2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考数学试题(教师版含解析)

2020年重庆一中高2021级高三上期第一次月考数学试题一、单项选择题1.设集合，，则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可.【详解】∵，，∴.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2.设，，，，则，的大小关系是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意计算做差可得，得到答案.【详解】由，，得，，∴，故，故选：B.【点睛】本题考查了做差法比较大小，意在考查学生的计算能力和推断能力.3.已知直线是曲线的切线，则的方程不可能是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数求出曲线的切线的斜率的取值范围，然后利用导数的几何意义判断各选项中的直线是否为曲线的切线，由此可得出结论.【详解】对于函数，定义域为，则，所以，曲线的切线的斜率的取值范围是.对于A选项，直线的斜率为，令，解得，此时，点在直线上，则直线与曲线相切；对于B选项，直线的斜率为，该直线不是曲线的切线；对于C选项，直线的斜率为，令，解得，此时，点在直线上，所以，直线与曲线相切；对于D选项，直线的斜率为，令，解得，此时，点在直线上，所以，直线与曲线相切.故选：B.【点睛】本题考查利用导数的几何意义验证函数的切线方程，考查计算能力，属于中等题.4.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设与所在扇形圆心角分别为，则，又，解得故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长．5.若函数(其中，)存在零点，则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的函数有零点，结合解析式的特征，求得函数的零点，再根据分段函数的意义再结合式子的特征求得结果.【详解】因为时，，所以，若函数若有零点，则，解得，故，又，∴实数的取值范围是．故选：C.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数有零点求参数的取值范围，属于简单题目.6.已知，函数，对任意，都有，则的值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数的解析式为，由题意可知，点是函数的一个对称中心，结合可求得的值.【详解】，根据，得是函数的一个对称中心，则，可得，，，所以，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7.函数的一个单调减区间是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数求得函数的单调递减区间，利用赋值法可得出结果.【详解】，该函数的定义域为，，，可得，令，可得，即，解得.所以，函数的单调递减区间为.当时，函数的一个单调递减区间为，，对任意的，，，，故函数的一个单调递减区间为.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中等题.8.设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，由已知得出所构造的函数的单调性，再利用其单调性解抽象不等式，可得选项.【详解】设，∵，即，即，故是奇函数，由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.∵在上有，∴，故在单调递增，又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，∵，∴，即，∴，故，故选：B．【点睛】本题考查运用导函数分析函数的单调性，从而求解抽象不等式的问题，构造合适的函数是解决问题的关键，属于较难题.二、多项选择题9.已知中，角，，的对边分别为，，，且，则角的值不可能是()A.45° B.60° C.75° D.90°【答案】CD【解析】【分析】先利用正弦定理得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，即可判断.【详解】∵，由正弦定理得：∴，∴，当且仅当时取等号，又，故.故选：CD.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题.10.下列说法正确的是()A.“”是“”的充分不必要条件B.命题“若，则”的否定是真命题C.命题“，”的否定形式是“，”D.将函数图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象关于点对称【答案】ABD【解析】【分析】解方程，利用集合的包含关系可判断A选项的正误；判断命题的真假，可判断出该命题的否定的真假，进而可判断B选项的正误；利用特称命题的否定可判断C选项的正误；利用图象平移得出函数的解析式，利用对称性的定义可判断D选项的正误.详解】对于A选项，解方程，可得，，所以，“”是“”的充分不必要条件，A选项正确；对于B选项，当时，，则命题为假命题，它的否定为真命题，B选项正确；对于C选项，命题“，”的否定形式是“，”，C选项错误；对于D选项，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，，则，故函数的图象关于点对称，D选项正确；故选：ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了充分不必要条件、命题的否定的真假、特称命题的否定的判断，同时也考查了函数对称性的验证，考查推理能力，属于中等题.11.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是()A B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】只要解方程，观察它有没有实解即可得，【详解】选项A，若，则，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；选项B，若，则，解得或-1，故B中函数是“不动点”函数；选项C，若，则，，或，，解得，故C中函数是：“不动点”函数；选项D，若，则，该方程无解，故D中函数不是“不动点”函数.故选：BC.【点睛】本题考查新定义“不动点”，解题关键是根据新定义把问题转化为方程有无实数解．12.已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是()A.的一个周期是 B.是非奇非偶函数C.在单调递减 D.的最大值大于【答案】ABD【解析】【分析】先根据周期函数定义判断选项A，再根据函数的意义，转化为分段函数判断B选项，结合三角函数的图象与性质判断C，D选项.【详解】，的一个周期是，故A正确；，是非奇非偶函数，B正确；对于C，时，，不增不减，所以C错误；对于D，，，D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.三、填空题13.若幂函数过点,则满足不等式的实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先求得幂函数的解析式，在根据的单调性求得不等式的解集.【详解】设，代入点，得，所以，所以在上递增，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题.14.已知，，则的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】利用换底公式可得，再利用基本不等式可得答案.【详解】因为，，所以，因为，所以，，当时取“=”.故答案为：8.【点睛】本题主要考查指数式的运算、考查了换底公式与基本不等式的应用，属于中档题.15.______．【答案】【解析】【详解】,,故答案为.考点：三角函数诱导公式、切割化弦思想.16.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则______.【答案】4【解析】【分析】首先根据余弦二倍角公式得到，设边上的中线为，得到，从而得到，再平方解方程即可得到答案.【详解】因为，所以，所以或(舍去).设边上的中线为，如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，，化简得，解得或(舍去).故答案为：【点睛】本题主要平面向量数量积的应用，同时考查了余弦二倍角公式，属于简单题.四、解答题17.已知点在角的终边上，且.(1)求值：；(2)若，且，求的值.【答案】(1)2；(2).【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系得到；(1)原式分子分母同除得到正切，代入已知量即可得出结果；(2)先利用已知角的范围求得，求出，再利用，最后利用两角和的余弦公式求解即可得出结果.【详解】由题意：，，，且，(1)；(2)∵，，∴，∴，∴，，∵，∴.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式.属于中档题.18.已知函数.(1)当时，求的值域；(2)是否存在实数，使得在上单调递增？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)由二倍角公式降幂，再由两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；(2)求出函数的单调区间，由2在减区间内部，得结论．【详解】解：(1)∵.又∵，∴，即，∴；(2)由得，所以的递增区间是，递减区间是，令，函数在上递减，而，即函数在上是递减的，故不存在实数，使得在上递增.【点睛】本题考查正弦型函数的值域，考查正弦型函数的单调性，解题方法由二倍角公式，两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．19.已知，函数在处取得极值.(1)求函数的单调区间；(2)若对，恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增；(2).【解析】【分析】(1)首先对函数求导，根据函数在处取得极值，得到，求得，根据导数的符号求得其单调区间；(2)将不等式转化为，之后构造新函数，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果.【详解】，由得，，(1)，由得，由得，故函数在上单调递减，在上单调递增.(2)，令，则，由，得，由，得，故在上递减，在上递增，∴，即，故实数的最大值是.【点睛】该题考查是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目.20.已知函数，其中.(1)求关于的不等式的解集；(2)若，求时，函数的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据分段函数定义域解不等式可求得答案；(2)画出函数的图象，数形结合可求得的最大值【详解】(1)，当时，由，得，，，，当时，由，即，，令，，方程无解，而，所以无解，综上所述，，所以不等式的解集为.(2)时，∵，由得另一个根，由的图像可知，当时，函数的最大值为；当时，函数的最大值为；当时，函数最大值为综上所述，函数的最大值为.【点睛】本题考查了解分段函数不等式的问题，分段函数求最值的问题，考查了数形结合的思想.21.重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄(如图).为吸引游客，准备在门前两条夹角为(即)的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长且点，落在小路上，记弓形花园的顶点为，且，设.(1)将，用含有的关系式表示出来；(2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园(即，长度)，才使得喷泉与山庄距离即值最大？【答案】(1)；；(2)当时，取最大值.【解析】【分析】(1)在中，利用正弦定理即可将，用含有的关系式表示出来；(2)在中，由余弦定理得出，结合三角函数的性质，即可得出的最大值，再求出的长度即可.【详解】(1)在中，由正弦定理可知，则；同理由正弦定理可得，则，(2)∵，，∴，在中，由余弦定理可知，∵，∴，∴，当时，即时，取最大值，此时，，即当时，取最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题.22.已知函数，是的导函数.(1)若，当时，函数在内有唯一的极小值，求的取值范围；(2)若，，试研究的零点个数.【答案】(1)；(2)有3个零点.【解析】【分析】(1)先求导得，求出，再由和两种情况讨论求得的取值范围；(2)分析可知，只需研究时零点