2024-2025学年高中数学第三章不等式3.1.1不等关系学案含解析北师大版必修5

PAGE第三章不等式§1不等关系1．1不等关系学问点一不等式的定义[填一填]我们用数学符号“≠”“>”“<”“≤”“≥”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫作不等式．[答一答]1．不等式“a≥b”读作什么？其含义是什么？提示：“a≥b”读作“a大于或等于b”，其含义为“a>b或者a＝b”．学问点二在数学意义上的不等关系[填一填](1)常量与常量之间的不等关系；(2)变量与常量之间的不等关系；(3)函数与函数之间的不等关系；(4)一组变量之间的不等关系．[答一答]2．“不等关系”与“不等式”有怎样的区分？提示：不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现．不等式的各个符号的含义不等式表示的是不相等的关系．对于“不相等”可以是“大于”或“小于”．对于不等式a≤b，表示的是a<b或a＝b，只需满意其中一条，不等式就成立．如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.2≤3就是2<3或2＝3，尽管2＝3不成立，但2<3成立，因此，我们说2≤3这个不等式成立，只是不如2<3更精确．对于不等式a≥b，表示的是a>b或a＝b，同样也是只需满意其中一条，不等式就成立．对于实数来讲，只存在a＝b或a>b或a<b三种关系中的一种，不行能同时满意两种．类型一用不等式表示不等关系【例1】糖水在日常生活中常常见到，可以说大部分人都喝过糖水．试从下列关于糖水浓度的问题中提炼出相应的不等式．(1)向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水肯定比淡的浓、比浓的淡．【思路探究】糖水变甜的意思是糖水的浓度变大，可以用不等式表示出加糖前后的浓度的大小关系来说明这一生活常识．【解】(1)设糖水b克，含糖a克，易知浓度为eq\f(a,b)，加入m克糖后的浓度为eq\f(a＋m,b＋m)，则提炼出的不等式为：若b>a>0，m>0，则eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).(2)设淡糖水b1克，含糖a1克，易知浓度为eq\f(a1,b1)；浓糖水b2克，含糖a2克，易知浓度为eq\f(a2,b2)，则混合后的浓度为eq\f(a1＋a2,b1＋b2)，所提炼出的不等式为：若b1>a1>0，b2>a2>0，且eq\f(a1,b1)<eq\f(a2,b2)，则eq\f(a1,b1)<eq\f(a1＋a2,b1＋b2)<eq\f(a2,b2).规律方法(1)a，b，m∈R＋，且a>b，则eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)；(2)a，b，m∈R＋，且a<b，则eq\f(b＋m,a＋m)<eq\f(b,a)；(3)a，b，m∈R＋，且a<b，a>m，则eq\f(a－m,b－m)<eq\f(a,b)；(4)a，b，m，n∈R＋，且a<b，n<m，则eq\f(a＋n,b＋n)<eq\f(a＋m,b＋m)；(5)a，b，m，n∈R＋，且a>b，n<m，则eq\f(a＋n,b＋n)>eq\f(a＋m,b＋m)；(6)a，b，c，d∈R＋，且eq\f(b,a)<eq\f(d,c)，则eq\f(b＋d,a＋c)<eq\f(d,c).用不等式(组)正确表示出不等关系，首先要弄清题意，分清是常量与常量、变量与常量、变量与变量，还是函数与函数之间的不等关系，然后找到表示不等关系的词语，选准不等号，将量与量用不等号连接．要留意不等式与不等关系的对应，做到不重不漏，切记在实际问题中需检验变量的取值范围．某商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元的价格销售，每天可销售100件，现在他采纳提高售价，削减进货量的方法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应地削减10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？解：若提价后商品的售价为x元，则销售量削减eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－10,1)×10))件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)·[100－10(x－10)]≥300，即(x－8)(20－x)≥30.类型二用不等式组表示不等关系【例2】某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t，生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t；每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元．工厂在生产这两种产品的安排中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t．试写出满意上述全部不等关系的不等式组．【思路探究】所给材料中的限制条件较多，可选择不等式组表示出这些不等关系．【解】可以设分别生产甲、乙两种产品xt、yt，依据题意，应有如下的不等关系．(1)消耗A种矿石不超过300t；(2)消耗B种矿石不超过200t；(3)消耗煤不超过360t；(4)甲、乙两种产品数均非负，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋4y≤300，,5x＋4y≤200，,4x＋9y≤360，,x≥0，,y≥0.))规律方法解答此类问题时，肯定要留意所给材料中的每个数字，弄清其含义，特殊是一些隐含关系，肯定要完整地写出，本题中极易漏掉条件x≥0，y≥0.【例3】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，依据生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍．写出满意上述全部不等关系的不等式．【思路探究】设出变量，将文字语言转化为数学符号语言．【解】假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根．依据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都是正整数．由以上不等关系，可得不等式组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4000，,3x≥y，,x∈N＋，,y∈N＋，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≤40，,3x≥y，,x∈N＋，,y∈N＋.))某汽车公司由于发展的须要需购进一批汽车，安排运用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．依据须要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满意上述全部不等关系的不等式．解：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40x＋90y≤1000，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N＋，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋9y≤100，,x≥5，,y≥6，,x，y∈N＋.))——易错警示系列——题意理解错误导致错解解决实际问题的关键是审清题意，找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后再利用不等式(组)表示．【例4】某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可来回6次，乙型卡车每辆每天可来回8次，写出满意上述全部不等关系的不等式．【错解】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．依据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，,0≤y≤7，,x，y∈N＋，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y≥30，,0≤x≤4，,0≤y≤7，,x，y∈N＋.))【错解分析】本题忽视甲型卡车和乙型卡车的总和不超过驾驶员人数而导致错误．导致错误的缘由是没有真正理解题意，因此解决此问题的难点是找出题中显性和隐性的不等关系．【正解】设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．依据题意，应有如下的不等关系：(1)每天派出的甲型卡车和乙型卡车的辆数总和不能超过驾驶员人数．(2)车队每天至少要运360t矿石．(3)每天派出的甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆，且车辆数均为正整数．要同时满意上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，,0≤y≤7，,x，y∈N＋，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,5x＋4y≥30，,0≤x≤4，,0≤y≤7，,x，y∈N＋.))某工厂生产甲、乙两种图画纸，安排每种图画纸的生产量不少于8t，已知生产甲种图画纸1t要用芦苇7t、黄麻3t、枫树5t；生产乙种图画纸1t要用芦苇3t、黄麻4t、枫树8t．现在仓库内有芦苇300t、黄麻150t、枫树200t，试列出满意题意的不等式组．解：设甲、乙两种图画纸的生产量分别为xt，yt，依据题意，应有如下的不等关系：①生产甲、乙两种图画纸须要的芦苇不超过300t，用不等式表示为7x＋3y≤300；②生产甲、乙两种图画纸须要的黄麻不超过150t，用不等式表示为3x＋4y≤150；③生产甲、乙两种图画纸须要的枫树不超过200t，用不等式表示为5x＋8y≤200；④甲、乙两种图画纸的生产量都不少于8t，用不等式表示为x≥8，y≥8.所以满意题意的不等式组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x＋3y≤300，,3x＋4y≤150，,5x＋8y≤200，,x≥8，y≥8.))一、选择题1．在下列式子中，不是不等式的是(C)A．m≤0 B．－1>－eq\f(7