2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知集合A={x|-2-x＜0}；则正确的是（）

A.0⊆A

B.{0}∈A

C.{0}⊆A

D.∅∈A

2、下列各说法中，其中错误的个数为⑴向量的长度与向量的长度相等⑵平行向量就是向量所在直线平行⑶⑷(5)A.2个B.3个C.4个D.5个3、【题文】若则直线被圆所截得的弦长为A.B.１C.D.4、在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC中点，则=（）

A.-3B.0C.-1D.15、如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是则阴影区域的面积为（）

A.B.C.D.无法计算6、已知1+sin娄脠+cos娄脠1+sin胃鈭�cos胃=12

则cos娄脠

的值等于(

)

A.35

B.鈭�35

C.鈭�55

D.45

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、在等差数列{an}中，a7=8，a23=22，则a15=____．8、若函数最小正周期为则ω=____．9、【题文】化简：=____10、若集合A={x|x2-mx+3=0，x∈R}，B={x|x2-x+n=0，x∈R}，且A∪B={0，1，3}，则实数m，n的值分别是m=______，n=______．11、函数f（x）=lg（x-x2）的定义域为______．12、已知函数则f（x）的单调增区间为______，的解集为______．13、已知则tanα的值为____________．14、设向量的夹角为120°，则实数k=______．15、直线l13x鈭�y+1=0l2x+5=0

则直线l1

与l2

的相交所成的锐角为______．评卷人得分三、计算题(共8题，共16分)16、已知抛物线y=2x2-4x-1

（1）求当x为何值时y取最小值；且最小值是多少？

（2）这个抛物线交x轴于点（x1，0），（x2，0），求值：

（3）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为A，请你直接写出点A的坐标．17、（1）sin30°+cos45°；

（2）sin260°+cos260°-tan45°．18、已知等边三角形ABC内一点P，PA、PB、PC的长分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么∠APB为____．19、已知a、b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，且a≠b，则++1=____．20、解方程

（1）3x2-32x-48=0

（2）4x2+x-3=0

（3）（3x+1）2-4=0

（4）9（x-2）2=4（x+1）2．21、已知等边三角形ABC内一点P，PA、PB、PC的长分别为3厘米、4厘米、5厘米，那么∠APB为____．22、计算：．23、已知关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根，求a的取值范围．评卷人得分四、作图题(共1题，共4分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．评卷人得分五、解答题(共2题，共10分)25、【题文】本小题满分14分。

正方形的边长为1，分别取边的中点连结

以为折痕，折叠这个正方形，使点重合于一点得到一。

个四面体；如下图所示。

。

（1）求证：

（2）求证：平面26、设函数f（x）的定义域为R*，且满足条件f（4）=1，对于任意有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且函数f（x）在R*上为增函数．

（1）求f（1）的值；

（2）如果f（3x+1）+f（2x-6）≤3，求x的取值范围．评卷人得分六、综合题(共2题，共14分)27、如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=BC；AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．

（1）设BE为x；DF为y，试用x的式子表示y．

（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．28、已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．

（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A；B；

（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1长的取值范围．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】

∵-2-x＜0

∴x＞-2；

∴集合A={x|x＞-2}；

∵0＞-2

∴{0}⊆A

故选C．

【解析】【答案】先将集合A化简；再根据0＞-2，即可得到结论．

2、C【分析】(1)正确.(2)错.平行向量所在直线也可能重合.(3)错.若则此命题错误.(4)错.没有说明两个向量为非零向量.(5)错.根据向量的数量积定义,此命题错误.【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】因为那么直线被圆所截得的弦长为可以通过勾股定理得到，圆的半径为1，圆心到直线的距离为d，半弦长为l，利用三者的勾股定理得到结论为1，选B【解析】【答案】B4、C【分析】【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中；∠BAD=60°；

∴．

又E为BC中点，∴

故选C．

【分析】利用向量的运算法则和数量积的计算公式即可得出．5、B【分析】【分析】由已知易得：SABCD=4，圆的面积为s。故豆子落入落入圆内的概率P=所以=即影区域的面积为故选B。

【点评】利用几何概型的意义，要找出豆子落入落入圆内对应图形的面积，依据几何概型概率计算公式。6、B【分析】解：由已知变形为2+2sin娄脠+2cos娄脠=1+sin娄脠鈭�cos娄脠

解得sin娄脠=鈭�1鈭�3cos娄脠

两边平方得：sin2娄脠=1鈭�cos2娄脠=(鈭�1鈭�3cos娄脠)2

化简得：5cos2娄脠+3cos娄脠=0

即cos娄脠(5cos娄脠+3)=0

由题知cos娄脠鈮�0

所以5cos娄脠+3=0

即cos娄脠=鈭�35

．

故选B

要求cos娄脠

就需要把条件里的sin娄脠

转化为cos娄脠

消去，所以利用已知条件解出sin娄脠

两边平方再根据同角三角函数间的基本关系化简可得到关于cos娄脠

的一元二次方程，求出方程的解即可．

此题考查学生灵活运用三角函数中的恒等变换，是一道基础题.

学生做题的思路是把正弦转换为余弦．【解析】B

二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

∵等差数列{an}中，a7=8，a23=22；

∴a7+a23=2a15=8+22=30；

则a15=15．

故答案为：15

【解析】【答案】由数列{an}为等差数列，利用等差数列的性质得到a7+a23=2a15，将已知的a7=8，a23=22代入，即可求出a15的值．

8、略

【分析】

.

故答案为：10

【解析】【答案】根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．

9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】解：∵集合A={x|x2-mx+3=0，x∈R}，B={x|x2-x+n=0；x∈R}，且A∪B={0，1，3}；

∴n=0，B={x|x2-x=0；x∈R}={0，1}；

∴A={x|x2-mx+3=0；x∈R}={1，3}；

∴1+3=m；即m=4；

实数m；n的值分别是m=4，n=0．

故答案为：4；0．

先推导出n=0，B={x|x2-x=0，x∈R}={0，1}，从而A={x|x2-mx+3=0；x∈R}={1，3}，由此能求出结果．

本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用．【解析】4；011、略

【分析】解：由x-x2＞0，得x2-x＜0；即0＜x＜1．

∴函数f（x）=lg（x-x2）的定义域为（0；1）．

故答案为：（0；1）．

直接由对数式的真数大于0求解一元二次不等式得答案．

本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．【解析】（0，1）12、略

【分析】解：∵函数y=5-x-4x为减函数，且x=1时，y=5-x-4x=5-1-4=0；

∴当x＞1时，5-x-4x＜0，此时f（x）=+=5-x为减函数；

当x≤1时，5-x-4x≥0，此时f（x）=-=4x为增函数；

即函数f（x）的单调递增区间为为（-∞；1]；

当x＞1时，由5-x＞得x＜5-此时1＜x＜5-

当x≤1时，由4x＞得x＞log4此时log4＜x≤1；

即不等式的解集为（1，5-）∪（log41]；

故答案为：（-∞，1]，（1，5-）∪（log41]．

根据绝对值的性质将函数f（x）进行化简；结合分段函数的表达式进行判断求解即可．

本题主要考查分段函数的应用，根据绝对值的性质将函数表示成分段函数形式是解决本题的关键．【解析】（-∞，1]；（1，5-）∪（log41]13、略

【分析】解：tanα===-

故答案为-．【解析】-14、略

【分析】解：由向量夹角公式可得，cos120°===-

∴k＞0

整理可得，k2=9

∴k=3

故答案为：3

由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知；k＞0，解方程即可求解k

本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±3【解析】315、略

【分析】解：隆脽

直线l13x鈭�y+1=0

的斜率为3

倾斜角为60鈭�

而l2x+5=0

的斜率不存在，故它的倾斜角为90鈭�

直线l1

与l2

的相交所成的锐角为30鈭�

故答案为：30鈭�

．

求出每条直线的直线的倾斜角和斜率；可得两条直线的夹角．

本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，属于基础题．【解析】30鈭�

三、计算题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】（1）把函数解析式利用配方法；由一般式变为顶点式，根据a大于0，抛物线开口向上，顶点为最低点，y有最小值，当x等于顶点横坐标时，y的最小值为顶点纵坐标；

（2）令y=0，得到一个一元二次方程，由抛物线与x轴的交点坐标可得方程的两个根为x1，x2，由a，b及c的值；利用根与系数的关系求出两个根之和与两个根之积，把所求的式子通分后，分子再利用完全平方公式化简，把求出的两根之和与两根之积代入即可求出值；

（3）根据平移规律“上加下减，左加右减”，由已知抛物线的解析式，可得出平移后抛物线的解析式．【解析】【解答】解：（1）y=2x2-4x-1=2（x2-2x+1）-2-1=2（x-1）2-3；

当x为1时；y最小值为-3．

（2）令y=0，得2x2-4x-1=0；

由题意得：方程的两个根为x1，x2；

∵a=2，b=-4；c=-1；

∴x1+x2=-=2，x1x2==-；

则===-10；

（3）二次函数的图象向右平移2个单位长度；

得到解析式为y=2（x-1-2）2-3，即y=2（x-3）2-3；

再向下平移1个单位长度，得y=2（x-3）2-3-1，即y=2（x-3）2-4；

则平移后顶点坐标为（3，-4）．17、略

【分析】【分析】本题中所给的两个题中的三角函数都是特殊角的三角函数，其三角函数值已知，将其值代入，计算即可．【解析】【解答】解：由题意（1）sin30°+cos45°=+=

（2）sin260°+cos260°-tan45°=+-1=+-1=018、略

【分析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形；

∴BA=BC；

将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA；

连EP；如图；

∴BE=BP=4；AE=PC=5，∠PBE=60°；

∴△BPE为等边三角形；

∴PE=PB=4；∠BPE=60°；

在△AEP中；AE=5，AP=3，PE=4；

∴AE2=PE2+PA2；

∴△APE为直角三角形；且∠APE=90°；

∴∠APB=90°+60°=150°．

故答案为150°．19、略

【分析】【分析】由于a、b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，所以可以把a、b看作方程x2-2x-1=0的两个根，然后利用根与系数的关系可以得到a+b=2，ab=-1，最后把所求代数式变形代入数值计算即可求解．【解析】【解答】解：∵a、b满足a2-2a-1=0，b2-2b-1=0，且a≠b；

∴a、b可以看作方程x2-2x-1=0的两个根；

∴a+b=2，ab=-1；

∴++1=+1=+1=-5．

故答案为-5．20、略

【分析】【分析】（1）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（3）将常数项移到右边；开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：（1）3x2-32x-48=0；

分解因式得：（x-12）（3x+4）=0；

可得x-12=0或3x+4=0；

解得：x1=12，x2=-；

（2）4x2+x-3=0；

分解因式得：（4x-3）（x+1）=0；

可得4x-3=0=或x+1=0；

解得：x1=，x2=-1；

（3）（3x+1）2-4=0；

变形得：（3x+1）2=4；

开方得：3x+1=2或3x+1=-2；

解得：x1=，x2=-1；

（4）9（x-2）2=4（x+1）2；

开方得：3（x-2）=2（x+1）或3（x-2）=-2（x+1）；

解得：x1=8，x2=．21、略

【分析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形；

∴BA=BC；

将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA；

连EP；如图；

∴BE=BP=4；AE=PC=5，∠PBE=60°；

∴△BPE为等边三角形；

∴PE=PB=4；∠BPE=60°；

在△AEP中；AE=5，AP=3，PE=4；

∴AE2=PE2+PA2；

∴△APE为直角三角形；且∠APE=90°；

∴∠APB=90°+60°=150°．

故答案为150°．22、略

【分析】【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意（-2）-1=-，（π-3.5）0=1．【解析】【解答】解：原式=-+1-+4

=4．23、略

【分析】【分析】根据绝对值的性质和方程|x|=ax-a有正根且没有负根，确定a的取值范围．【解析】【解答】解：∵关于x的方程|x|=ax-a有正根且没有负根；

∴x＞0；则x=ax-a；

∴x=．

∴＞0

解得，a＞1．四、作图题(共1题，共4分)24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．五、解答题(共2题，共10分)25、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】证明：（1）由是正方形，所以在原图中

折叠后有2分。

所以

所以7分。

（2）.由原图可知，

所以10分。

又∴14分26、略

【分析】

（1）由f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1得f（1）=f（1）+f（1）；即可得出．

（2）f（42）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2，f（64）=f（16）+f（4）=3．由f（3x+1）+f（2x-6）≤3，得f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64），再利用函数f（x）在R*上为增函数即可得出．

本题考查了抽象函数的单调性及其应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：（1）∵f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=1得f（1）=f（1）+f（1）；

∴f（1）=0．（3分）

（2）f（42）=f（4•4）=f（4）+f（4）=2；f（64）=f（16）+f（4）=3．

∴由f（3x+1）+f（2x-6）≤3；得f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）（7分）

∵函数