河南洛阳2020-2021学年八下期末数学试题（解析版）

2020-2021学年河南省洛阳市八年级（下）期末数学试卷一、选择题1.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x≠﹣3 B.x≥﹣3 C.x≤﹣3 D.x＞﹣3【1题答案】【答案】D【解析】【分析】直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，则且，解得：．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是正确把握相关有意义的条件．2.下列各式中，运算正确的是（）A. B. C. D.【2题答案】【答案】D【解析】【分析】．根据算术平方根的算法进行求解即可得出答案；．根据二次根式的乘法法则进行计算即可得出答案；．根据二次根式加减运算进行计算即可得出答案；．根据二次根式的除法法则进行计算即可得出答案．【详解】解：．，选项不符合题意；．，选项不符合题意；．，选项不符合题意；．，选项符合题意．故选：．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关建是熟练应用二次根式的混合运算法则进行求解．3.如图所示，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A. B.1 C.1 D.不能确定【3题答案】【答案】C【解析】【分析】由勾股定理得到CD的长度，再根据图形得到A点坐标．【详解】由题意可得：BD=4，BC=1则CD，即AD=故A点对应的实数为：1．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理和数形结合思想的综合应用，熟练地利用勾股定理和坐标求值是解题关键．4.小明同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析．发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A.平均数 B.方差 C.中位数 D.众数【4题答案】【答案】C【解析】【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与第5个数无关．故选：C．【点睛】本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度.也考查了中位数、平均数和众数的概念，解题的关键是熟练掌握平均数、中位数、方差和标准差的定义．5.甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组成绩的众数与平均数恰好相等，则这组成绩的众数是（）A.100分 B.95分 C.90分 D.85分【5题答案】【答案】C【解析】【分析】若，则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，据此排除，再由众数的定义可得出答案．【详解】解：若，则这组数据的众数是80分、90分，而这组数据的平均数只有1个，所以，所以这组数据中90分出现的次数最多，即这组数据的众数是90分，故选：C．【点睛】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．6.《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少?若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）A. B.C. D.【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．【详解】解：根据勾股定理可得：

x2=（x-4）2+（x-2）2，

故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A.24 B.48 C.72 D.96【7题答案】【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．【详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，菱形的面积，故选：B．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，求出的长．8.如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（）A. B. C. D.【8题答案】【答案】C【解析】【分析】连接，先证四边形是矩形，则，当时，最小，然后利用三角形面积解答即可．【详解】解：连接，如图：，，，，四边形是矩形，，当最小时，也最小，，，，，当时，最小，此时，，线段长的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值．9.已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【9题答案】【答案】D【解析】【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后选择即可．【详解】解：由题意得，，所以，，由三角形的三边关系得，，解不等式①得，，解不等式②得，，所以，不等式组解集是，正确反映与之间函数关系的图象是选项图象．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是利用三角形的三边关系求自变量的取值范围．10.如图，已知AOBC的顶点O(0，0)，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．若G的坐标为(2，4)，则点A的坐标是（）A.(﹣3，4) B.(﹣2，4) C. D.【10题答案】【答案】A【解析】【分析】首先证明，设，则，在中，，求出，可得结论．【详解】解：如图，设交轴于．，．，四边形是平行四边形，，，，，，设，则，在中，，，，，故选：A．【点睛】本题考查作图基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明，学会利用参数解决问题．二、填空题11.计算：_____．【11题答案】【答案】【解析】【分析】先把各二次根式化为最简二次根式得到原式，然后进行除法运算后合并即可．【详解】解：原式．故答案为．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．12.小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为95分、80分、90分，若依次按照60%、30%、10%确定成绩，则小王的成绩是_____．【12题答案】【答案】90【解析】【分析】根据加权平均数的求法可以求得小王的成绩，本题得以解决．【详解】解：根据题意得：（分，答：小王的成绩是90分．故答案为：90．【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．13.已知一组数据为7，2，5，x，8，它们的平均数是5，则这组数据的方差为_____．【13题答案】【答案】【解析】【分析】先由平均数是5计算的值，再根据方差的计算公式，直接计算可得．【详解】解：一组数据7，2，5，，8的平均数是5，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是算术平均数和方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差．14.如图，D是ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为___cm．【14题答案】【答案】6【解析】【分析】延长、交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长、交于点，∵BE⊥AE∴∠AEB=∠AEF=90°平分，，在和中，，，，，，，，，故答案为：6．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．15.如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，D是BC的中点，E是AC上一动点，将CDE沿DE折叠到，连接AC′，当是直角三角形时，CE的长为_____．【15题答案】【答案】或【解析】【分析】分两种情形，当或时，分别画出图形来解答．【详解】解：当时，将沿折叠到△，，，点、、三点共线，，，由勾股定理得，设，则，，在△中，由勾股定理得：，解得，，当时，，，，不可能为，综上，或．故答案为：3或．【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（共8小题）16.已知，求代数式的值．【16题答案】【答案】【解析】【分析】将的值代入后利用完全平方公式和平方差公式计算即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．17.为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的直线上建一座图书室．本社区有两所学校，所在的位置为点和点处，于点，于点．已知，，，要求图书室到两所学校的距离相等．（1）在图中作出点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求出图书室到点的距离；（3）连接，，，则的形状是三角形．【17题答案】【答案】（1）见解析；（2）；（3）等腰直角【解析】【分析】（1）连接，作的中垂线交于点，点即为所求；（2）连接、，设，则，根据，利用勾股定理列出方程求解可得；（3）证明出，即可得知的形状．【详解】解：（1）如图所示，点即为所求；（2）设，则，，，解得：，图书室到点的距离为；（3）由（2）知，，，且已知，，在与中，，，，，，，，是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【点睛】本题主要考查作图应用设计作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及其性质、勾股定理．18.如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝-2x+6的图象与y轴交于点B，两直线相交于点C．（1）方程组的解是；（2）当与同时成立时，的取值范围为；（3）求的面积；（4）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请求出点的坐标．【18题答案】【答案】（1）；（2）；（3）8；（4）【解析】【分析】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组解；（2）利用函数图象得出在轴上方时，对应取值范围；（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案；（4）利用三角形面积求法得出点横坐标，进而代入函数解析式得出点坐标．【详解】解：（1）如图所示：方程组的解为：；故答案为：；（2）如图所示：当与同时成立时，取何值范围是：；故答案为：；（3）令，则，，，．．；（4）令，，则，．点异于点，，．．【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，解题的关键是正确利用数形结合分析．19.某校八年级数学老师们在全年级开展教学创新对比试验，所有班级都被设为实验班或对比班，一学期后对全年级同学进行了数学水平测试，观察实验效果．从实验班和对比班中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表：一、收集、整理数据：实验班20名学生的数学成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，对比班学生数学成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89．二、分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：成绩平均数中位数众数实验班8588.5b对比班81.8a74三、描述数据：请根据以上信息，回答下列问题：（1）①补全频数分布直方图；②填空：a＝，b＝；（2）根据以上数据，你认为实验班的数学成绩更好还是对比班的数学成绩更好？判断并说明理由（两条理由即可）；（3）如果我校八年级实验班共有学生900名，对比班共有学生600名，请估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数．【19题答案】【答案】（1）①见解析；②，；（2）实验班的数学成绩更好，理由：实验班成绩的平均数、中位数均比对比班的高；（3）大约有人【解析】【分析】（1）①求出实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数，即可补全频数分布直方图；②根据众数和中位数的定义求解可得；（2）根据实验班和对比班样本数据的平均数、中位数和众数判定即可；（3）分别用实验班和对比班的总人数乘以各自样本中成绩不低于80分的学生人数所占比例，相加可得．【详解】解：（1）①实验班20名学生测试成绩（满分为的人数：（人，补全频数分布直方图如图：；②，，故答案为：79.5，89；（2）实验班的数学成绩更好，理由：①实验班样本数据的平均数大于对比班样本数据的平均数，②实验班样本数据的中位数和众数大于对比班样本数据的中位数和众数；（3）对比班20名学生本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人，估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人，答：估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数有930人．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，解题的关键是必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【20题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明如下：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．【点睛】方法点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．21.某超市基于对市场行情的调查，了解到端午节甲乙两种品牌的粽子销路比较好，通过两次订货购进情况分析发现，买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元．（1）请求出购进这两种品牌粽子每箱的价格分别是多少元？（2）该超市在端午节期间共购进了这两种品牌粽子200箱，甲品牌粽子每箱以40元价格出售，乙品牌粽子每箱以50元的价格出售，获得的利润为元．设购进的甲品牌粽子箱数为箱，求关于的函数关系式；（3）在条件（2）的销售情况下，要求每种品牌粽子进货箱数不少于30箱，且乙品牌粽子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍，当为何值时，该超市获得最大利润？最大利润是多少？【21题答案】【答案】（1）每箱甲牌粽子进价为35元，每箱乙牌粽子瓜进价为40元；（2）关于的函数关系式；（3）当时，该超市获得的最大利润，最大利润为1850元【解析】【分析】（1）设每箱甲牌粽子进价为元，每箱乙牌粽子进价为元，根据买40箱甲品牌粽子和15箱乙品牌粽子花去2000元，买20箱甲品牌粽子和30箱乙品牌粽子花去1900元列出方程组并求解；（2）根据（1）的结论以及“利润售价成本”解答即可；（3）设购甲牌粽子箱，则购买乙牌粽子为箱，根据每种品牌粽子进货箱数不少于30箱，且乙品牌粽子的箱数不少于甲品牌粽子箱数的5倍列出不等式并求得的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】解：（1）设每箱甲牌粽子进价为元，每箱乙牌粽子进价为元，，解得：，答：每箱甲牌粽子进价为35元，每箱乙牌粽子瓜进价为40元；（2）根据题意得，，关于的函数关系式；（3）设购甲牌粽子箱，则购买乙牌粽子为箱，则且，解得．由（2）得，，随的增大而减小，当时，最大，（元．答：当时，该超市获得的最大利润，最大利润为1850元．【点睛】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．22.发现：（1）如图一，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC的数量关系是；探究：（2）如图二，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．应用：（3）如图三，将（1）中的矩形ABCD改为正方形，边长AB＝8，其它条件不变，求线段GC的长．【22题答案】【答案】（1）GF＝GC；（1）成立，理由见解析，（3）2．【解析】【分析】（1）如图1，连接EG，利用矩形性质和折叠性质即可证明Rt△EFG≌Rt△ECG（HL），进而得出答案．（2）如图2，连接FC，运用折叠的性质和平行四边形性质即可证得∠GFC＝∠GCF，进而得出GF＝GC．即（1）中的结论仍然成立．（3）由于正方形是特殊的平行四边形，由（2）的结论可得GF＝GC，设GF＝GC＝x，则AG＝8+x，DG＝8﹣x，由勾股定理得AG2＝DG2+AD2，建立方程求解即可．【详解】解：（1）GF＝GC；理由如下：如图1，连接EG，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵E是BC的中点，∴EB＝EC，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴∠AFE＝∠B＝90°，EF＝EB，∴∠EFG＝180°﹣∠AFE＝90°＝∠C，EF＝EC，又∵EG=EG，∴Rt△EFG≌Rt△ECG（HL），∴GF＝GC；故答案为：GF＝GC．（2）（1）中的结论仍然成立.证明：如图2，连接FC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B+∠ECD=180°，∵∠EFG+∠AFE＝∠EFG+∠B＝180°，∴∠ECD＝∠EFG，∴∠EFG﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠GFC＝∠GCF，∴GF＝GC．即（1）中的结论仍然成立．（3）如图3，∵正方形是特殊的平行四边形，∴（2）中的GF＝GC仍然成立，设GF＝GC＝x，则AG＝8+x，DG＝8﹣x，在Rt△ADG中，AG2＝DG2+AD2，∴（8+x）2＝（8﹣x）2+82，解得：x＝2，即CG＝2．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的