2024-2025学年高中数学第2章推理与证明章末复习提升课学案新人教B版选修1-2

PAGEPAGE1章末复习提升课1．推理2．证明(1)干脆证明综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立从要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因框图表示eq\x(P⇒Q1)→eq\x(Q1⇒Q2)→…→eq\x(Qn⇒Q)eq\x(Q⇐P1)→eq\x(P1⇐P2)→…→eq\x(\a\al(得到一个明显成,立的条件))文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……(2)间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．1．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，留意推理过程的严密性，书写格式的规范性．2．用分析法证明数学问题时，要留意书写格式的规范性，经常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．3．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出冲突结果，其推理过程是错误的．合情推理和演绎推理已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,(n＋1)2)(n∈N＋)，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推想出f(n)的值，并加以证明．【解】f(1)＝1－a1＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·(1－eq\f(1,9))＝eq\f(3,4)×eq\f(8,9)＝eq\f(2,3)＝eq\f(4,6)，f(3)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝f(2)·(1－eq\f(1,16))＝eq\f(2,3)×eq\f(15,16)＝eq\f(5,8)，由此猜想，f(n)＝eq\f(n＋2,2(n＋1)).证明如下：f(n)＝(1－eq\f(1,22))×(1－eq\f(1,32))×…×[1－eq\f(1,(n＋1)2)]＝(1－eq\f(1,2))×(1＋eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,3))×(1＋eq\f(1,3))×…×(1－eq\f(1,n＋1))×(1＋eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×eq\f(2,3)×eq\f(4,3)×eq\f(3,4)×…×eq\f(n,n＋1)×eq\f(n＋2,n＋1)＝eq\f(n＋2,2n＋2).【点评】本例用归纳、猜想、证明的思想方法来解决，归纳或类比的结论不肯定正确，有待进一步证明，合情推理可以为演绎推理供应方向和思路．综合法与分析法已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【证明】法一：分析法要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，因为a、b、c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.又因为a、b、c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立．法二：综合法因为a、b、c∈R，所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0，又因为a、b、c不全相等，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0.所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.【点评】分析法是从结论动身找寻证题思路的一种重要方法，特殊是题设和结论相结合，即综合法与分析法相结合，可使许多困难的问题得到解决．反证法有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．【证明】假设10只猴子分到的香蕉都不一样多，因为每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉，所以只能是分别分到1，2，3，…，10个香蕉．共分了1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相冲突，故至少有两只猴子分得同样多的香蕉．【点评】用反证法证明问题要留意以下两点：①必需先否定结论．若结论的反面呈现多样性时，要列举出各种可能状况，缺少任何一种状况，反证都是不完全的．②反证法必需从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必需依据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不以结论的反面动身进行推理，就不是反证法．1．用反证法证明命题“假如a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是()A．a2＝b2 B．a2<b2C．a2≤b2 D．a2<b2，且a2＝b2解析：选C．a2>b2的否定为a2≤b2，故选C．2．如图所示，黑、白两种颜色的正六边形地板砖按图中所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中白色地板砖的块数是()A．4n＋2 B．4n－2C．2n＋4 D．3n＋3解析：选A．由题图可知，当n＝1时，a1＝6；当n＝2时，a2＝10；当n＝3时，a3＝14.由此推想，第n个图案中白色地板砖的块数是an＝4n＋2.3．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·…·b9＝29，若{an}为等差数列，a5＝2，则类似结论为()A．a1·a2·…·a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1·a2·…·a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D．由等差数列的性质知：a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.故选D．4．设f0(x)＝cosx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)，则f2017(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：选B．由条件知f0(x)＝cosx，f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，…，故函数fn(x)以4为周期循环出现，故f2017(x)＝－sinx.5．在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析：(1)由图可知四边形DEFG是直角梯形，高为eq\r(2)，下底为2eq\r(2)，上底为eq\r(2)，所以梯形面积S＝eq\f((\r(2)＋2\r(2))×\r(2),2)＝3.由图知N＝1，L＝6.(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S＝4，N＝1，L＝8，结合△ABC，四边形DEFG可列方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4b＋c＝1，,a＋6b＋c＝3，,a＋8b＋c＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\f(1,2)，,c＝－1，))S＝1×71＋eq\f(1,2)×18－1＝79.答案：(1)3，1，6(2)796．求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．证明：(1)存在性：因为2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0，所以－eq\f(1,2)为函数f(x)＝2x＋1的零点．所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点．(2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－eq\f(1,2)外还有零点x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0≠－\f