黄金卷06（江苏专用）-备战2025年高考数学模拟卷（解析版）

PAGE1试卷第=page22页，共=sectionpages2222页【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知全集，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】交并补混合运算【分析】根据并集和补集的定义计算.【详解】，.故选：A．2．已知，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．【详解】因为，所以，即．故选：A．3．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l与C与交于A、B两点（A．y2=23x B．y2【答案】B【分析】由AF=AD可得A点横坐标，即可得A点坐标，结合焦点坐标可得直线l斜率，表示出直线l后，联立曲线即可得【详解】设Ax1,∴y1=由Ap,2∴l的方程为y由y=22x−p∴BF=x2+故选：B．4．已知函数，若在区间上的值域是，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三角恒等变换化简，即可根据整体法求解.【详解】由可得，当时，，要使在区间上的值域是，则，解得，故选：A5．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据函数对称性求出时的解析式，利用导数的几何意义求解.【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称，则，当时，，，，则，，即曲线在点处切线的斜率为2.故选：C．6．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理，可得答案.【详解】由，，则，令，，当时，，则单调递增，即，故，可得，即；由，且，则，即.综上，.故选：C．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若acosC=2ccosA．3 B．32 C．32【答案】C【分析】根据题意，由余弦定理代入化简，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】由余弦定理可知，cosC=由acosC=2ccos化简可得a2所以3a2=即bca当且仅当bc=3c所以bca2的最大值为故选：C8．直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样一个问题：现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为a的正四面体盒子中，则a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析10个小球在正四面体内的位置情况，把正四面体的高用小球半径与正四面体的棱长表示，列等式即可求解.【详解】我们先来证明如下引理：如下图所示：

设正四面体棱长为，面，，所以，，显然为面的重心，所以，由勾股定理可得面,所以正四面体的高等于其棱长的面倍.接下来我们来解决此题：如下图所示：

10个直径为4的小球放进棱长为a的正四面体中，成三棱锥形状，有3层，则从上到下每层的小球个数依次为：1，，个，当a取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体，则该正四面体的棱长为，可求得其高为，所以正四面体的高为，进而可求得其棱长a的最小值为．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．现有甲、乙两组数据，甲组数据为：；乙组数据为：，若甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则下列说法一定正确的是（

）A．乙组数据的平均数为 B．乙组数据的极差为C．乙组数据的第百分位数为 D．乙组数据的标准差为【答案】ABC【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：，则乙组数据从小到大排列为：，因为甲组数据的平均数为，标准差为，极差为，第百分位数为，则，又，所以，所以乙组数据的平均数为，故A正确；乙组数据的极差为，故B正确；乙组数据的第百分位数为，故C正确；乙组数据的标准差为，故D错误.故选：ABC10．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（

）A． B．C．双曲线的渐近线方程为 D．直线的斜率为4【答案】BC【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义求得，，再逐项计算判断即可.【详解】由，设，，由，得，则，，而，解得，因此，，对于A，，A错误；对于B，显然，则，B正确；对于C，令，在中，由，得，则，，即，因此双曲线的渐近线方程为，C正确；对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为，D错误.故选：BC【点睛】易错点睛：双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为，而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.11．在平面直角坐标系中，将函数f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α (0<α≤90°)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“A．存在90°旋转函数B．80°旋转函数一定是70°旋转函数C．若g(x)=ax+1x为45°D．若ℎ(x)=bxex为【答案】ACD【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“α旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将45°旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可.【详解】对A，如y=x满足条件，故A正确；对B，如倾斜角为20°的直线是80°旋转函数，不是70°旋转函数，故B错误；对C，若g(x)=ax+1x为45°旋转函数，则根据函数的性质可得，g(x)=ax+1x逆时针旋转45°后，不存在与x轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45°的直线与g(x)=ax+1x的函数图象有两个交点.即y=x+bb∈当a=1时，−bx+1=0最多1个解，满足题意；当a≠1时，a−1x2−bx+1=0的判别式Δ=b2−4对D，同C，ℎ(x)=bxex与y=x+aa∈R的交点个数小于等于1，即对任意的a，a=又g'1=−1，故b即y=ex图象在y=−bx−1上方，故−b≥0当y=ex与y=−bx−1相切时，可设切点x0,ex0，对y=ex求导有故选：ACD第II卷（非选择题）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若向量，满足，，，则．【解析】由题意，可得，因为，，所以，所以．故答案为：．13.已知函数满足，且当时，，设，则的大小关系是．【答案】【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果.【详解】因为，所以，当时，，所以在上是增函数.因为，所以，即，所以.故答案为：.14.将“用一条线段联结两个点”称为一次操作，把操作得到的线段称为“边”．若单位圆上n个颜色不相同且位置固定的点经过k次操作后，从任意一点出发，沿着边可以到达其他任意点，就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”，并将所有满足“条件T”的图形个数记为T(n,k)，则T(5,4)=．【答案】125【分析】利用新定义，结合排列组合，分情况讨论即可.【详解】T5,4，即n=5，k=4情形1：有3个点是2条边的端点，另2个点是1条边的端点，有A5情形2：有1个点是3条边的端点，有1个点是2条边的端点，另3个点是1条边的端点，有A5情形3：有1个点是4条边的端点，另4个点是1条边的端点，共有C5综上：T5,4故答案为：125【点睛】方法点睛：对于特殊类型的排列问题，注意根据问题的特征将其转化等价的排列问题，而后者容易计数.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）设等比数列的公比为，且，因为，，成等差数列，则，即，解得或（舍去），所以的通项公式为.（2）由（1）可知：，则，所以.16．（15分）如图所示，在正方形中，将沿折起至.(1)求证：；(2)记二面角的大小为.当时，求异面直线和所成角的余弦值的范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线线垂直证平面，再证；（2）由向量法求异面直线夹角.【详解】（1）连接正方形的对角线交于点，连接.因为四边形是正方形，所以.由翻折不变性可知.又因为，平面，所以平面.因为平面，所以.（2）由（1）可知为二面角的平面角，即.法1（坐标法）：如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，垂直于平面且向上为轴正方向，建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，，则，.所以，因为，所以.法2（基底法）：不妨设，则，以为基底，，，.因为，，所以，因为，所以.17．（15分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（2）要证明，只要证即可，设，利用导数求得最值即可证明．【详解】（1）函数的定义域为，且．当时，恒成立，所以在区间上单调递增；当时，令，解得，当时，在区间上单调递增，当时，在区间上单调递减．综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）当时，因为，所以要证，只要证明即可，即要证，等价于（*）．令，则，在区间上，单调递减；在区间上，单调递增，所以，所以（当且仅当时等号成立），所以（*）成立，当且仅当时，等号成立．又在上单调递增，，所以存在，使得成立．综上所述，原不等式成立．18．（17分）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作.(1)设，且，求；(2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【分析】（1）理解概率公式，就能用待定系数法先求出，再求出指定概率；（2）（ⅰ）理解泊松分布中的，从而再运用公式计算对应事件概率，转化为对立事件来研究即可；（ⅱ）先了解两个独立事件，同时发生总共需要水电工人数，运用积事件求和：即，这里运用到二项式展开式定理，最后再用对立事件即可解得.【详解】（1）由得，且，解得.故.（2）（ⅰ）设为甲地区某天需要的水电工数目，则，且.因为，，，所以.那么，某天至少需要2名水电工的概率约为（ⅱ）设为乙地区某天需要的水电工数目，则，且.因为，，，所以.于是.那么，某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率约为.19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．①求的取值范围；②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由为常数，求得系数，得到椭圆方程；（2）①首先由面积比值求得，令，则，利用坐标表示向量，求得，再求范围；②由阿波罗尼斯圆定义知，，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得，求得，再根据，求得，即可计算直线方程.【详解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得∴，，椭圆的方程为方法（2）设，由题意（常数），整理得：，故，又，解得：，．∴