·江苏·高二专题练习）在等比数列中，存在正整数m，有，，则＝________．【答案】1536【解析】由题意知q5＝＝8，则．故答案为：1536【变式6-4】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列{an}公差为，正项等比数列{b因为，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以时，，时，．，，由，，即，（*），令，，（*）式为，其中，且，由已知和是方程的两个解，记，且，是一次函数，是指数函数，由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程才可能有两解（题中时，，时，，满足同增减）．如图，作出和的图象，它们在和时相交，无论还是，由图象可得，，，时，，时，，因此，，，，即，故选：B题型七：等比数列性质的应用【典例7-1】（2024·高三·广东江门·阶段练习）设等比数列满足，则.【答案】【解析】因为等比数列满足，所以，又，解得，故，，所以.故答案为：【典例7-2】（2024·江西上饶·一模）已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为.【答案】【解析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解.设等比数列的公比为，则（常数），所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列，因为，同理可得，因此，.故答案为：.【方法技巧与总结】利用等比数列的性质解题（1）基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．（2）优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．【变式7-1】（2024·高二·辽宁大连·期中）已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为.【答案】/0.5【解析】由题意得，因为成等比数列，设公比为，则且，解得，故.故答案为：【变式7-2】（2024·高二·浙江宁波·开学考试）（1）在等差数列中，，则的值；（2）在等比数列中，，则．【答案】15；12.【解析】（1）∵，∴根据等差数列的性质可得，∴；（2）∵数列为等比数列，∴，，也成等比数列，∴，故答案为：15；12.【变式7-3】（2024·高二·广西南宁·阶段练习）已知正项数列{}是公比不等于1的等比数列，且若则.【答案】【解析】由等比数列性质可得；，又因为函数，所以，即，所以；令，则；所以，即.故答案为：.题型八：灵活设元求解等比数列问题【典例8-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，求这四个数．【解析】设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则，解得或，故所求四个数依次为或【典例8-2】（2024·高一·广西北海·期末）有