北京市二模初三数学试卷

北京市二模初三数学试卷一、选择题

1.已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式$\Delta=b^2-4ac$，则以下说法正确的是（）

A.当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；

B.当$\Delta=0$时，方程有一个实数根；

C.当$\Delta<0$时，方程没有实数根；

D.上述说法均正确。

2.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于$y=x$线的对称点坐标为（）

A.$(3,2)$；

B.$(2,-3)$；

C.$(-3,2)$；

D.$(-3,-2)$。

3.若一个等差数列的前三项分别为$a_1,a_2,a_3$，则该数列的通项公式为（）

A.$a_n=a_1+(n-1)d$；

B.$a_n=a_2+(n-1)d$；

C.$a_n=a_3+(n-1)d$；

D.$a_n=a_1+(n-1)(a_2-a_3)$。

4.已知一个三角形的两边长分别为$3$和$4$，则第三边的长可能是（）

A.$1$；

B.$5$；

C.$6$；

D.$8$。

5.在等腰三角形$ABC$中，$AB=AC$，若$BC=6$，则底角$B$的度数是（）

A.$30^\circ$；

B.$45^\circ$；

C.$60^\circ$；

D.$90^\circ$。

6.若函数$f(x)=2x+1$，则$f(-3)$的值为（）

A.$-5$；

B.$-1$；

C.$1$；

D.$5$。

7.已知$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$，则$\tan\alpha$的值为（）

A.$1$；

B.$0$；

C.$-1$；

D.不存在。

8.在平面直角坐标系中，点$P(3,4)$到原点$O$的距离是（）

A.$5$；

B.$6$；

C.$7$；

D.$8$。

9.已知等比数列的前三项分别为$1,2,4$，则该数列的通项公式为（）

A.$a_n=2^{n-1}$；

B.$a_n=4^{n-1}$；

C.$a_n=2^{n-2}$；

D.$a_n=4^{n-2}$。

10.若$x+y=5$，$xy=6$，则$x^2+y^2$的值为（）

A.$11$；

B.$25$；

C.$21$；

D.$35$。

二、判断题

1.在直角坐标系中，直线$y=2x+3$与$y$轴的交点是$(0,3)$。（）

2.在等腰三角形中，底角相等，因此底边也相等。（）

3.对于任意实数$a$和$b$，如果$a^2=b^2$，则$a=b$。（）

4.函数$y=x^2$在定义域内的所有点$(x,y)$上都有$y\geq0$。（）

5.在一个四边形中，如果一组对边平行且相等，那么这个四边形一定是平行四边形。（）

三、填空题

1.若一个数的平方根是$-3$，则这个数是_________。

2.在直角坐标系中，点$(-2,4)$关于$x$轴的对称点坐标是_________。

3.等差数列$2,5,8,\ldots$的公差是_________。

4.若一个三角形的三个内角分别为$60^\circ$，$60^\circ$和$60^\circ$，则这个三角形是_________三角形。

5.函数$y=3x-2$的图像是一条_________线，且该直线与$y$轴的交点坐标是_________。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.说明如何判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

3.解释等比数列的定义，并举例说明。

4.描述函数图像的对称性，并说明如何利用对称性来简化函数图像的绘制。

5.讨论一元一次不等式的解法，并举例说明如何求解一元一次不等式组。

五、计算题

1.解一元二次方程$2x^2-5x-3=0$，并写出解的判别式。

2.计算三角形$ABC$的面积，其中$AB=6$，$BC=8$，$\angleABC=90^\circ$。

3.设等差数列$\{a_n\}$的前三项为$2,5,8$，求该数列的第$10$项$a_{10}$。

4.已知函数$f(x)=x^2+3x+2$，求函数$f(-2)$的值。

5.解不等式组$\begin{cases}3x-2<5\\2x+1\geq4\end{cases}$，并写出解集。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校九年级学生小明在学习数学时，对函数$y=x^2$的图像和性质感到困惑。他发现，无论$x$取什么实数值，$y$总是大于等于$0$。他提出了以下问题：

-小明发现函数$y=x^2$的图像是一条开口向上的抛物线，请解释原因。

-小明想知道，当$x$为负数时，$y$的值是如何变化的？

-小明还想知道，函数$y=x^2$是否有最大值或最小值？如果有，请说明如何求出。

请根据小明的疑问，分析并解答他的问题。

2.案例背景：某班级在进行一次数学测试后，班主任发现班级的平均分为$70$分。为了提高班级整体成绩，班主任决定对学生进行一次辅导。以下是班主任的辅导计划：

-班主任将学生分为三个小组，每个小组由成绩较好的学生和成绩较差的学生组成。

-班主任针对每个小组的薄弱环节进行有针对性的辅导。

-辅导结束后，班主任计划对全班学生进行一次模拟测试，以检验辅导效果。

请根据班主任的辅导计划，分析以下问题：

-这样的分组辅导是否合理？为什么？

-如何评估辅导效果？可以采取哪些措施？

-如果模拟测试后，班级平均分仍然没有显著提高，班主任应该采取哪些措施来进一步改进辅导效果？

七、应用题

1.应用题：一个长方形的长是宽的$3$倍，如果长方形的面积是$108$平方厘米，求长方形的长和宽。

2.应用题：小明从家出发，以每小时$4$公里的速度骑行，经过$2$小时到达学校。若小明的速度保持不变，他需要多少小时才能骑行$16$公里？

3.应用题：某商店销售一批商品，原价为$200$元，打$8$折后的售价为$160$元。如果商店希望将利润率提高到$20\%$，那么售价应该定为多少元？

4.应用题：一个等腰三角形的底边长为$8$厘米，腰长为$10$厘米。请计算这个三角形的周长。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.D

2.A

3.A

4.B

5.C

6.C

7.A

8.A

9.A

10.A

二、判断题

1.√

2.×

3.×

4.√

5.√

三、填空题

1.$9$

2.$(-2,-4)$

3.$3$

4.等边

5.双斜率，$(0,-2)$

四、简答题

1.一元二次方程的解法包括配方法、因式分解法、公式法等。例如，解方程$x^2-5x+6=0$，可以先因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，然后得到$x=2$或$x=3$。

2.判断三角形类型的方法：

-锐角三角形：三个内角都小于$90^\circ$；

-直角三角形：一个内角等于$90^\circ$；

-钝角三角形：一个内角大于$90^\circ$。

3.等比数列的定义：一个数列，如果从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数$q$（$q\neq0$），那么这个数列就叫做等比数列。例如，数列$2,4,8,16,\ldots$是一个等比数列，因为每一项都是前一项的$2$倍。

4.函数图像的对称性：

-关于$x$轴对称：若对于函数图像上的任意一点$(x,y)$，都存在另一点$(x,-y)$也在图像上，则函数图像关于$x$轴对称；

-关于$y$轴对称：若对于函数图像上的任意一点$(x,y)$，都存在另一点$(-x,y)$也在图像上，则函数图像关于$y$轴对称；

-关于原点对称：若对于函数图像上的任意一点$(x,y)$，都存在另一点$(-x,-y)$也在图像上，则函数图像关于原点对称。

5.一元一次不等式的解法：

-将不等式中的不等号转换为等号，求解对应的方程；

-根据不等式的性质，将不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；

-根据不等式的性质，将不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向反转；

-例如，解不等式$2x+3<7$，先将不等式转换为等式$2x+3=7$，得到$x=2$，然后根据不等式的性质，得到解集$x<2$。

五、计算题

1.解方程$2x^2-5x-3=0$，判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49$，因为$\Delta>0$，所以方程有两个不相等的实数根。根据一元二次方程的求根公式，$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{5\pm7}{4}$，得到$x_1=3$和$x_2=-\frac{1}{2}$。

2.三角形$ABC$的面积$S=\frac{1}{2}\timesAB\timesBC\times\sin\angleABC=\frac{1}{2}\times6\times8\times\sin90^\circ=24$平方厘米。

3.等差数列$\{a_n\}$的公差$d=a_2-a_1=5-2=3$，第$10$项$a_{10}=a_1+(10-1)d=2+(10-1)\times3=29$。

4.函数$f(-2)=(-2)^2+3\times(-2)+2=4-6+2=0$。

5.解不等式组$\begin{cases}3x-2<5\\2x+1\geq4\end{cases}$，第一个不等式化简为$3x<7$，得到$x<\frac{7}{3}$；第二个不等式化简为$2x\geq3$，得到$x\geq\frac{3}{2}$。因此，解集为$\frac{3}{2}\leqx<\frac{7}{3}$。

六、案例分析题

1.小明的问题分析及解答：

-小明发现函数$y=x^2$的图像是一条开口向上的抛物线，因为当$x$为正数或负数时，$x^2$都是正数，所以图像在$x$轴上方。

-当$x$为负数时，$y$的值随着$x$的增大而减小，但始终大于$0$。

-函数$y=x^2$有最小值$0$，当$x=0$时取得。

2.班主任辅导计划分析及建议：

-这样的分组辅导是合理的，因为可以针对不同水平的学生进行有针对性的辅导。

-可以通过比较辅导前后的成绩来评估辅导效果，或者通过学生的反馈来评估。

-如果模拟测试后，班级平均分没有显著提高，班主任可以增加辅导时间，或者调整辅导内容，以确保辅导更具针对性。

知识点总结及各题型考察知识点详解及示例：

1.代数基础（选择题、填空题、简答题、计算题、应用题）

-一元一次方程、一元二次方程、不等式、函数等基本概念和性质；

-代数式的化简、方程的求解、函数图像的绘制等基本技能。