2024-2025学年高中数学第三章概率3.1随机事件的概率学案含解析北师大版必修3

PAGE第三章概率§1随机事务的概率学问点频率与概率[填一填]1．随机事务的概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事务A发生的频率会在某个常数旁边摇摆，即随机事务A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事务A的概率，记为P(A)．我们有0≤P(A)≤1.2．频率与概率之间的联系在相同条件S下重复n次试验，事务A出现了m次，称n次试验中事务A出现的次数m为事务A的频数，称事务A出现的比例fn(A)＝eq\f(m,n)为事务A出现的频率．频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事务发生的可能性大小．在实际问题中，某些随机事务的概率往往难以准确得到，因此，我们经常通过做大量的重复试验，用随机事务发生的频率作为它的概率的估计值．[答一答]1．频数与频率的取值范围是多少？提示：由于随机事务A在各次试验中可能发生，也可能不发生，所以它在n次试验中发生的次数(称为频数)nA可能等于0(n次试验中A一次也不发生)，可能等于1(n次试验中A只发生一次)……也可能等于n(n次试验中A发生n次)．我们说事务A在n次试验中发生的频数nA是一个随机变量，它的可能取值为0,1,2，…，n.频数是一个整数，其取值范围为0≤nA≤n.随机事务A的频率fn(A)＝eq\f(nA,n)也是一个随机变量，它的可能取值介于0与1之间，即0≤fn(A)≤1.2．某种彩票的中奖概率为eq\f(1,1000)，那么买1000张彩票肯定中奖，对吗？提示：不对．某种彩票的中奖概率为eq\f(1,1000)，那么买1000张这样的彩票不肯定就能中奖，因为买彩票是随机的，每张彩票可能中奖，也可能不中奖．因此，买1000张彩票，可能没有一张能够中奖，也可能有多张中奖．“彩票的中奖概率为eq\f(1,1000)”是指试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有eq\f(1,1000)的彩票中奖，明显彩票不中奖的概率为eq\f(999,1000)，1000张彩票都不中奖的概率为(eq\f(999,1000))1000，则购买1000张彩票中奖的概率为1－(eq\f(999,1000))1000≈0.6323.频率与概率之间的区分与联系(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率，在实际问题中，通常事务发生的概率未知，常用频率作为它的估计值．(2)频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事务发生的频率可能会不同．比如，全班每个人都做了10次掷匀称硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不同的．(3)概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关．比如，假如一枚硬币是质地匀称的，则掷硬币出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关．类型一频率与概率的联系与区分【例1】下列关于概率和频率的叙述正确的有______________．(把符合条件的全部答案序号填在横线上)①随机事务的概率具有稳定性，是一个详细的数值，而频率不是一个固定的数值②随机事务的频率是一个在区间(0,1)上的随机数字，没有任何规律③概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事务发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事务的概率【解析】本题考查概率和频率之间的联系与区分，随机事务的频率，指此事务发生的次数与试验总次数的比值，它虽然不是一个固定的数值，会在某一个常数旁边摇摆，但是随着试验次数的增加，这种摇摆幅度越来越小，也渐渐接近概率．【答案】①③规律方法频率与概率的区分与联系：区分：频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，是随机的；概率是一个确定的值，它反映了随机事务发生的可能性的大小．联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(1)下列说法正确的是(D)A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则肯定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，肯定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1(2)有以下一些说法：①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的；②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定有1张会中奖；③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为eq\f(3,10)；④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品．其中错误说法的序号是①②③.解析：(1)一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．(2)①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错；②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不肯定买100张彩票肯定有1张会中奖，故错误；③中正面朝上的频率为eq\f(3,10)，概率仍为eq\f(1,2)，故③错误；④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件……次品，故④的说法正确．类型二利用频率求概率【例2】下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面对上的次数．计算每次试验中“正面对上”这一事务的频率，并考查它的概率.试验序号抛掷的次数n正面对上的次数m“正面对上”出现的频率15002512500249350025645002535500251650024675002448500258950026210500247【思路探究】利用eq\f(m,n)可求频率，再依据频率估计概率．概率可以看作是频率在理论上的一种期望值，它从数量上反映了随机事务发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下，可以近似地作为这个随机事务的概率．【解】利用频率的定义，可分别得出这10次试验中“正面对上”这一事务出现的频率依次为：0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5旁边左右摇摆，由概率的统计定义可得，“正面对上”的概率为0.5.某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少？解：(2)这位运动员投篮一次进球的概率P≈0.76.类型三对概率的正确理解【例3】(1)早在2010年夏季，就有气象学家预料：在2010年的冬季，我国华北、黄淮地区将遭遇50年一遇的旱情．这里所说的“50年一遇”是指每隔50年就会出现一次旱情吗？(2)某种病的治愈率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人肯定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?【思路探究】概率在生活中无处不在，用途很广泛，用概率说明生活中的问题，必需明确概率的真正含义，明确概率值是个期望值，任一个随机事务的概率无论有多么大，但也有不发生的可能性，同样，对于一个随机事务的概率值无论多么小，但也有发生的可能性．这就是或然与必定的数学思想在现实问题中的体现．【解】(1)“50年一遇”不是指每隔50年就会出现一次旱情，而是指这种程度的干旱从历史上看平均50年才有一次，并非是说50年内只有一次，也可能有多次，也可能一次没有．(2)假如把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是0.3，是指随着试验次数的增加，即治疗病人人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍旧是随机的，即有可能治愈，也可能没有治愈．规律方法对概率意义的理解：(1)概率是随机事务发生可能性大小的度量，是随机事务A的本质属性．(2)由概率的定义我们可以知道随机事务A在一独立重复试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清晰与频率的区分与联系．对详细的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个详细的事务．试说明下面状况中概率的意义：(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98.解：(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%.(2)是说其厂生产的产品合格的可能性是98%.类型四用概率说明公允性【例4】有一个转盘嬉戏，转盘被平均分成10等份．如图，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为转出的数字(指针指到分界线上时重转)．嬉戏规则如下：两个人参与，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜；否则甲获胜．猜数方案从以下三种方案中选一种：A．猜“是奇数”或“是偶数”；B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”，C．猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”．请回答下列问题：(1)假如你是乙，为了尽可能大地获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？(2)为了保证嬉戏的公允性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？(3)请你设计一种其他的猜数方案，并保证嬉戏的公允性．【思路探究】分别计算出双方获胜的概率，然后比较得出结论．【解】(1)可以选择B，猜“不是4的整数倍数”．“不是4的整数倍数”的概率为eq\f(8,10)＝0.8，而“是大于4的数”的概率为eq\f(6,10)＝0.6，虽然它们都超过了0.5，但0.8>0.6，故乙选择B方案并猜“不是4的整数倍数”可以尽可能大地获胜．(2)为了保证嬉戏的公允性，应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该嬉戏是公允的．(3)可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，这样也可以保证嬉戏的公允性．规律方法解决生活中的公允性问题的策略尽管随机事务的发生具有随机性，但是大量重复这一过程时，可用概率的学问对嬉戏的公允性作出决策．解题时留意分析数据总数和某事务包含的数据个数，计算出频率，进而估计出概率，对结果进行推断．在一场网球竞赛前，为确定由谁先发球，裁判确定发球时常用的一种方法是：裁判员拿出一个抽签器，它是一个像大硬币似的匀称塑料圆板，一面是红圈，一面是绿圈，然后随意指定一名运动员，要他猜上抛的抽签器落到球台上时，是红圈朝上还是绿圈朝上．假如他猜对了，就由他先发球，否则，由另一方先发球．请问这样公允吗？说明理由．解：这样做体现了公允性．理由如下：因为它使得两名运动员的先发球机会是等可能的．用概率的语言描述，就是两名运动员取得发球权的概率都是0.5.这是因为抽签器上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率都是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，所以这个规则是公允的．——易错警示——不理解概率的意义致误【例5】已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是()A．合格产品少于9件B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件D．合格产品可能是9件【易错点分析】因不理解概率的意义而错选C.【防范措施】一个事务的概率是通过大量的重复试验得到的，其反映了该随机事务发生的可能性大小，因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验，而每次试验结果可能是正品，也可能是次品．故只有D正确．【解析】合格产品可能为90%×10＝9，故选D.【答案】D“今日北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是(A)A．北京今日肯定降雨，而上海肯定不降雨B．上海今日可能降雨，而北京可能没有降雨C．北京和上海都可能没降雨D．北京降雨的可能性比上海大解析：北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今日肯定降雨，上海肯定不降雨，所以B，C，D正确，A错误.一、选择题1．给出下列三个命题，其中正确命题有(A)①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq\f(3,7)；③随机事务发生的频率就是这个随机事务发生的概率．A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：由频率与概率的定义知三个结论都不对．2．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为(D)A．0.49 B．49C．0.51 D．51解析：由100×0.49＝49知，有49次“正面朝上”，故有100－49＝51次“正面朝下”．3．某市对该市观看中心电视台播放的2024年春节联欢晚会的状况进行统计，得到该市的收视率为65.4%，这表示(C)A．该市观看该节目的概率为65.4%B．在1000户家庭中总有654户收看该节目C．该市观看该节目的频率为65.4%D．该市收看该节目的共有654户解析：频率是一个实际值，是个统计值，概率为理论值．二、填空题4．已知随机事务A发生的频率是0.2，事务A出现了10次，那么共进行了50次试验．解析：设共进行了n次试验，则由eq\f(10,n)＝0.2，解得n＝eq\f(10,0.2)＝50.5．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，依据上个月的用电记录，在30天中有12天的用