专题05 三角函数与函数应用-2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

PAGE1专题05三角函数与函数应用目录TOC\o"1-2"\h\u考情解读 1知识梳理 1考点精讲 6考点一：弧度制下的弧长、面积公式 6考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式 9考点三：三角函数的图象与性质 12考点四：三角函数图象变换 16考点五：函数零点与函数模型应用 19实战训练 22明晰学考要求本专题包括三个重点内容：三角函数的定义与诱导公式、三角函数的图象与性质、函数零点与函数模型.对于三角函数的定义与诱导公式，需要能利用定义求出各三角函数值及其符号，掌握几类诱导公式，能利用同角三角函数的基本关系求值；对于三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx，需要能简单画出图象、会判断单调性和奇偶性；零点问题只需要掌握零点存在定理判断出零点所在的区间，函数模型问题常与实际问题相结合，考查解决实际问题的能力.基础知识梳理1、任意角(1)任意角的概念：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果射线没有作任何旋转，叫作零角.(2)角的终边所在象限：使角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就称这个角为轴线角.(3)终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.2、弧度制与扇形弧长、面积公式(1)度量角的两种单位制角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad(2)角的弧度数的计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).(3)角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2π__rad2πrad＝360°180°＝π__radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)__rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数(4)设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝eq\f(απR,180)l＝α·R扇形的面积S＝eq\f(απR2,360)S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R23、三角函数的定义(1)任意角的三角函数的定义前提如图，对于任意角α，它的终边异于原点的一点P(x，y)，该点与原点的距离为定义正弦叫做α的正弦，记作sin__α，即sinα＝余弦叫做α的余弦，记作cos__α，即cosα＝正切叫做α的正切，记作tan__α，即tanα＝(2)三角函数在各象限的符号4、同角三角函数基本关系与诱导公式(1)同角三角函数的基本关系①平方关系：sin2α＋cos2α＝1.②商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).③常用变形：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α，sinα＝cos__αtan__α，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α；公式二：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α.公式三：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α.公式四：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos__α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin__α.公式六：sin＝cos__α，cos＝-sin__α.5、三角函数的图象（1）正弦函数的图象叫做正弦曲线．函数y＝sinx，x∈R图象（2）余弦函数的图象叫做余弦曲线．函数y＝cosx，x∈R图象（3）正切函数的图象．（4）五点(画图)法函数y＝sinxy＝cosx图象画法五点法五点法关键五点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)①正弦曲线与余弦曲线形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．②正切函数的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，正切函数的图象只有对称中心，没有对称轴，6、三角函数的性质（1）周期性与奇偶性：①正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)的周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为2π，正切函数y＝tanx(x∈R)的周期为kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为π;②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝eq\f(2π,ω).③正弦函数y＝sinx(x∈R)与正切函数y＝tanx(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称；余弦函数y＝cosx(x∈R)是偶函数，图象关于y轴对称.（2）单调性与最值：①正弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.正弦函数当且仅当x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)时取得最小值－1.②余弦函数的单调性与最值：在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都单调递减，其值从1减小到－1.余弦函数当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝2kπ＋π(k∈Z)时取得最小值－1.③正切函数的单调性与最值：正切函数在每一个区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都单调递增，正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R.7、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有关性质性质定义域R值域[－A，A]周期性T＝eq\f(2π,ω)对称中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)对称轴x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π－2φ,2ω)(k∈Z)奇偶性当φ＝kπ(k∈Z)时y是奇函数；当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时y是偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间8、三角函数图象变换由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两种：(1)y＝sinxeq\o(→,\s\up7(相位变换),\s\do5())y＝sin（x＋φ）eq\o(→,\s\up7(周期变换),\s\do5())y＝sin（ωx＋φ）eq\o(→,\s\up7(振幅变换),\s\do5())y＝Asin（ωx＋φ）；（2）y＝sinxeq\o(→,\s\up7(周期变换),\s\do5())y＝sinωxeq\o(→,\s\up7(相位变换),\s\do5())y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω)))))＝sin（ωx＋φ）eq\o(→,\s\up7(振幅变换),\s\do5())y＝Asin（ωx＋φ）.注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同，这是易出错的地方，应特别注意．9、函数的零点与二分法(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：(3)函数零点存在定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.(4)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.考点精讲讲练考点一：弧度制下的弧长、面积公式【典型例题】例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的弧长为（

）A．30 B． C． D．【答案】C【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合扇形的弧长进行求解即可.【详解】因为30°，所以扇形的弧长为，故选：C例题2．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD的长度是l1，弧BC的长度是l2，几何图形ABCD面积为S1，扇形BOC面积为S2，若，（

）A．9 B．8 C．16 D．15【答案】D【分析】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果.【详解】设，由，得，即，所以故选:D例题3．已知扇形的半径为1，圆心角为，则这个扇形的弧长为（

）A． B． C． D．60【答案】B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知，由扇形弧长公式可得.故选：B.解决扇形弧长和面积问题，注意应用公式|α|＝eq\f(l,r).S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2.【即时演练】1．已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据弧长公式计算即可.【详解】由题意，扇形的弧长为.故选：C.2.一扇形的圆心角，半径cm，则该扇形的面积为（cm2）【答案】/【分析】利用扇形弧长公式与面积公式即可得解.【详解】因为，，所以该扇形的弧长为（cm），故该扇形的面积（cm2）．故答案为：.3．已知扇形的半径为2，面积为2π3，则扇形的圆心角的弧度数为【答案】/【分析】根据扇形的面积公式，即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为，则扇形的面积，解得.故答案为：.考点二：三角函数的定义、基本关系与诱导公式【典型例题】例题1．（23-24江苏苏州常熟中学高一上学期学业水平调研）角的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知，又，则.故选：A例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案.【详解】由题意，可知，则，故选：B.例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知角的终边位于第二象限，则点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】通过判断的符号来确定点所在象限.【详解】由于的终边位于第二象限，所以，所以位于第二象限.故选：B例题4．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）已知角的终边经过点，则A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【详解】解：角α的终边经过点，则sinα，故选B．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．角的终边与单位圆O相交于点，则，，.【即时演练】1．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即得.【详解】∵角的终边经过点，∴，故A，C错误，D正确；对于B，，故B错误.故选：D.2.已知，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【分析】由三角函数的符号确定角所在的象限.【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上，两个条件同时成立，则为第一象限角.故选：A.3.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）；（2）当为第一象限角时，，当为第四象限角时，；（3）.【分析】（1）由诱导公式结合题意可得；（2）由（1）可得，分为第一象限角，第四象限角，可得，进而可得的值；（3）可得，而由诱导公式可得所求为，代入可得答案.【详解】解：（1）（2），当为第一象限角时，，当为第四象限角时，，（3）因为，所以【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，以及诱导公式的应用，属基础题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.考点三：三角函数的图象与性质【典型例题】例题1．（2024年江苏省扬州市学业水平考试数学模拟试卷）下列函数中是偶函数的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数，对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数，对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数，故选：B例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据周期性求得.【详解】由于的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，所以.故选：C例题3．（2023高三·江苏·学业考试）若函数的值域为，则实数的可能值共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，讨论m的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m的值，可得答案.【详解】当时，，当时，，若，的值域为，不合题意；若，则时，，，由于，由题意可知需使；若，则时，，，，故需使，即实数的可能值共有2个，故选：B.例题4．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，再计算周期即可.（2）设，，考虑，，三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】（1），最小正周期.（2），即，设，，，当时，即，整理得到，，当且仅当，即时等号成立，故；当时，不等式恒成立；当时，即，整理得到，，当且仅当，即时等号成立，故.综上所述：，即.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函数，最小正周期T＝eq\f(2π,ω).【即时演练】1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式，据此可知，这段时间水深(单位：)的最大值为（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值.【详解】由题意可得当取得最小值-1时，函数取最小值，因此当取得最大值1时，函数取最小值.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了学生实际应用，综合分析，数学运算能力，属于中档题.2．函数的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式化简，再结合的图象性质可得结果.【详解】，由的图象可知在，上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD均错误.故选：A.3．函数的图象的一条对称轴是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的对称轴计算求出对称轴.【详解】的对称轴方程为,即，当k=1时，为对称轴.故选：C.4.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间.【答案】(1)(2)，【分析】（1）（2）根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）函数的最小正周期；（2）令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.考点四：三角函数图象变换【典型例题】例题1．（江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果.【详解】根据相位变换的左加右减有：向左移动个单位得到，故选A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.例题2．要得到函数的图像，只需将的图像上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】将变形为，进而结合左右平移变换的特征即可得出结果.【详解】因为，所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度即可，故选：C.例题3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数.(1)求的对称轴方程；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是，求在上的零点个数．【答案】(1)(2)11【分析】（1）设即可求出的对称轴方程；（2）根据图象变换求出，换元画出图象即可求解.【详解】（1），设，的对称轴方程为；（2）由题意得：，，令，，求出在的零点个数即可，令，解得，，求在与和的交点个数，由图像易知有11个交点，即在上的零点个数有11个.由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，方法如下：y＝sinxeq\o(→,\s\up7(相位变换),\s\do5())y＝sin（x＋φ）eq\o(→,\s\up7(周期变换),\s\do5())y＝sin（ωx＋φ）eq\o(→,\s\up7(振幅变换),\s\do5())y＝Asin（ωx＋φ）.【即时演练】1．要得到函数的图象,只需将的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【分析】将写为,根据三角函数的平移变换即可得出选项.【详解】解:由题知,所以由变到只需向左平移个单位,故由变到只需向右平移个单位.故选:B.2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=fx的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果.【详解】由题意，得.故选：A.3．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【分析】根据图象平移规律可得答案.【详解】为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度.故选：A.考点五：函数零点与函数模型应用【典例讲解】例题1．（2024年江苏省扬州市2023年学业水平考试模拟）函数的零点一定位于下列哪个区间（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可.【详解】在上为单调递增函数，又，故，所以的零点一定在内.故选：B.例题2．（2023高三·江苏·学业考试）2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（

）A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】代入数据计算，，计算得到答案.【详解】，；，，.故选：C例题3．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，则方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据偶函数的性质，结合对数和指数运算性质进行求解即可.【详解】当时，，当时，，或，当时，不满足；当时，显然方程无实根，所以当时，有一个实数解，因为是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于纵轴，因此当时，也有一个实数解，所以的根的个数为2，故选：B.例题4．（2023高三·江苏·学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项.【详解】由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.故选：B【即时演练】1.已知方程的根所在的区间为，，则n的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】令函数，结合零点存在定理及对数运算性质即可得出，求解即可.【详解】令函数，由，，故.故选：B2.已知函数在内有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由导数确定单调性，然后由零点存在定理求解．【详解】由题意，，所以时，，是单调递减函数，它在上零点，则，解得，故选：B．实战能力训练实战能力训练实战能力训练实战能力训练1.已知x=1是函数的零点，则m为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用零点的定义代入计算即得.【详解】依题意，，即，所以.故选：C2.已知是第一象限角，，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用同角三角函数基本公式计算即得.【详解】由是第一象限角，得，而，所以.故选：A3.已知角的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边上有一点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义式，代入点的坐标计算即得.【详解】由题意，.故选：A.4.在下列各数中，与相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由