2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷931考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、下列命题中：

（1）平行于同一直线的两个平面平行；

（2）平行于同一平面的两个平面平行；

（3）垂直于同一直线的两直线平行；

（4）垂直于同一平面的两直线平行．

其中正确的个数有（）

A.1

B.2

C.3

D.4

2、执行如图所示的程序框图；输出的S值为（）

A.10

B.6

C.7

D.8

3、从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（）A.120B.240C.360D.724、复数的值是（）A．－B．C．D．5、【题文】已知则=

AB.C.D.6、若点P（a,b)在圆C:x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（）A.相切B.相离C.相交D.相交或相切7、已知(1鈭�3x)9=a0+a1x+a2x2++a9x9

则|a0|+|a1|+|a2|++|a9|

等于(

)

A.29

B.49

C.39

D.1

8、一个几何体的三视图如图所示；则这个几何体的体积为(

)

A.823

B.26

C.80

D.803

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、△ABC中，a=5，b=3，cosC是方程5x2-7x-6=0的根，则S△ABC=____．10、x=y____x2=y2（填”⇒”或“”）11、函数f（x）=ex+sinx在区间[0，π]上的最小值为____．12、【题文】关于函数下列命题：

①存在当时，成立；

②在区间上是单调递增；

③函数的图像关于点成中心对称图像；

④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．

其中正确的命题序号____（注：把你认为正确的序号都填上）13、【题文】在中，若则的面积S=____．14、【题文】将函数y＝sin的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位所得图象对应的函数解析式是________．15、我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

类比此方法：求双曲线x2a2鈭�y2b2=1(a>0,b>0)

与x

轴，直线y=h(h>0)

及渐近线y=bax

所围成的阴影部分(

如图)

绕y

轴旋转一周所得的几何体的体积______．16、某射手射击所得环数娄脦

的分布列如表，已知娄脦

的期望E娄脦=8.9

则y

的值为______．。娄脦78910Px0.10.3y评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共20分)24、某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99；乙：110，115，90，85，75，115，110。（1）将这两组数据用茎叶图表示（2）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定。25、如图；在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC，PA=AC，点O；D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC；

（1）求证：OD∥平面PAB；

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）M是线段PA上的动点；当二面角M-BO-D的大小为45°时，求|PM|：|MA|的值．

26、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人）；其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有______种（数字作答）．

27、现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．（1）恰有一件是次品的抽法有多少种？（2）至少一件是次品的抽法有多少种？评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)28、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).29、解不等式组．30、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)31、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．32、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．33、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

：（1）平行于同一直线的两个平面平行；是错误的；

（2）平行于同一平面的两个平面平行；是正确的；

（3）垂直于同一直线的两直线平行；是错误的；

（4）垂直于同一平面的两直线平行；是正确的．

故答案选：B．

【解析】【答案】（1）平行于同一直线的两个平面；或平行，或相交；（2）由平行公理知，平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两条直线或平行，或相交，或异面；（4）由线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行．

2、A【分析】

第一次循环：i=1，S=0-12=-1；i=1+1=2；

第二次循环：i=2，S=-1+22=3；i=2+1=3；

第三次循环：i=3，S=3-32=-6；i=3+1=4；

第四次循环：i=4，S=-6+42=10；i=4+1=5．

结束循环；输出S=10．

故选A．

【解析】【答案】分析程序中各变量；各语句的作用；再根据流程图所示的顺序，能够输出S的值．

3、A【分析】【解析】【答案】A4、C【分析】【解析】

因此选C【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D6、C【分析】【解答】由点在圆C:的外部得圆心到直线的距离所以直线与圆相交。

【分析】判断点与圆的位置关系要比较点与圆心的距离与圆的半径的大小；判断直线与圆的位置关系要比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小，若则直线与圆相交，若则直线与圆相切，若则直线与圆相离7、B【分析】解：由二项式定理，(1鈭�3x)9

的展开式为Tr+1=C9r(鈭�3x)r

则x

的奇数次方的系数都是负值；

隆脿|a0|+|a1|+|a2|++|a9|=a0鈭�a1+a2鈭�a3+鈭�a9

．

根据题意；只需赋值x=鈭�1

即可得|a0|+|a1|+|a2|++|a9|=49

故选B．

根据二项式定理，可得(1鈭�3x)9

的展开式为Tr+1=C9r(鈭�3x)r

由绝对值的意义可得，|a0|+|a1|+|a2|++|a9|=a0鈭�a1+a2鈭�a3+a8鈭�a9

．

令x=1

代入(1鈭�3x)9

可得答案．

本题考查二项式定理的运用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，进行赋值，可以简便的求出答案．【解析】B

8、D【分析】解：由三视图可得几何体的直观图如图所示；

连接AC

且AP=2BE=4

底面ABCD

是边长为4

的正方形；

BE//APAP隆脥

平面ABCD

所以VC鈭�ABEP=13隆脕(2+4)隆脕42隆脕4=16

VP鈭�ACD=13隆脕4隆脕42隆脕4=323

所以几何体的体积V=16+323=803

故选D．

由三视图画出几何体的直观图；并求出线段的长度；判断出线面的位置关系，由分割法和椎体的体积公式求出此几何体的体积．

本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．【解析】D

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

方程5x2-7x-6=0的根；分解因式得：（x-2）（5x+3）=0；

解得：x=2或x=-

∵cosC是方程5x2-7x-6=0的根；且cosC∈[-1，1]；

∴cosC=-又C为三角形的内角；

∴sinC==又a=5，b=3；

则S△ABC=absinC=6．

故答案为：6

【解析】【答案】求出已知方程的解，根据cosC的值域，确定出cosC的值，再由C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a，b及sinC的值；利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

10、略

【分析】

∵x=y

∴两边平方得x2=y2，即“x=y”⇒“x2=y2”；

当x2=y2时，x=±y，故“x2=y2”不能推出“x=y”；

故答案为：⇒

【解析】【答案】根据等式两边同时平方还是等式可得结论．

11、略

【分析】

f′（x）=ex+cosx≥0；x∈[0，π]

故f（x）在[0；π]上单调递增；

当x=0时；函数取最小值。

f（0）=1．

故答案为：1．

【解析】【答案】求出f（x）的导数；根据导数恒大于等于0，确定f（x）在[0，π]上单调递增，当x=0时，函数取最小值．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：函数

故函数的周期为故当时，成立；①正确；

由得，故是函数的单调增区间，区间应为函数的单调减区间；故②错误；

当时，故点是函数图象的对称中心；故③正确；

函数的图象向左平移个单位后得到函数的解析式为④错误，故答案为①③.

考点：三角函数的图象和性质，三角函数辅助角公式.【解析】【答案】①③13、略

【分析】【解析】

试题分析：由余弦定理得即解得，AC=3，AC=－8（舍去），故三角形面积为=

考点：本题主要考查余弦定理的应用；三角形面积计算。

点评：基础题，利用余弦定理，建立关于b的方程，再计算三角形面积。注意增解的处理。【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：考点：本小题考查图像的平移变换.

点评：图像变换的规律是左加右减，上加下减.一般按照此规律进行平移变换.【解析】【答案】15、略

【分析】解：y=m

是一个圆环其面积。

S=娄脨(AC2鈭�BC2)

隆脽

线x2a2鈭�y2b2=1?AC2=a2+a2b2m2

同理BC2=a2b2m2

隆脿AC2鈭�BC2=a2

由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a

高为h

的柱体的体积为a2h娄脨

．

故答案为：a2h娄脨

．

确定AC2鈭�BC2=a2

由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a

高为h

的柱体的体积．

本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．【解析】a2h娄脨

16、略

【分析】解：由表格可知：x+0.1+0.3+y=1

7x+8隆脕0.1+9隆脕0.3+10隆脕y=8.9

解得y=0.4

．

故答案为：0.4

．

根据分布列的概率之和是1

得到关于x

和y

之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x

和y

的关系式，联立方程，解出要求的y

的值．

本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度.

在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神．【解析】0.4

三、作图题(共8题，共16分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共20分)24、略

【分析】（1）略；（2）略【解析】【答案】（1）图略；（2）甲25、略

【分析】

∵OP⊥平面ABC；OA=OC，AB=BC；

∴OA⊥OB；OA⊥OP，OB⊥OP．

以O为原点；OA，OB，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图）；

设AB=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a；0，0）；

设OP=h；则P（0，0，h）．

（Ⅰ）∵D为PC的中点；

∴=（a，0，h）

又∵=（a；0，h）．

∴=

∴∥

即OD∥PA

又∵OD⊄平面PAB；PA⊂平面PAB

∴OD∥平面PAB．

（Ⅱ）∵PA=AC=a

∴h=a，P点坐标为（0，0，a）；

∴=（a，0，-a），=B（0，a，-a），=（-a，0，-a）；

设平面PBC的法向量为=（x；y，z）；

则即

令z=1，则=（1）

则直线PA与平面PBC所成角θ满足；

sinθ==

即直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

（3）设存在满足条件的点M；

∵M点在线段PA上，故可设=λ（0≤λ≤1）

∵BO⊥PAC；MO，DO⊂平面PAC；

∴∠MOD即为二面角M-BO-D的平面角。

即∠MOD=45°

由（1）中OD∥PA；可得△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，则∠AOM=75°；

由正弦定理及AO=a得。

AM=a，PM=（-）a

∴|PM|：|MA|=a：（-）a=

【解析】【答案】（1）建立空间直角坐标系；分别求出OD和PA的方向向量，利用共线向量证明线线平行后，再由线面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；

（2）求出直线PA的方向向量和平面PBC的法向量；代入向量夹角公式，可得直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）设存在满足条件的点M，根据二面角M-BO-D的大小为45°，可得二面角的平面角∠MOD=45°，则在△AMO中，∠AMO=45°，∠MAO=60°，∠AOM=75°，AO=a；解△AMO，可得|PM|：|MA|的值．

26、略

【分析】

分两步；

第一步；先选四名老师，又分两类。

第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C52=10种不同选法。

第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有C64=15种不同选法。

∴不同的选法有10+15=25种。

第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A44=24

最后；两步方法数相乘，得，25×24=600

故答案为600

【解析】【答案】先从8名教师中选出4名；因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去4个边远地区支教，四名教师进行全排列即可，最后，两步方法数相乘．

27、略

【分析】（1）先选择次品然后选择正品，再利用分步原理求解即可；（2）先求出抽出3件正品的抽法数，然后利用排除法求解（1）恰有一件是次品，即从2件次品中抽1件，从8件正品中抽2件，所以，共有种6分（2）至少有一件是次品，可用排除法，10件中抽取3件有种，8件正品中抽取3件有种，所以，共有【解析】【答案】（1）种（2）五、计算题(共3题，共18分)28、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.29、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x−1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式组得解集为（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分别解不等式≤2与x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．30、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共3题，共21分)31、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是