2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业233.1.5空间向量运算的坐标表示含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE6课时作业23空间向量运算的坐标表示时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列各组向量中不平行的是(D)A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)解析：对D中向量g，h，eq\f(16,－2)＝eq\f(－24,3)≠eq\f(40,5)，故g，h不平行．2．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为(D)A．4B．15C．7D．3解析：∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.3．已知a＋b＝(2，eq\r(2)，2eq\r(3))，a－b＝(0，eq\r(2)，0)，则cos〈a，b〉等于(C)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),6)4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(A)A．3eq\r(10) B．2eq\r(10)C.eq\r(10) D．55．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为eq\f(1,9)，则|a|＝(C)A.eq\f(9,4)B.eq\f(\r(10),2)C.eq\f(3,2)D.eq\r(6)解析：因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因为a·b＝|a||b|·cosa，b＝eq\r(2＋λ2)×eq\r(9)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,3)eq\r(2＋λ2)，所以eq\f(1,3)eq\r(2＋λ2)＝－λ.解得λ2＝eq\f(1,4)，所以|a|＝eq\r(1＋\f(1,4)＋1)＝eq\f(3,2).6．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，eq\o(OA,\s\up12(→))＋λeq\o(OB,\s\up12(→))与eq\o(OB,\s\up12(→))(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为(B)A.eq\f(\r(6),6) B．－eq\f(\r(6),6)C．±eq\f(\r(6),6) D．±eq\r(6)解析：用解除法，eq\o(OA,\s\up12(→))＋λeq\o(OB,\s\up12(→))＝(1，－λ，λ)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(0，－1,1)．由已知cos120°＝eq\f(\o(OA,\s\up12(→))＋λ\o(OB,\s\up12(→))·\o(OB,\s\up12(→)),\a\vs4\al(|\o(OA,\s\up12(→))＋λ\o(OB,\s\up12(→))||\o(OB,\s\up12(→))|))＝eq\f(2λ,\r(2λ2＋1)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴λ<0.故选B.7．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(C)A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(55),5)C.eq\f(3\r(5),5) D.eq\f(11,5)解析：由已知b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝eq\r(1＋t2＋2t－12＋0)＝eq\r(5t－\f(1,5)2＋\f(9,5))≥eq\f(3\r(5),5).8．若在△ABC中，∠C＝90°，A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(4,0，－2k)，则k的值为(D)A.eq\r(10) B．－eq\r(10)C．2eq\r(5) D．±eq\r(10)解析：eq\o(CB,\s\up12(→))＝(－6,1,2k)，eq\o(CA,\s\up12(→))＝(－3,2，－k)，则eq\o(CB,\s\up12(→))·eq\o(CA,\s\up12(→))＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±eq\r(10).二、填空题9．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝7.解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0，所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(eq\r(12＋22＋32))2＝0，解得k＝7.10．假如三点A(1,5，－2)、B(2,4,1)、C(a,3，b＋2)共线，那么a－b＝1.解析：∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(AC,\s\up12(→))，即(1，－1,3)＝λ(a－1，－2，b＋4)＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4))．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λa－1，,－1＝－2λ，,3＝λb＋4，))解得λ＝eq\f(1,2)，a＝3，b＝2.∴a－b＝1.11．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|eq\o(AB,\s\up12(→))|的取值范围是[1,5]．解析：∵A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，∴eq\o(AB,\s\up12(→))＝(2cosθ－3cosα，2sinθ－3sinα，0)．∴|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(2cosθ－3cosα2＋2sinθ－3sinα2＋0)＝eq\r(4＋9－12cosθcosα＋sinθsinα)＝eq\r(13－12cosθ－α)，∴1≤|eq\o(AB,\s\up12(→))|≤5.三、解答题12．已知a＝(1,2,3)，b＝(1,0,1)，c＝a－2b，d＝ma－b，求实数m的值，使得(1)c⊥d；(2)c∥d.解：c＝a－2b＝(－1,2,1)，d＝ma－b＝(m－1,2m,3m－1)．(1)∵c⊥d，∴c·d＝1－m＋4m＋3m－1＝0.∴m＝0.(2)∵c∥d，∴eq\f(－1,m－1)＝eq\f(2,2m)＝eq\f(1,3m－1)，得m＝eq\f(1,2).13．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1，5)．(1)求以向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标．解：(1)∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1，－3,2)，∴cos∠BAC＝eq\f(\o(AB,\s\up12(→))·\o(AC,\s\up12(→)),\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up12(→))||\o(AC,\s\up12(→))|))＝eq\f(1,2)，∴∠BAC＝60°，∴S＝|eq\o(AB,\s\up12(→))||eq\o(AC,\s\up12(→))|sin60°＝7eq\r(3).(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥eq\o(AB,\s\up12(→))⇔－2x－y＋3z＝0，a⊥eq\o(AC,\s\up12(→))⇔x－3y＋2z＝0，|a|＝3⇔x2＋y2＋z2＝3，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．——实力提升类——14．如图，在空间直角坐标系中有四棱锥P­ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，E为PD的中点，则|eq\o(BE,\s\up12(→))|＝(C)A．2 B.eq\r(5)C.eq\r(6) D．2eq\r(2)解析：由题意可得B(2,0,0)，E(0,1,1)，则eq\o(BE,\s\up12(→))＝(－2,1,1)，|eq\o(BE,\s\up12(→))|＝eq\r(6).15.如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，eq\o(A1P,\s\up12(→))＝λeq\o(A1B,\s\up12(→))，且PC⊥AB.求：(1)λ的值；(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(eq\r(3)，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(eq\r(3)，0,2)，C1(0,1,2)，于是eq\o(AB,\s\up12(→))＝(eq\r(3)，1,0)，eq\o(CA1,\s\up12(→))＝(0，－2,2)，eq\o(A1B,\s\up12(→))＝(eq\r(3)，1，－2)．因为PC⊥AB，所以eq\o(CP,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0，即(eq\o(CA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1P,\s\up12(→)))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0，也即(eq\o(CA1,\s\up12(→))＋λeq\o(A1B,\s\up12(→)))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0.故λ＝－eq\f(\o(CA1,\s\up12(→))·\o(AB,\s\up12(→)),\a\vs4\al(\o(A1B,\s\up12(→))·\o(AB,\s\up12(→))))＝eq\f(1,2).(2)由(1)知eq\o(CP,\s\up12(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(3,2)，1))，eq\o(AC1,\s\up12(→))＝(