《优化与策略》第2章-优化方法之建模实验篇

第2章优化方法之建模实验篇2.1什么是数学模型和数学建模2.2数学建模的初级战法—线性规划问题2.3数学建模的中级战法—非线性规划问题2.4数学建模的终级战法—实战规划问题返回2.1什么是数学模型和数学建模数学模型(MathematicalModel)是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的(近似的)描述。它不仅是了解基本规律，而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模的系统行为的强有力工具。而数学建模(MathematicalModeling)则是获得该模型、求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确的全过程，而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为的强有力工具。数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：(1)对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住主要方面)。(2)对实际问题进行必要的抽象、简化，做出合理的假设(往往是很不容易的)。(3)确定要建立的模型中的变量和参数。下一页返回2.1什么是数学模型和数学建模(4)根据某种“规律”(已知的各学科中的定律，甚至是经验的规律)建立变量和参数间确定的数学关系(明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型)，这可能是一个非常具有挑战性的数学问题。(5)解析或近似地求解该数学问题。这往往涉及复杂的数学理论和方法，近似方法和算法。(6)数学的结论能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象，或用某种方法(例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等)来验证结论是否合理、正确，这也是很不容易的。(7)如果第(6)步的结果是肯定的，那么就可以付之试用;如果是否定的，那就要回到第(1)~(6)步进行仔细分析，重复上述建模过程。因此，如果要对数学建模下定义，那就是:数学建模就是上述7个步骤的多次重复执行的过程。如果用框图来表示，则如图2.1.1所示。上一页下一页返回2.1什么是数学模型和数学建模由此可见，数学建模过程中最重要的3个要素，也是3个最大的难点是:(1)怎样从实际情况出发做出合理的假设，从而得到可以执行的合理的数学模型。(2)怎样求解模型中出现的数学问题，它可能是非常困难的问题。(3)怎样验证模型的结论是否合理、正确、可行的。数学建模中的优化问题，是比较典型的一类题目，主要特点是实现某种过程或达到某个结果的方法不唯一，但是不同方法的代价是不同的，优化问题就是寻找代价最小的方法。所以简单地说，优化问题的日的就是找到最佳实现方法。人们解决这些优化问题的手段大致有以下几种:(1)依赖过去的经验判断面临的问题。(2)做大量的试验反复比较。上一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题2.2.1线性规划的基本原理和解法一、线性规划的图解法作图如图2.2.1所示。求解线性规划的基本思路为:从可行域的某一顶点开始，只需在有限多个顶点中一个一个找下去，一定能得到最优解。于是问题化为怎样从一顶点转到下一顶点，使尽快找到最优解。从二维例子的几何意义可以看出，还会有下列情形出现:(1)若可行域为空集，则无最优解。(2)若可行域无界，则可能无最优解。(3)最优解在凸多边形的一条边上取得，则有无穷多个最优解。下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题二、单纯形法的基本思路对于二维空间有图解法，但三维空间或更高维的空间就无法用图解法了，单纯形法正是用于解决高维伞间的最有效的算法，且具有一般性。其基本思路是:用迭代法从一个顶点转换到另一个顶点，每一个转换应使目标函数下降较多。单纯形法的具体步骤可参阅线性规划书籍。由于计算机的普及和时间关系，我们对工科学生更强调用数学软件包Matlab优化工具箱、Lingo等软件计算模型。图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。如图2.2.2所示.从上面的图解过程可以看出，并不难证明以下断言:(1)可行域R可能会出现多种情况。R可能是空集一也可能是非空集合，当R非空时，它必定是若干个半平面的交集(除非遇到空间维数的退化)。R既可能是有界区域，也可能是无界区域。上一页下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题(2)在R非空时，线性规划既可以存在有限最优解，一也可以不存在有限最优解(其目标函数值无界)。(3)R非空且LP有有限最优解时，最优解可以唯一或有无穷多个。(4)若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域R的“顶点”。2.2.2用Matlab优化工具箱解线性规划Matlab语言是由美国的CleverMole:博士于1980年开发的，它集科学计算、图像处理、声音处理于一身，并提供了丰富的}%inflow*图形界面设计方法。Matlab语言提供了一套功能强大的绘图命令，这些命令可以根据输入的数据自动完成图形的绘制，为计算过程和结果的可视化提供了极佳的手段。上一页下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题一、线性规划的Matlab标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，一也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号一也可以是大于号。二、线性规划问题的解的概念一般线性规划问题的标准型为:定义2.2.1满足约束条件(2)的解x=(x1，x2，……，xn),称为线性规划问题的可行解，而使目标函数(1}达到最小值的可行解叫做最优解。定义2.2.2所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。定义2.2.3称n维空间中的区域R为一凸集，若有上一页下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题定义2.2.4设R为n维空间中的一个凸集，R中的点二被称为R的一个极点，若不存在三、求解线性规划的Matlab解法用Matlab优化工具箱求解线性规划时必须先化为如下形式:有如下程序:上一页下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题其中，输入矩阵参数c,A,b，输出x为最优解;，v1，v2给出x的下界和上界，即有约束v1≤x≤v2，v1或v2的维数k可以小于x的维数n，这时，v1或v2仅表示x前k个分量的下界或上界;x0为初始值，缺省时程序自动取x0=0;ne为等式约束的个数，且需将等式约束置于不等式约束前面;dis给出警告信息，如解无界或不可行。当中间某个参数缺省时，需用[]占据其位置。输出参数lag是拉格朗日乘子，维数等于约束条件的个数，其非零分量对应于起作用的约束条件;b给出错误信息:无可行解(infeasible，无有界解(unbounded)或问题顺利解决(ok)。Matlab7.0中线性规划的标准型为:四、可以转化为线性规划的问题很多看起来不是线性规划的问题一也可以通过变换变成线性规划问题来解决。上一页下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题2.2.3用Lingo解线性规划和整数规划Lingo(LinearInteractiveandDiscreteOptimizer)和Lingo(LinearInteractiveandGeneraiOptimizer)是由美国芝加哥大学的LinusSchragc于1986年开发的优化计算软件包，Lingo可以用来求解线性规划、线性整数规划、二次规划和整数二次规划，而Lingo除此之外还可以解非线性规划和非线性整数规划。一、Lingo解线性规划用Lingo求解线性规划(LP)时，首先在Lingo软件的模型窗口输入一个LP模型，模型以MAX或MIN开始，按线性规划问题的自然形式输入(见下面例子所示)。输入结束时只需键入END。上一页下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划(linearprogramming,LP),求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解的影响，一般称为敏感性(或灵敏度)分析。二、Lingo解整数规划Lingo可用于求解单纯的或混合型的整数规划。Lingo求解IP问题用的是分支定界法。但目前尚无完善的敏感性分析理论，因此敏感性分析在整数规划中没有意义。上一页下一页返回2.2数学建模的初级战法--线性规划问题三、用Lingo求解整数规划Lingo软件用于线性或非线性规划(无论是连续规划还是整数规划)，因此包含了Lingo的功能。在Lingo中，输入总是以“model:”开始，以“end”结束;中间的语句之间必须以“;”分开;目标函数用“MAX=…;”或“MIN=…；”给出(注意有等号“=”)。在Lingo中所有的函数均以“@”符号开始，如约束中@gin(x1)表示x1为整数，用bin(x1)表示x1为0~1整数。在现在的Lingo中，默认设置假定所有变量非负。上一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题2.3.1非线性规划的基本原理和解法非线性规划(NLP)有很多解法，如一般教科书上介绍的最速下降法、可行方向法、罚函数法、梯度投影法、步长加速法等，其共性均是逐步迭代法的形式，找出的最优点通常只是局部最优，这里我们先论述一下简单且好编程的步长加速法和仿真方法解非线性规划，其后叙述Matlab优化工具箱中用的逐步二次规划法(SequentialQuadraticProgramming，记作SQP)，它被认为是解NLP很有效的方法，通过它们来感受一下非线性规划解法特性。一、步长加速法步长加速法的思想很简单、易编程，可用于求解有约束和无约束非线性规划问题，先通过二维的例子来说明无约束非线性规划极小化min问题:下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题首先在可行域中找一初始点A，坐标x0，从x0出发，沿x轴正向，按固定步长“试跨出一步到A1点，计算函数值.f(A1)，若函数值下降了(若没下降则反向后退一步试算，若还不下降则在原地)，则从此点出发沿)轴正向按固定步长u试跨出一步到B点，计算函数值f(B)，若函数值下降了(若没下降则反向后退一步试算，若还不下降则在原地)，则说明沿方向A到B是下降方向，真正跨出的一步，应该是从x0出发，沿A到B方向，加倍跨出到点x1。重复以上过程到走不动为止，走不动则说明最优点离此地不远了，缩短步长，令新的步长=u/10，如此下去到步长符合要求精度为止。上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题二、仿真方法解非线性规划仿真方法只能用于可行域有限的非线性规划问题，其思想很简单，通过二维的例子来说明:找一较小的矩形区域覆盖住可行域，在此矩形区域内随机找一点，若此点是可行域内的点，则计算函数值，如此重复上万次，从中选出最优值作为原最优化问题的近似解。显然，解的精度随重复次数的上升而上升，若维数较高可行域较大，则此法效率就较差。此法的优点是好编程，不用求导数。三、SQP方法的基本原理SQP解LNP(1)的基本原理是:构造拉格朗日函数:上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题SQP包括以下3个主要部分:(1)求解QP子问题;(2)用线性搜索计算步长ak;(3)确定矩阵Gk的迭代公式。2.3.2用Matlab优化工具箱解非线性规划一、Matlab优化工具箱优化工具箱(Optimizationtoolbox)在Matlab中其主要功能列入表2.3.1。g和dg的表达形式请看下面的例子:计算结果见表2.3.2。上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题二、控制参数options的设置在大多数优化程序中有一个向量控制参数options，由18个元素组成，供使用者在计算时控制精度要求、输出形式、算法选择、迭代次序等，options的18个元素的功能极其缺省值列入表2.3.3中。三、控制参数options设置的进一步说明1.fminu的算法选择fminu为无约束优化的搜索方向提供了3种算法，由options控制:0ptions(6)一0(缺省值)，拟牛顿法的DFGS公式;0ptions(6)一1，拟牛顿法的DFP公式;0ptions(6)一2，最i束下降法;Fminu为无约束优化的步长一维搜索提供了两种算法，由options(7控制;上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题0ptions(7)一0(缺省值)，混合的二次和份次多项式插值;0ptions(7)一1,份次多项式插值。为获得直观认识，先画出Rosenbrock函数的三维图形(图2.3.1)和等高线图(图2.3.2)。将各种算法的计算结果列入表2.3.4中。2.梯度计算无论是最速下降法，还是拟牛顿法的BFGS,DFP公式，都要计算函数的梯度，Matlab采用两种计算方法，数值方法用函数的差分作为梯度的近似，分析方法给出精确的梯度，上面例子中用的程序都是数值方法，若用分析方法则应将函数梯度写成.m文件输入。将用分析方法给出梯度的计算结果列入表2.3.5中，与数值方法做一比较，当然分析方法要好一些。上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题3.改进计算结果的若干途径

1)改变算法Matlab提供的算法没有绝对的优劣之分，但是一般情况下以BFOS和混合、三次插值(即option缺省值所给出的)为好，最速下降法特别不适于从一狭长通道到达最优解的情况。如果函数高度非线性，或者严重不连续，还可以改用程序。2)利用分析计算的梯度由于数值方法计算梯度中步长选择、截断误差等的影响，一般说来用分析计算的梯度结果较好。3)改变初始值初值的选择对于迭代过程的收敛快慢影响很大，更为重要的是，用任何算法由一个初值得到的只是局部最优解，如果函数存在多个局部最优，那么只有改变初值，对局部最优进行比较，才有可能得到全部最优解。上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题对于高维函数选择合适的初值是很困难的，可以先忽略次要变量，简化函数，求解低维函数，用它的解作为原问题的初值。4)其他精度要求合适，不要太高，用数值计算梯度时，可以用opt(16),opt(17)调用步长。2.3.3用Lingo解非线性规划上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题上一页下一页返回2.3数学建模的中级战法--非线性规划问题上程序运行后结果如下:上一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题2.4.1生产计划的求解请看下面优化模型:用Matlab求解，计算如下:下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题得到:甲、乙两种口味的饮料各生产6.4286和4.2875(百箱)，获利102.5571万元，lag的前2个元素非零，说明前两个约束是有效约束，原料和工人均已充分利用。生产计划问题的几何意义如图2.4.1所示，在图中，问题的前3个约束条件依次为l1,l2,l3，它们与坐标轴围成的凸5边形为可行域，目标函数z的等值线的斜率(取绝对值)在l1的斜率鲁和l2的斜率1/2之间，所以z在l1，l2的交点P处达到最大Zmax，与计算得到的结果是一样的。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题讨论进一步的问题:(1)若投资0.s万元可增加原料1千克，问应否做这项投资。将第1个约束的右端由60增至61,重新计算可得:z1=104.4286，获利增值z1-z=1.5715，大于投资0.8万元，所以应进行这项投资。细心观察上述结果你会发现，第1个约束的右端增加1个单位，即原料增加1千克，目标函数的增值恰是拉格朗日乘子(lag)第1个元素的数值，与lag(1)=1.5714的含义类似，lag(2)=0.0571的含义是，当工人数(第2个约束右端)增加工厂人时，获利增值为0.0571(万元)。(2)若每百箱甲饮料获利可增加1万元，问应否改变生产计划。将目标函数x1中的系数由10改为11重新计算，可得x=(8.00,2.40),最优解改变。从图看，目标函数z的等值线的斜率变为11/9，大于l1的斜率鲁，于是最优解在l1，L3的交点Q取得。目标函数系数的改变对最优解的影响，是线性规划灵敏度分析讨论的问题。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(3)如果以百箱为最小生产单位，怎么办?这相当于对原模型增加整数解的要求，称为整数规划。求解整数线性规划复杂得多，简单地把线性规划的最优解舍入到最靠近的整数(当然要保证仍是可行解)，不一定是整数规划的最优解。2.4.2投资策略例某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目可以选择:(1)项目A，从第一年到第四年每年年初投资，次年年末收回本金且获利15%;(2)项目B，第三年年初投资，第五年年末收回本金且获利25%,最大投资额为4万元;(3)项目C，第二年年初投资，第五年年末收回本金且获利40%,最大投资额为3万元;上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(4)项目D，每年年初投资，年末收回本金且获利6%。问如何确定投资策略使第五年年末本息总额最大。模型的建立问题的目标是第五年年末的本息总额，决策是每年年初各个项目的投资，约束条件是每年年初拥有的资金。用戈;表示第i年年初(i=1,2,…,5)项目j(j=1,2,3,4分别代表A,B,C,D)的投资，根据所给条件只有表2.4.1中列出的Xij才是需要求解的。2.4.3聘用方案上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题例服务部门一周中每天需要不同数目的雇员，周一到周四每天至少50人，周五到周日每天至少80人，周六至少90人。现规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。如果周日的需要量由80人增至90人，方案怎样改变。上面指的是全时雇员(一天工作8小时)，如果可以用两个临时雇佣的半时雇员代替一个全时雇员，但规定半时雇员的工作量不能超过总工作量的四分之一，又设全时雇员和半时雇员的酬金分别为5元和3元，试确定雇佣方案，使在满足需要的条件下所付酬金总额最少。模型的建立记周一到周日每天聘用的人数分别为x1，x2，…，x7，由于每人连续工作5天，所以周一工作的雇员应是周四到周一聘用的，按照需要至少50人，于是:上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题模型求解将建立的模型(1)一(8)以简缩的形式编程:得到:上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题2.4.4供应与选址例某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置(用平面坐标a,h表示，距离单位:千米)及水泥日用量d(吨)由表2.4.2给出。目前有两个临时料场位于A(5,1),B(2，7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间均有直线公路相连，试制订每天的工作计划，即从A、B料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨千米数最少。为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两新的，日储量仍为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大。模型的建立记工地的位置为(ai，bi),水泥日用量为di,i=1，…，6；料场位置为(xi;yi)，日储量为ej，j=1，2;从料场了向工地i的运送量为cij。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题模型求解使用两个临时料场A(5,1),B(2,7)。求从料场j向工地i的运送量价;

j=1,2(分别表示A,B)，在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的条件使目标函数总吨千米数最小。这是一个线性规划问题，计算结果见表2.4.3。其结果见表2.4.4。2.4.5运输问题例某商品有m,个产地，n个销地，各产地的产量分别为a1，…，an，各销地的需求量分别为b1，…，bn。若该商品由i产地运到j销地的单位运价为cij;，问应该如何调运才能使总运费最省?上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题解引入变量xij，其取值为由i产地运往j销地的该商品数量，数学模型为:显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其求解工作在运输表上进行逐步迭代如下:先按某一规则找出一个初始解(初始调运方案);再对现行解做最优性判断;若这个解不是最优的，就在运输表上对它进行调整改进，得一新解;再判断，再改进，直到得到最优解。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题2.4.6指派问题一、指派问题的数学模型例2.4.1拟分配n人去干n项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第i人去干第j项工作，需花费C=(cij)单位时间，问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少?容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵C=(cij),C被称为指派问题的系数矩阵。引入变量xij，若分配i干j工作，则取xij=1，否则取xij=0。上述指派问题的数学模型为:上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题式(1)的可行解既可以用一个矩阵(称为解矩阵)表示，其每行每列均有且只有一个元素为1，其余元素均为0，也可以用1，…，n中的一个置换表示。式(1)的变量只能取0或1，从而是一个0一1规划问题。一般的0一1规划问题求解极为困难。但指派问题并不难解，其约束方程组的系数矩阵十分特殊(被称为全单位模矩阵，其各阶非零子式均为士1)，其非负可行解分量只能取0或1，故约束:xij=0或1可改写为:xij≥0而不改变其解。此时，指派问题被转化为一个特殊的运输问题，其中m,=n,ai=bi=1。二、求解指派问题的匈牙利算法由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig提出的更为简便的解法—匈牙利算法。算法主要依据以下事实:如果系数矩阵C=(cij)一行(或一列)中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵B=(bij)，则以C或B为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题利用上述性质，可将原系数阵c变换为含零元素较多的新系数阵B，而最优解不变。若能在B中找出n个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其他元素取值为零，则所得该解是以B为系数矩阵的指派问题的最优解，从而一也是原问题的最优解。由C到B的转换可通过先让矩阵C的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D,D的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。2.4.7昆虫繁殖问题问题:一种昆虫，最长寿命为6周，将其分为3组:第一组0一2周龄;第二组2一4周龄;第三组4~6周龄。第一组为幼虫(不产卵)，第二组每个成虫在两周内平均产卵100个，第三组每个成虫在两周内平均产卵150个。假设每个卵的成活率为0.09，第一组和第二组的昆虫能顺利进人下一个成虫组的存活率分别为0.1和0.20设现有3个组的昆虫各100只。计算第2周、第4周、第6周后各个周龄的昆虫数目。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题要求:了解建立数学模型的基本方法，运用线性代数知识解决实际问题。解建立3个周龄组昆虫的种群动态分析的数学模型。(1)符号与假设:以两周为一个时间段，某一时刻各周龄组的昆虫数量用一个三维向量表示。(2)根据数学模型用Matlab的矩阵运算计算，将数据结果填写到表2.4.5中空白单元处。2.4.8空中电缆长度问题问题:在相距100米的两塔(高度相等的点)上悬挂一根电缆，允许电缆在中间下垂10米，请计算在这两塔之间所有电缆的长度(见图2.4.3)。要求:(1)写出该曲线满足的悬链线方程。(2)画出悬链线图形。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(3)利用弧长公式计算出该电缆长度。(4)试着用另外的方法解该题，并比较其数据的误差。解(1)悬链线方程是：(2)在Matlab下用相关函数实现为:(3)用定积分弧长公式其中求出悬链线的长度。首先定义被积函数:上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(4)方法一:用过点(一50,10)，(0,0)，(50,10)的折线长度代替悬链线长度:方法二:用通过三点的抛物线来接近替代悬链线:因为抛物线通过原点。可假设y=cx2由条件y(50)=10，可知c=1/250，而y’=2cx.上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题用弧长计算公式来计算定义被积函数的格式:2.4.9生日问题问题:在100人的团体中，如果不考虑年龄的差异，是否有两个以上的人生日是同一天?假设每个人的生日在一年的365天中的任意一天的可能性是相同的，那么随机找n个人(不超过365人)，这n个人生日各不相同的概率应该是多少?要求:(1)求出n个人中至少有两个生日相同的概率P(n)的计算公式。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(2)根据P(n)的计算公式，用计算机分别计算出当团体人数取1,2，…，100时的概率值:p(1),p(2)，…，p(100)。在Matlab环境下用指令plot(p)绘制图形，描述概率值随团体人数变化的规律。(3)特殊概率值的计算。在有30,50,70个学生的班上，至少有两个同学生日相同的概率是多少？(4)用5次多项式拟合方法寻找一个近似计算概率的公式。解(1)(2)编写的ff.m文件如下:上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(3)上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(4)在Matlab环境下键入下列指令:求5次多项式拟合的多项式系数.这里，c5是一个有6个元素，它们表示5次多项式:按降序排列时的多项式系数。观察计算机屏幕并做记录。在Matlab环境下继续键入下列指令:上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题2.4.10易拉罐形状和尺寸的最优设计一、、问题的提出(1)取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明;如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。(2)设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计?其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。例如，半径和高之比，等等。(3)设易拉罐的中心纵断面如图2.4.4所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计?其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题(4)利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。二、模型假设(1)假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料。(2)假设每种相同规格易拉罐的顶部、壁、底部的厚度都相同。三、符号说明H:正圆柱体易拉罐罐身的高;H':正圆台和正圆柱体结合的易拉罐罐身的高;h1:易拉罐的圆台部分的高;h2:易拉罐的圆柱部分的高;其中:H’=h1+h2。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题R:易拉罐的圆柱部分的半径;r:易拉罐的圆台上底面的半径;l:易拉罐的圆台的母线长;S:制作易拉罐所需要的铝的总体积数;V:铝制易拉罐的实际容积;ω1:铝制易拉罐的顶部厚度;ω2:铝制易拉罐的壁厚;ω2:铝制易拉罐的底部厚度。四、问题分析对于问题(1)我们利用游标卡尺，对净含量为355毫升的蓝带原厂出品的纯爽啤酒的易拉罐进行了各部分(如直径、高度、厚度等)尺寸的测量。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题对于问题(2)在实际生活中，经营者总是考虑成本最低，这就要求在易拉罐的设计中要使其用铝量最小。在选择厚度时，我们已经假设每个易拉罐各个部分的厚度都与我们测量的值相同，于是我们可以比较容易得出顶盖体积、底盖体积和罐壁体积。因此我们可以利用规划模型来解决用铝量(铝所消耗的体积)最小这一目标函数。对于问题(3)我们对易拉罐的罐身进行观察和分析得到，罐身上面的圆台部分有2个作用:(1)增强易拉罐整体的强度。(2)由于易拉罐顶盖的材料较贵，使用圆台以减少顶盖的面积，从而节省成本。对于问题(4)首先对铝制易拉罐的优缺点进行分析比较，见表2.4.6。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题五、模型建立对于问题(2).根据问题(1)测量得到的厚度数据.可建立如下模型:而式(1)一也正是我们第(2)问的目标函数，问题(2)的规划模型为:对于问题(3)，建立使易拉罐用铝量最省的规划模型:上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题对于问题(4)，首先建立一个与问题(3)类似的目标函数，又因为是要在铝罐上安装一个瓶盖，所以先假设一个口径，通过对部分塑料瓶的日径测量，一般将铝罐的直径定为30mm。但是由于要将铝制瓶罐进行整体处理，所以这里先舍去从黄金分割的角度考虑，直接利用体积一定以及圆台上底面半径为15mm进行约束求解。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题六、模型求解问题(1)利用游标卡尺测量得到了表2.4.7所列的结论。图2.4.5直观地表示出易拉罐形状和尺寸。问题(2)通过直接带入求导的方法得出铝制易拉罐在用铝量最小的情况下的高和半径之比。问题(3)利用数学软件Lingo来进行求解，在使用计算机软件的过程中由于需要给定真实容积V的具体数值，实际中铝制易拉罐的容积要大于355mL，所以通常利用水对它进行了估算，测得V值大约为380mL，代入程序中得解，见表2.4.8。问题(4)再通过Lingo编程计算，最后得出新设计铝罐的尺寸，见表2.4.9。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题利用三维软件将这个设计画出来，可以得到如图2.4.6所示的图形。图形说明:最顶上圆柱部分为旋合式瓶口，以下部分为瓶身，瓶子底端、圆柱和圆台相接处有加强折痕。七、模型讨论问题(1)的测量中，缺少有效的测量工具，在实际的测量过程中存在着一定的误差，但通过对可u可乐的易拉罐(净含量为355mL)进行测量，得到它顶盖的直径和从顶盖到底部的总高:约为6cm和12cm。最大圆柱的直径约为6.6cm。问题(2)中，当易拉罐是一个正圆柱体，其用铝量(即使用铝的体积)最小是它的最优设计，得到半径和高的比值为3.476，而测量得到的高与半径的比值比较接近，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的尺寸，但是我们很容易发现这个圆柱式的易拉罐和真实的形状差别还是比较大的，不过整体的轮廓还是比较相近的。上一页下一页返回2.4数学建模的终级战法--实战规划问题问题(3)中，当易拉罐是由一个正圆柱体和一个圆台所组成时，在圆台顶衅径一定的情况下，外观看起来最为舒适且用铝量最小是它的最优设计，得到半径和高的比值为3.417，就单单从尺寸数据上来看，虽然它的比值仍然和真实的比值相接近，但是与第二题中的圆柱得到的比值反而差别更大，这证明数据出现了更大的偏差。然而从形状的角度来看，就会发现此时的易拉罐和真实的易拉罐有比较大的相似之处，所以我们认为得到的结果能比较合理地说明所得到的测量数据。问题(4)中，我们