北京昌平区2020-2021学年八下期末数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市昌平区八年级（下）期末数学试卷一、选择题(本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1.在平面直角坐标中，点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【1题答案】【答案】B【解析】【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限．【详解】解：，，在第二象限，故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内坐标的符号：第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，．2.云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【2题答案】【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、是中心对称图形，故符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、不是中心对称图形，故不符合题意；D、不是中心对称图形，故不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．3.如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是()．A.180° B.360° C.540° D.720°【3题答案】【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式即可求出结果．【详解】解：黑色正五边形内角和为：，故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．4.已知直线y＝kx+2与直线y＝2x平行，则k的值是（）A.2 B.﹣2 C. D.﹣【4题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由直线y＝kx+2与直线y＝2x平行，可得这两直线的比例系数相等，∴；故选A．【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．5.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【5题答案】【答案】A【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.6.第七次全国人口普查结果发布：全国人口数超14.1亿，人口老龄化严重，2018年60岁及以上人口24949万人，2020年60岁及以上人口达到26402万人，设2018年到2020年60岁及以上人口的年平均增长率为x，则根据题意列出方程（）A.24949（1+x）2＝26402 B.26402（1+x）2＝24949C.24949（1﹣x）2＝26402 D.26402（1﹣x）2＝24949【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题意及增长率问题可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：24949（1+x）2＝26402；故选A．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．7.如图，在四边形ABCD中，ABCD．下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是（）A.AB＝CD B.ADBC C.∠B＝∠D D.AD＝BC【7题答案】【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的判定条件可直接进行排除选项．【详解】解：A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；C、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠D+∠C=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；D、AD=BC，AB∥CD无法得出四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．8.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）x

3.23

3.24

3.25

326

ax2+bx+c

﹣0.06

﹣0.02

0.03

0.09

A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26【8题答案】【答案】C【解析】【详解】试题分析：观察表格可知ax2+bx+c的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是3.24＜x＜3.25；故选C.考点：一元二次方程的解二、填空题(本题共16分，每小题2分)9.请写出一个过点（0，1）的函数的表达式_____．【9题答案】【答案】y＝﹣x+1（答案不唯一）．【解析】【分析】由函数图象过点（0，1）可得图象与y轴相交，设设该函数的表达式为y＝﹣x+b，将点的坐标代入可求b，可求函数的表达式．【详解】∵函数图象过点（0，1）∴函数图象与y轴相交，设该函数的表达式为y＝﹣x+b，过点（0，1）∴b＝1∴函数的表达式为y＝﹣x+1故答案为y＝﹣x+1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了反比例（一次、正比例或二次）函数的性质，根据点的坐标利用待定系数法求出函数表达式是解题的关键．10.如图，在中，，D是AB的中点，若，则的度数为________．【10题答案】【答案】52°【解析】【分析】根据直角三角形的性质得AD=CD，由等腰三角形性质结合三角形外角性质可得答案.【详解】∵∠ACB=90°，D是AB上的中点，∴CD=AD=BD，∴∠DCA=∠A=26°，∴∠BDC=2∠A=52°.故答案为52°.【点睛】此题考查了直角三角的性质及三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键.11.如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到AC、BC的中点D、E，并且测出DE的长为10m，则A、B间的距离为______________．【11题答案】【答案】20m【解析】【详解】∵AC、BC的中点D、E，∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=AB,∵DE=10m,∴AB=20m.故答案为20m12.直线y＝﹣2x+a经过（3，y1）和（﹣2，y2），则y1_____y2．（填写“＞”，“＜”或“＝”）【12题答案】【答案】＜【解析】【分析】根据一次函数的增减性解答即可．【详解】解：∵直线y＝﹣2x+a中，k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，∵3＞﹣2，∴y1＜y2．故答案为＜．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0），当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6，则AB的长为___．【13题答案】【答案】3【解析】【分析】由题意易得OA=OB，则有∠AOB=60°，进而可得△AOB是等边三角形，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，BD＝6，∴，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴；故答案为3．【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．14.如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b＞ax+3的解集为_____．【14题答案】【答案】x＞1【解析】【详解】试题分析：根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断．试题解析：由图知：当直线y=x+b的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b＞ax+3成立；由于两直线的交点横坐标为：x=1，观察图象可知，当x＞1时，x+b＞ax+3；考点：一次函数与一元一次不等式．15.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD于点E，若AC＝8，BD＝6，则BE的长为___．【15题答案】【答案】【解析】【分析】由题意易得OA=4，OD=3，则根据勾股定理可得AD=5，然后根据菱形的面积可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴，∴，∴，即，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键．16.若一个函数图象经过点A（1，3），B（3，1），则关于此函数的说法：①该函数可能一次函数；②点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上；③函数值y一定随自变量x的增大而减小；④可能存在自变量x的某个取值范围，在这个范围内函数值y随自变量x增大而增大．所有正确结论的序号是___．【16题答案】【答案】①②④【解析】【分析】根据函数的定义，一次函数的图象及函数的性质一一分析即可求解．【详解】解：①因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线，故该函数可能是一次函数，故正确；②由函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量，所以点P（2，2.5），Q（2，3.5）不可能同时在该函数图象上，故正确；③因为函数关系不确定，所以函数值y不一定一直随自变量x的增大而减小，故错误；④可能存在自变量x的某个取值范围，在这个范围内函数值y随自变量x增大而增大，故正确；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查函数的定义及一次函数的图象与性质，熟练掌握函数的定义及一次函数的图象与性质是解题的关键．三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）17.解方程：x2﹣4x﹣5＝0．【17题答案】【答案】x＝﹣1或x＝5．【解析】【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】x2-4x-5=0，移项，得x2-4x=5，两边都加上4，得x2-4x+4=5+4，所以（x-2）2=9，则x-2=3或x-2=-3∴x＝﹣1或x＝5．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18.如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE，CF．求证：AE＝CF．【18题答案】【答案】见详解【解析】【分析】由题意易得AB=CD，AB∥CD，则有∠ABE=∠CDF，进而可得△ABE≌△CDF，然后问题可求证．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．19.一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）．（1）求一次函数的表达式；（2）若此一次函数图象与x轴交于点C，求△BOC的面积．【19题答案】【答案】（1）一次函数的表达式为；（2）【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标代入进行解析式求解即可；（2）由题意易得点C的坐标，进而可得OC、OB，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4），∴，解得：，∴一次函数的表达式为；（2）由（1）可得一次函数的表达式为，∴令y=0时，则有，解得：，∴点，∵B（0，4），∴，∴．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．20.关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个符合条件的m的值，求出此时方程的根．【20题答案】【答案】（1）；（2），（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；（2）由（1）可任意写出一个m的值，然后代入求解方程即可．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+3m＝0有实数根，∴，解得：；（2）由（1）可得，则令代入方程得：，解得：．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及其解法是解题的关键．21.A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地，l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．（1）乙出发h后，甲才出发；（2）在乙出发h后，两人相遇，这时他们离开A地km；（3）甲的速度是km/h，乙的速度是km/h．【21题答案】【答案】（1）1；（2）1.5，20；（3）40，【解析】【分析】（1）根据图象可直接进行求解；（2）由图象可直接进行求解；（3）由图象可知甲到达乙所需的时间为2h，乙走了40km时，所用时间为3h，据此问题可求解．【详解】解：（1）由图象可得：乙出发1h后，甲才开始出发；故答案为1；（2）由图象可得：在乙出发1.5h后，两人相遇，这时离A地的距离为20km，故答案为1.5，20；（3）由图象得：甲的速度为80÷2=40km/h，乙的速度为km/h；故答案为40，．【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是根据函数图象得到基本的信息，然后进行求解即可．22.在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，A（﹣1，m）和B（n，2）关于y轴对称．（1）m＝，n＝；（2）矩形ABCD的中心在原点O，直线y＝x+b与矩形ABCD交于P，Q两点．①当b＝0时，线段PQ长度为；②当线段PQ长度最大时，求b的取值范围．【22题答案】【答案】（1）2，1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）直接根据关于y轴的对称点的特点即可求出m、n的值；（2）①先确定出直线AD和BC的表达式，进而求出点P、Q的坐标，最后用两点间距离公式进行求解即可；②根据图形找出PQ最大的分界点，代入直线y＝x+b中，即可得出答案．【详解】解：（1）∵A（﹣1，m）和B（n，2）关于y轴对称，∴；故答案为2，1；（2）①∵矩形ABCD的中心在原点O，∴点、分别是点A、B关于原点的对称点，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∥y轴，∴直线AD为，直线BC为，当b＝0时，则有，∵假设直线y＝x与AD、BC交于P，Q两点，∴，∴根据两点距离公式可得；故答案为；②当直线y=x+b过点D和B时，PQ一样大，并且是最大，此时是PQ最大的分界点，如图所示：∴当直线y=x+b过点时，则有，∴；当直线y=x+b过点时，则有，∴；∴当线段PQ长度最大时，b的取值范围为．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合及矩形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合及矩形的性质是解题的关键．23.下面是小静设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BA的延长线于点E；②分别以点B，E为圆心，大于BE长为半径作弧，两弧交于点F，作直线AF；③以点C为圆心，BC长为半径作弧，交BC的延长线于点M；④分别以点B，M为圆心，大于BM长为半径作弧，两弧交于点N，作直线CN；⑤直线AF与直线CN交于点D；所以四边形ABCD是矩形．（1）根据小静设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝，BF＝，∴AF⊥BE．（）（填推理的依据）同理CN⊥BM．又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形．（）（填推理的依据）【23题答案】【答案】（1）图见详解；（2）AE，EF，等腰三角形的三线合一，有三个角为直角的四边形是矩形．【解析】【分析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）根据矩形的判定条件及等腰三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：（1）如图所示：（2）∵AB＝AE，BF＝EF，∴AF⊥BE．（等腰三角形的三线合一），同理CN⊥BM，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有三个角为直角的四边形是矩形）；故答案为AE，EF，等腰三角形的三线合一，有三个角为直角的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查矩形的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定及等腰三角形的性质是解题的关键．24.已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．【24题答案】【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）由题意易得，然后根据菱形的判定条件可进行求证；（2）由（1）可得，则有，然后易证四边形ACED是平行四边形，进而问题可求解．【详解】（1）证明：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，∴，∵OD＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵，∴四边形ABCD是菱形；（2）由（1）可得四边形ABCD是菱形，∴，∵∠BAD＝60°，∴，∵AB＝2，∴，∴，∴，∵DE⊥BD，，∴，∴四边形ACED是平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．25.2021年是中国共产党建党100周年，为了让学生了解更多的党史知识，某中学初二年级举行了一次“党史知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了初二年级50名学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）整理并绘制了如下统计图表．初二年级学生竞赛成绩的频数分布表成绩分组/分频数频率40≤x＜5010.0250≤x＜60a0.0660≤x＜70100.2070≤x＜80bc80≤x＜90120.2490≤x＜100180.36合计501.00根据以上信息，回答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）补全频数分布直方图；（3）已知该校初二年级有学生400人，估计该校初二年级学生竞赛成绩不低于80分的人数．【25题答案】【答案】（1）3，6，0.12；（2）图见详解；（3）该校初二年级学生竞赛成绩不低于80分的人数为240名．【解析】【分析】（1）根据频数分布表可直接进行求解；（2）由（1）可直接进行作图；（3）由题意易得该校初二年级学生竞赛成绩不低于80分的人数的频率为0.6，进而问题可求解．【详解】解：（1）由频数分布表得：，，；故答案为3，6，0.12；（2）由（1）可补全频数分布直方图，（3）由题意得：（名）；答：该校初二年级学生竞赛成绩不低于80分的人数为240名．【点睛】本题主要考查频数分布直方图及频率，熟练掌握频数分布直方图及频率是解题的关键．26.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+2与直线y＝x﹣2交于点A（3，m）．（1）求k、m的值；（2）已知点P（n，n），过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+2于点N．①当n＝3时，求△PMN的面积；②若2＜S△PMN＜6，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【26题答案】【答案】（1）；（2）①；②【解析】【分析】（1）把点A代入直线y＝x﹣2求点A的坐标，然后再代入直线y＝kx+2进行求解即可；（2）①当n=3时则有，然后依据题意作出图象，进而根据三角形面积计算即可；②由题意易得点P在第一、三象限的角平分线上，当n=-3时，△PMN的面积为6，进而问题可求解．【详解】解：（1）把点A代入直线y＝x﹣2得：，∴，把代入直线y＝kx+2得：，解得：；（2）由（1）可得：，则有直线；①∵n=3，∴，由题意可得如图所示：∵过点P作垂直于y轴的直线，交直线y＝x﹣2于点M，过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝kx+2于点N，∴，∴，∴；②由题意可知点P（n，n）在直线y＝x上，由①可得当时，则有，当时，则有如图所示：∴，∴，∴，当时，则有，解得：，∴当时，则有，综上所述：当2＜S△PMN＜6时，n的取值范围为．【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．27.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与A、B重合），连接DE，交对角线AC于点F，过点F作DE的垂线分别交AD、BC于点M、N．（1）根据题意，补全图形；（2）证明：FD＝FN；（3）直接写出BN和AF的数量关系．【27题答案】【答案】（1）图见详解；（2）见详解；（3）【解析】【分析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）过点F作FH⊥AD于点H，并延长HF，交BC于点G，由题意易得，则有四边形ABGH是矩形，然后可得，进而可得，则可证，最后问题可求证；（3）由（2）可得，四边形ABGH是矩形，则有，然后可得，，进而问题可求解．【详解】（1）如图所示，（2）证明：过点F作FH⊥AD于点H，并延长HF，交BC于点G，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴，∴△AHF是等腰直角三角形，∴AH=HF，∵FH⊥