经济学3第二章-流体静力学

第二章流体静力学流体静力学：研究流体静止时的力学规律。主要研究内容：研究静止流体的压强分布以及静止流体对物体表面的作用力。意义：流体静力学在工程中有着广泛的应用，设计挡水建筑物、水工结构、高压容器时。都要应用流体静力学的基本原理。静止流体受力情况比较简单，但其分析也同样使用严格的阿力学分析方法，掌握好这些分析方法，可为学习流体动力学打下良好的基础。第二章流体静力学教学的目的和要求：理解静水压强的特性，理解液体平衡微分方程，压强的表示方法、压强的计量单位、液体的相对平衡；掌握水静力学的基本方程，掌握液柱式测压计的基本原理，掌握并能熟练计算作用在平面、曲面上的静水总压力。第二章流体静力学主要内容：1.静止流体中应力的特性。2.流体平衡微分方程、等压面。3.重力场中液体静压强的分布。绝对压强、相对压强、真空度、测压管水头。4.液体作用在平面上的总压力。压力中心。压强分布图法。5.液体作用在曲面上的总压力。压力体。6.浮力。浮体的平衡。第二章流体静力学重点：静水压强的特性、液体平衡微分方程、液体的相对平衡、水静力学的基本方程、液柱式测压计、作用在平面、曲面上的静水总压力。

难点：液体平衡微分方程、液体的相对平衡、差压计、作用在平面、曲面上的静水总压力。第二章流体静力学思考题2-1流体静压力有哪些特性？如何证明？2-2试述流体平衡微分方程式的推导步骤，其物理意义和适用范围是什么？2-3什么样的函数称为力势函数？力势函数与压力全微分有什么关系？2-4等压面及其特性如何？2-5静力学基本方程说明哪些问题？它的使用条件是什么？2-6绝对压、表压和真空度的意义及其间的相互关系如何？2-7何谓相对静止流体？分析的方法如何？它们和静止流体有什么共性？2-8如何确定平面、曲面上液体总压力大小、方向、作用点，它们之间有什么共性和特性？2-9何谓压力中心？何谓压力体？确定压力体的方法步骤如何？2-10怎样确定潜体和浮体所受浮力的大小和作用点？潜体和浮体的平衡条件是什么？C2流体静力学C2.0引言压强分布总压力固壁受力分析浮体稳定性平衡的条件任务液压系统原理压力仪器设计浮体稳定性分析应用流体静力学相对平衡液缸,水坝,闸门等水压机,油压系统等比重计,测高仪,分离器等舰船,浮吊,气艇等小测？1写出静止流体压强的两个特点？2在流场中取一六面体（流体微团），试分析其受力？并写成欧拉平衡微分方程。3写成压强的全微分表达式。何为等压面？写出重力流场中的等压面方程？C2流体静力学静止流体的应力特征——流体静压强的特性静止流体：指流体在外力作用下保持静止的状态。绝对静止：相对地球而言。相对静止：流体相对于地球有运动，但流体质点间并没有相对运动。Notes:

无论是绝对静止还是相对静止。由于质点间没有相对运动，其粘滞性不起作用，因此都可以作为理想流体来研究。C2.0引言C2流体静力学2.1静止流体中的应力特征特征一：压强的作用方向为作用面的内法向方向特征二：流体中某一点的压强

p(x,y,z)的大小

与压强的作用面无关。流体特征1：静止流体不能承受切应力，也不能承受拉应力，只能承受压应力，即压强，压强的作用方向为作用面的内法向方向（垂直指向作用面）。压强：单位面积所受到的压力，称为压强。单位：1kN/m2=1kPa=1000PaC2流体静力学2.1静止流体中的应力特征原因：静止流体速度等于零。流体特征2：流体中某一点的压强

p(x,y,z)

的大小与压强的作用面无关。C2流体静力学2.1静止流体中的应力特征忽略质量力（高阶小量）。同理：Notes：质量力是对面力而言是高阶小量可以略去。压力函数：

p=p(x,y,z)

C2流体静力学2.1静止流体中的应力特征质量力在三个坐标轴上的投影：平衡方程的三投影式：说明作用在单位体积流体上的体积力与压强梯度平衡。C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程欧拉平衡微分方程。一欧拉平衡微分方程由N-S方程

可得欧拉平衡方程00分量式为压强全微分式为：C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程一欧拉平衡微分方程说明作用在单位体积流体上的体积力与压强梯度平衡。说明体积力向任何方向的投影为该方向的压强增量。二、等压面静止流体中等压面为水平面。旋转流体中等压面为旋转抛物面。由,可得等压面方程：等压面上的体积力特征：体积力处处与等压面垂直.C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程二、等压面(a)开口容器中，自由面就是等压面。(b)两种互不相混的液体分界面就是等压面。(c)由于液体不连通，

M——M不是等压面。C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程三、重力下流体的压强分布规律液体在重力作用下，压强分布规律。坐标系如右图：（1）静止液体中，任意点的压强由两部分组成，一部分是表面压强P0；另一部分是液重。液重压强与液面以下水深成线性关系。（2）表面压强与液重无关。如果液面压强P0增大，液体内部的压强也同时增大，即液面压强的增量同时等值地传递到液体中每一点，这就是著名的巴斯卡原理。工程上的水压机、水力蓄能机等都是在此原理下计算的C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程P0为液面压强。静止流体四、流体平衡的条件

为保证欧拉平衡方程：C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程因为：所以：质量力有势质量力有势是流体静止的必要条件。成立，均质流体（ρ=常数）和正压流体（ρ=ρ(p)）必须满足质量力有势的条件：，U称为势函数。四、流体平衡的条件

重力是有势力。在重力场中1.均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）可以保持平衡，等压面、等势面、等密度面三者重合：2.斜压流体（ρ=ρ(p,T)，如大范围的大气、海水）不能保持平衡，等压面、等密度面不重合，要引起对流。C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程设大气满足完全气体状态方程：

[例C1.2.3]贸易风：流体平衡条件

p=RρT

差悬殊，相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合(见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相

单位质量流体机械能守恒式：五流体静力学基本方程

常用形式限制条件:

（1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。重力势能总势能压强势能C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程

单位质量流体机械能守恒式：五流体静力学基本方程

水头形式

常用形式位置水头总水头（测压管水头）限制条件:

（1）均质，（2）重力，（3）连通的同种流体。压强水头C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程六、举例位能、压能、势能符号的确定C2流体静力学2.2

流体平衡微分方程一、绝对压强、相对压强、真空度流体压强的大小可以根据不同的基准面起算，常用绝对压强和相对压强。绝对压强（pabs）：设想以完全真空为基准算起的压强。相对压强（p）：以大气压强为基准算起的压强。表面压强相对压强绝对压强大气压相对压强绝对压强大气压C2流体静力学2.3液体压强的测量静止流体一、绝对压强、相对压强、真空度当某处时，，我们说该处有真空存在，如抽水机的吸水管和虹吸管的顶部都存在真空。负压实际上与真空是等意义的。真空的大小用真空度表示。真空度：是绝对压强不足一个大气压强的不足部分。C2流体静力学2.3液体压强的测量一、绝对压强、相对压强、真空度理论上最大真空度为一个大气压。事实上由于液体压强降低，例如负压超过大气压的（0.6～0.7）倍时，液体将发生液化，其连续性遭到破坏，所以最大真空度为：（0.6～0.7）pa。

大气压分为当地大气压和工程大气压，两者略有不同，前者随高程及气象条件变化。一个标准大气压为101.3kPa。工程上常用大气压（pat）或简写（pa）替代当地大气压。

一个工程大气压为98kPa。液体的性质通常受大气压的影响变化不大，另外，在物体的周围都作用着大气压，作用的结果是互相维持平衡，故在工程中计算压力作用时一般只考虑相对压强。本书除特别指出外，所讨论的均为相对压强。P24例题2-1；P26例题2-2；例题2-3。C2流体静力学2.3液体压强的测量压强度量方法单位名称单位符号单位换算关系应力单位法帕

pa

1pa=1N/m2液柱高度法米水柱mH2O1mH2O=9.8103pa液柱高度法毫米汞柱mmHg1mmHg=13.6mmH2O=133.3pa工程大气压法工程大气压at1at=10mH2O=736mmHg=9.8104pa

压强度量单位的换算关系C2流体静力学2.3液体压强的测量压强的三种表示法：（1）用单位面积上的压力表示；（2）用液柱高表示（3）以大气压表示。例蓄水池水深h=3m,大气压pa=1at,求水池底部的相对压强

p及绝对压强pabs解:

pabs=po+

gh=pa+gh=98000+9.810003=127.4(kpa)=98+9.813=127.4(kpa)p=pabs-pa=127.4–98.0=29.4(kpa)C2流体静力学2.3液体压强的测量例虹吸管内最低绝对压强为45kpa,及pa=1at,试求虹吸管内的最大真空值pv

和最大真空度hv=?解:

pv=pa-pabs=98-45=53(kpa)

hv=pv/g=53/(9.81)=5.41(m)

C2流体静力学2.3液体压强的测量po

z21例已知

=800kg/m3,p1=64kpa,p2=79.68kpa求

z=?解:z1+p1/g=z2+p2/gz=z1–z2=(p2–p1)/g=(79.68–64.0)103/(9.8800)z=2m例A1P2P1A2已知A1=0.2m2,A2=10.0m2,P1=100kN

试求

P2=?

解:P2=pA2=(P1/A1)A2=(10.0/0.2)100=5000(kN)二、测压管

液压管是利用液柱的高度表示压强的原理制成的简单测量装置。以上液压装置所测的压强较小，精度较高，常在工程中使用。当所测的压强大于1/5工程大气压时，如工作液体作为水，则需2m以上的测压管，使用不便，故常采用重度比较大的液体（如水银）。C2流体静力学2.3液体压强的测量三、水银测压计水银测压计：是一U形测压管，管内装有水银，它的一端与施测点A相连，另一端与大气相通。C2流体静力学2.3液体压强的测量U型测压管A水银水水银压差计四、水银压差计

水银压差计：实际工程中，有时要了解某两点的压力差，两测两点压力差的装置。如果A、B两处均为水：如果A、B高度相同：C2流体静力学2.3液体压强的测量MM五、金属测压计与真空计

当需要测量较大的压力时，常采用金属测压计（又称金属压力表）。

工作原理：利用弹簧元件在被测压强作用下，产生弹性变形带动指针指示压力。（略）C2流体静力学2.3液体压强的测量主要部分为一环形金属管，管的断面为椭圆形，开口端与测点相通，封闭端有联动杆与齿轮相连。当大气进入管中时，指针的指示数为零，当传递压力的介质进入管中时，由于压力的作用金属伸展，通过拉杆和齿轮带动，使指针在测度盘上指出压强值。压力表测出的压强是相对压强，又称为表压强。习惯上只测正压的表叫压力表。五、金属测压计与真空计C2流体静力学2.3液体压强的测量金属真空计，其结构与压力表类似。当大气进入管中时，指针的示数仍为零，当传递压力的介质进入管中时，由于压力小于大气压力，金属管将发生收缩变形，这时指针的指示值为真空值。通常这种只测负压的表为真空表。六、例题倒U差压计（空气比压计）。利用C阀可进气或放气，以调节液面中的高差。a为两测点的位置高度差，h为两测压管的液面高差。已知h1=60cm，h=45cm，h2=180cm，求A、B两点的水压差。例2-3

水银密度为

2,酒精密度为1

如果水银面的高度读数为z1,z2,z3,z4

求:压差(PA-PB)=?解:界面2的压强PA-

2g(z2-z1)界面3的压强PA-

2g(z2-z1)+1g(z2-z3)界面4的压强PA-

2g(z2-z1)+1g(z2-z3)-

2g(z4-z3)=PB界面1的压强PAPA-PB=

2g(z2-z1+z4-z3)-

1g(z2-z3)均质液体相对平衡：当液体以等加速度a作直线运动或以等角速度（向心加速度 )旋转并达到稳定时，液内象刚体一样运动，方程可化为

fg

为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同，

fg–a也是有势力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。

C2流体静力学2.4

均质液体相对平衡－－了解一等加速直线运动设液体以等加速度a沿水平方向作直线运动

体积力分量f

x=-a,

fy=0,fz

=-g

压强全微分式C2流体静力学2.4

均质液体相对平衡－－了解积分得：一等加速直线运动C2流体静力学2.4

均质液体相对平衡C2流体静力学2.4

均质液体相对平衡－－了解压强分布式在图示坐标系中用淹深表示

等压面为一簇与自由液面平行的斜平面，处处与体积力合力垂直。3.等压面方程ax+gz=C说明垂直方向压强分布与静止液体中一样。说明液内压强在x、z方向均为线性分布。C2流体静力学2.4

均质液体相对平衡－－了解[例2.4.1]匀加速直线运动液体的相对平衡

已知:

用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高=l×b×h=0.6×0.3×0.5m3，静止时缸内水位高d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。求:(1)为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度am；

解：建立坐标系oxz

如图示。设鱼缸加速度为a，体积力分量为等压面微分方程为(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度am'。

fx=-a，

fz=-g

ax+gz=c

液面中点的坐标为（0,d），c=gd

。液面方程为

ax+gz=gd

[例2.4.1]匀加速直线运动液体的相对平衡

加速度表达式为

(2)当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（-b/2,h）相应的加速度为(1)当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位（-l/2,h）相应的加速度为

可见，鱼缸横向放置水不易溢出。

ax+gz=gd

设液体以等角速度ω绕中心轴z轴旋转

体积力分量

压强分布式

二等角速度旋转运动fx=ω2x，fy=ω2y，fz=－g

压强全微分式在图示坐标系中说明液内压强在z方向为线性分布，在r方向为二次曲线分布。等压面代入压强分布式，令h=zs-z

，可得

由积分得

证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。

c不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面上c=－gz0。设自由液面垂直坐标为ｚs，方程为[例2.4.2]匀角速度旋转运动液体的相对平衡

已知:

一封闭圆筒，高H=2m，半径R=0.5m，注水高H0=1.5m，压强为 p0=1000N/m2。圆筒开始旋转并逐渐加速

求:

(1）当水面刚接触圆筒顶部时的ω1、pc1及pw1；(1)当边缘水位刚达顶部时，由自由面方程式

(2)当气体刚接触圆筒底部的ω2、pc2及pw2。

解：建立坐标系oxyz

,原点o在底部中心，静止时z0=H0

。[例2.4.2]匀角速度旋转运动液体的相对平衡

pc1=p0+ρgz0=1000+9807×1=10806

N/m2

pw1=p0+ρgH=1000+9807×2=20612

N/m2

(2)当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为r2，由空气容积不变

取r=0.5m,zs

=2

m,z0=1

m[例2.4.2]匀角速度旋转运动液体的相对平衡

讨论：在第二种情况中,若没有顶盖限制，边缘水位将上升至在自由面方程中z0=0，zs=2m，r=0.354

m

例题：2－1P17一个圆柱形桶，高度为h，底面直径为d，桶内盛有1/3体积的油，2/3体积的水。若讲此桶以等角速度ω绕其轴线旋转，试求当ω达到多大值时，桶内的油全部抛出桶外？解：当油全部抛出时，桶内只剩下水，其体积等于圆桶体积的2/3，水面为抛物线。设最低点到桶底的高度为h0。由高等数学知，旋转抛物面所围的体积等于同体积圆柱体积的一半，h0＝h/3.

液面方程为：液面的最高点达到桶口，当r=d/2，z=2h/3时，因此例题：2－2P17（自己看明白）。一内盛液体的U形开口玻璃管绕一条立轴旋转。两支立管到旋转轴的距离分别R1、R2，测得两支立管得液柱高度分别为h1、h2，试求旋转角速度ω。解：两支立管得液面都位于同一等压面上，其压强为当地大气压，液面方程为：式中常数c由边界条件确定。坐标系如图所示。上二式，消去常数c，得：2.2

流体平衡微分方程C2流体静力学复习上节课内容流体平衡的条件：质量力有势。重力场中：均值、正压流体：等势线、等压面、等密度面、等温面重合。2.3液体压强的测量2.5

均质液体对平壁的总压力工程背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律计算等。条件：均质流体，体积力为重力。C2流体静力学2.5

均质液体对平壁的总压力图示斜平壁和坐标系oxy,o点在自由液面上，y轴沿斜平壁向下。在面积A上取面元dA

，纵坐标y，淹深为:1.5.1

平壁总压力大小C2流体静力学2.5

均质液体对平壁的总压力在面积A上取面元dA

，纵坐标y，淹深为一平壁总压力大小C2流体静力学2.5

均质液体对平壁的总压力作用在dA

和A上的总压力

在几何上面积A对x轴的面积矩yc

为面积A形心的纵坐标作用在A上的总压力

：在几何上面积A对x轴的面积矩：

pc为形心的压强。C2流体静力学2.5

均质液体对平壁的总压力一平壁总压力大小表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积。yc

为面积A形心的纵坐标。hc

为形心的淹深。用力矩合成法二平壁总压力作用点

1、积分法

可得可得，（纵向偏心距）

同理，（横向偏心距）Ix为面积对x轴惯性矩。用平行移轴定理rξ为面积A对ξ轴的回转半径。C2流体静力学2.5

均质液体对平壁的总压力[例2.5.2A]圆形平壁总压力已知:

封闭油柜侧壁上有一圆形封盖,d

=0.8m

h=1.2m,ρ=800kg/m3.

求:

p0分别为(1)

5kPa;(2)2kPa时总压力F和偏心距e。解：(1)

当p01=5kPa时，在封盖中心的压强为

pc1=p01+ρgh=5+0.8×9.81×1.2=5+9.42=14.42(kPa)

o1点位于油面上方p01/ρ处

hc1=0.5lsin30°=l/4=1m

[例2.5.2A]圆形平壁总压力

o2点位于油面上方|p02|

/ρ处

(2)当p02

=-2

kPa时

pc2=p02+ρgh=-2+9.42=7.42

(kPa)

F2=pc2A=7.42×0.503=3.73

(kPa)圆板rξ2=d2/16=0.82/16=0.04m2，偏心距为2.几何法(图解法)

当一矩形平壁的一边平行于液面时，作用在平壁上的压强构成平面线性平行力系，得用几何合成法求解。总压力向A点取矩求压强中心可得矩形面积三角形面积C2流体静力学2.5

均质液体对平壁的总压力均质液体对曲壁的总压力：二维曲壁的母线垂直某一坐标面。归结为求曲线ab(单位宽度)上的压强合力。分为水平分力和垂直分力。工程应用中以二维曲壁为主。ABCO三维曲壁有三个投影面，三个投影面上的三个分力不一定共点，可化为一个合力，一个力偶，应用较少。C2流体静力学2.6均质液体对曲壁的总压力水平分力以储液罐为例，曲壁ab沿水平方向的投影面积为Ax，沿垂直方向的投影面积为Ah。二二维曲壁h

xc

为投影面积A

x形心的淹深。水平分力作用应按平壁计算。当投影面积有重叠部分时，该部分的合力为零。垂直分力τp称为压力体。压力体内液体重量构成垂直分力，作用线通过压力体的重心。C2流体静力学2.6均质液体对曲壁的总压力总压力水平分力作用线按平壁总压力方法确定。垂直分力作用线通过压力体的重心。压力体压力体是指曲壁与自由液面之间的垂直空间的容积。当压力体内无水时（如右图）称为虚压力体，总压力的垂直分力负号表示垂直分力方向向上。C2流体静力学2.6均质液体对曲壁的总压力压力体压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别方法为：

当液体与压力体位于曲壁同侧，压力体为正(方向向下）

当液体与压力体位于曲壁异侧，压力体为负(方向向上）负号表示垂直分力方向向上。C2流体静力学2.6均质液体对曲壁的总压力二二维曲壁[例2.6.1.A]二维曲壁总压力(二)已知:

图示封闭容器α=45°

方孔,边长l=0.4

m，盖有半圆柱形盖. H=0.5

m,压强为p0=0.25

atm

求:

盖所受总压力大小与方向。解：

基准面离液面p0/ρg，坐标系oxyh

盖ABE水平投影，实际面积Ax=l2

cos45

°，

水平方向合力分量为

I[例2.6.1.A]二维曲壁总压力(二)(2)

盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负

,BE段的压力体为正,分别与组合I[例2.6.1.A]二维曲壁总压力(二)(2)

盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负

,BE段的压力体为正,分别与组合I[例2.6.1.A]二维曲壁总压力(二)(3)

总压力大小与方向(2)

盖ABE垂直投影,AB段的压力体为负

,BE段的压力体为正,分别与组合I一阿基米德浮力定律第一浮力定律：沉体受到的浮力等于排开的液体重量。设沉体体积为τ当

(物体重量)沉体C2流体静力学2.7浮力与稳定性设浮体浸没部分体积为:

当

(物体重量)潜体当

(物体重量)浮