2025年北师大版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为()A.－1B.1C.±1D.－22、设一个正整数可以表示为其中中为1的总个数记为例如则A.B.C.D.3、如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）A.B.C.D.随点的变化而变化。4、【题文】若角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，点为其终边上一点；

则的值为A.B.C.D.5、从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有二个红球6、设{an}为公差小于零的等差数列，Sn为其前n项和，若S8=S12，则当n为何值时Sn最大（）A.8B.9C.10D.127、P

为椭圆x225+y29=1

上一点，F1F2

分别是椭圆的左焦点和右焦点，过P

点作PH隆脥F1F2

于H

若PF1隆脥PF2

则|PH|=(

)

A.254

B.83

C.8

D.94

8、已知圆Ox2+y2=4

上到直线lx+y=a

的距离等于1

的点恰有3

个，则实数a

的值为(

)

A.22

B.2

C.鈭�2

或2

D.鈭�22

或22

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，若从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，则身高为173cm的同学被抽中的概率为____．

10、某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是________．11、其中正确命题的个数是____．

已知a、b为直线；α，β，γ为平面，有下列四个命题：

①a∥α，b∥α，则a∥b②α⊥γ；β⊥γ，则α∥β

③a∥α，α∥β，则α∥β④a∥b，b⊂α；则a∥α

其中正确命题的个数是____．12、用数学归纳法证明：“”，第一步在验证时，左边应取的式子是＿＿＿＿.13、【题文】某工厂生产产品，用传送带将产品送至下一个工序，质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验，则这种抽样的方法为____．14、【题文】若函数f(x)=sinωx+cosωx满足f(α)＝－2，f(β)＝0，且｜α－β｜的最小值为则函数f(x)的单调增区间为_____________15、设θ是三角形的一个内角，且则方程x2sinθ-y2cosθ=1表示的曲线是焦点在______轴上的______（填抛物线、椭圆、双曲线的一种）16、某校安排5

个班到4

个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有______种.(

用数字作答)

评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共16分)24、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=∠CDA=45°．

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；

（II）设AB=AP．

（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°；求线段AB的长；

（ii）在线段AD上是否存在一个点G；使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．

25、【题文】（8分）已知角的终边与单位圆交于点P（）.

（I）写出值；

（II）求的值.评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)26、已知a为实数，求导数27、解不等式|x﹣2|+|x﹣4|＞6．28、解不等式组：．29、求证：ac+bd≤•．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】试题分析：所以由导数的几何意义可知所以故B正确。考点：1导数；2导数的几何意义。【解析】【答案】B2、A【分析】试题分析：列表如图，因此242，考点：等比数列前n项和公式，递推数列.【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】

如图，易证ED⊥面VFB，FP⊂面VFB；∴ED⊥FP，故选B．【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】本题考查三角函数的终边定义。

由三角函数的终边定义可知选C。

【点评】了解三角函数的终边定义即可。【解析】【答案】C5、D【分析】【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球；不同的取球情况共有以下几种：

3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．

选项A中；事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；

选项B中；事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；

选项C中；事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；

选项D中；事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．

故选：D．

【分析】分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．6、C【分析】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S8=S12；公差d＜0；

∴8a1+d=12a1+d；

解得，a1=-d；

∴Sn=na1+d=（n-10）2+50d．

∵d＜0；

∴当n=10时，Sn有最大值．

故选：C．

由已知得S8=S12得到a1=-8d，由此利用等差数列的通项公式能求出当n为何值时，Sn有最大值．

本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．【解析】【答案】C7、D【分析】解：椭圆x225+y29=1

得a2=25b2=9

则c=a2鈭�b2=25鈭�9=4

隆脿|F1F2|=2c=8

．

由椭圆定义可得P1|+|PF2|=2a=10

隆脽PF1隆脥PF2隆脿|PF1|2+|PF2|2=82

．

隆脿2|PF1|?|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2鈭�(|PF1|2+|PF2|2)=100鈭�64=36

．

解得12|PF1|?|PF2|=9

．

而S鈻�PF1F2=12|PF1|?|PF2|=12|F1F2|?|PH|

隆脿|PH|=|PF1|鈰�|PF2||F1F2|=94

．

故选：D

．

利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10.

由PF1隆脥PF2

利用勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=82.

即可求出12|PF1|?|PF2|=9

再利用三角形的面积S鈻�PF1F2=12|PF1|?|PF2|=12|F1F2|?|PH|

即可得出所求值．

熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、勾股定理、三角形的面积公式是解题的关键，考查等积法和运算能力，属于中档题．【解析】D

8、C【分析】解：因为圆上的点到直线l

的距离等于1

的点至少有2

个；所以圆心到直线l

的距离d=1

即d=|鈭�a|2=1

解得a=隆脌2

．

故选：C

．

由题意可得圆心(0,0)

到直线lx+y=a

的距离d

满足d=1

根据点到直线的距离公式求出d

再解绝对值方程求得实数a

的值．

本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值方程的解法，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

乙班身高不低于170cm的学生共有6人，从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，所有的抽法共有=15种；

而身高为173cm的同学被抽中的抽法有=5种，故身高为173cm的同学被抽中的概率为=

故答案为．

【解析】【答案】乙班身高不低于170cm的学生共有6人，所有的抽法共有种，而身高为173cm的同学被抽中的抽法有种；由此求得身高为173cm的同学被抽中的概率．

10、略

【分析】分三类：一年级比赛的场数是C52，二年级比赛的场数是C82，三年级比赛的场数是C32，再由分类计数原理求得总赛场数为C52＋C82＋C32＝41.【解析】【答案】4111、略

【分析】

对于①a∥α，b∥α，则a与b；三种位置关系都有可能，故不正确；

对于②α⊥γ；β⊥γ，则α∥β或α；β相交，故不正确；

对于③a∥α；α∥β，则a∥β或a⊂β，故不正确；

对于④a∥b，b⊂α；则a∥α或a⊂α，故不正确。

故正确命题的个数是0

故答案为：0

【解析】【答案】对于①a∥α，b∥α，则a与b；三种位置关系都有可能；对于②α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α；β相交；

对于③a∥α，α∥β，则a∥β或a⊂β；对于④a∥b，b⊂α；则a∥α或a⊂α，故可得结论．

12、略

【分析】左边=【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】本小题应属于系统抽样方法。每隔相同的时间段抽取一件产品；就相当于每组抽一件产品，并且组距是确定的。

根据系统抽样的特点；样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有相同的间隔，得到的一系列样本．

解：工厂生产的产品；用传送带将产品送至下一个工序；

质检人员每隔十分钟在传送带某一位置取一件检验；

这是一个系统抽样；

故答案为：系统抽样法【解析】【答案】系统抽样方法14、略

【分析】【解析】由题意得得最小正周期所以

由得【解析】【答案】15、略

【分析】解：θ是三角形的一个内角，且

可得sinθ+cosθ=即sin（）=

可得∈（π）；

θ∈（）；sinθ＞|cosθ|．

方程x2sinθ-y2cosθ=1表示的曲线是椭圆．

故答案为：y；椭圆．

利用向量的数量积判断角的范围；推出方程表示的曲线即可．

本题考查向量的数量积以及三角函数的化简求值，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．【解析】y；椭圆16、略

【分析】解：根据题意；安排5

个班到4

个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，需要有2

个班去同一个工厂；

分2

步进行分析：

垄脵

将5

个班级分成4

组；其中一组有2

个班级，有C52=10

种分组方法；

垄脷

将分好的4

组全排列；对应到4

个工厂，有A44=24

种情况；

则不同的安排方法共有10隆脕24=240

种；

故答案为：240

．

根据题意；分2

步进行分析：先在5

个班中任取2

个班，即可将5

个班级分成4

组，再将分好的4

组全排列，对应到4

个工厂，由分步计数原理计算可得答案．

本题考查排列、组合的综合应用，注意要先分好组，再进行排列，对应到工厂．【解析】240

三、作图题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共16分)24、略

【分析】

（I）证明：∵PA⊥平面ABCD；AB⊂平面ABCD

∴PA⊥AB

又∵AB⊥AD；PA∩AD=A

∴AB⊥平面PAD

又∵AB⊂平面PAB；

∴平面PAB⊥平面PAD

（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz（如图）

在平面ABCD内；作CE∥AB交于点E；

则CE⊥AD

在Rt△CDE中；DE=CD•cos45°=1；

CE=CD•sin45°=1

设AB=AP=t；则B（t，0，0），P（0，0，t）

由AB+AD=4；得AD=4-t；

所以E（0；3-t，0），C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）

设平面PCD的法向量为=（x；y，z）

由得

取x=t，得平面PCD的一个法向量为

又故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得。

cos（90°-30°）==

即

解得或t=4（舍去；因为AD=4-t＞0）

所以AB=

（ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等

由GC=GD；得∠GCD=∠GDC=45°

从而∠CGD=90°；即CG⊥AD

所以GD=CD•cos45°=1

设AB=λ；则AD=4-λ，AG=AD-GD=3-λ

在Rt△ABG中；

GB=

这GB=GD与矛盾．

所以在线段AD上不存在一个点G；使得点G到B；