2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价九不等式的性质含解析北师大版必修1

PAGE6-课时素养评价九不等式的性质(15分钟30分)1.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是 ()A.1a<1b B.a2C.ac2+1>【解题指南】依据不等式的性质或用特别值法.【解析】选C.对A,若a>0>b,则1a>0,1此时1a>1对B,若a=1,b=-2,则a2<b2,所以B不成立;对C,因为c2+1≥1,且a>b,所以ac2+1对D,当c=0时,a|c|=b|c|,所以D不成立.2.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是 ()A.a>b2 B.1a>C.1a<1b D.a【解析】选A.对于A,因为-1<b<1,所以0≤b2<1,又因为a>1,所以a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=12,此时满意a>1>b>-1,但1a<1b,故B错误;对于C,若a=2,b=-12,此时满意a>1>b>-1,但1a>1b,故C错误;对于D,若a=3.设a,b∈R,则“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若a>2且b>1,则由不等式的同向可加性可得a+b>2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1=2.即“a>2且b>1”是“a+b>3且ab>2”的充分条件;反之,若“a+b>3且ab>2”,则“a>2且b>1”不肯定成立,如a=6,b=12.所以“a>2且b>1【补偿训练】“xy>1”的一个充分不必要条件是A.x>y B.x>y>0C.x<y D.y<x<0【解析】选B.当x>y>0时,必有xy而xy>1⇔x-yy>0所以x>y>0是xy>1的充分不必要条件4.已知x≠0,则(x2+1)2与x4+x2+1的大小关系为.

【解析】因为(x2+1)2-(x4+x2+1)=(x4+2x2+1)-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2,又x≠0,所以x2>0,所以(x2+1)2-(x4+x2+1)>0,故(x2+1)2>x4+x2+1.答案:(x2+1)2>x4+x2+15.已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:ea-c【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以0<1a-c又因为e<0,所以ea-c(20分钟40分)一、单选题(每小题5分,共15分)1.设x<a<0,则下列不等式肯定成立的是 ()A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax【解析】选B.因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2,所以x2>ax>a2.【光速解题】选B.本题可以利用特别值法解答,由题意,可以令x=-2,a=-1,则x2=4,ax=2,a2=1,干脆得出答案.2.已知a>b>c,则1a-b+1bA.为正数 B.为非正数C.为非负数 D.不确定【解析】选A.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以1a-b>0,1b-c>0,1a-c<1b-c,所以1b-c3.有三个房间须要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是 ()A.ax+by+cz B.az+by+cxC.ay+bz+cx D.ay+bx+cz【解析】选B.方法一:因为x<y<z,a<b<c,所以ax+by+cz-(az+by+cx)=a(x-z)+c(z-x)=(x-z)(a-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx;同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x-z)(c-b)<0,故ay+bz+cx<ay+bx+cz.又az+by+cx-(ay+bz+cx)=a(z-y)+b(y-z)=(a-b)(z-y)<0,故az+by+cx<ay+bz+cx.综上可得,最低的总费用为az+by+cx.方法二(特别值法):若x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3,则ax+by+cz=14,az+by+cx=10,ay+bz+cx=11,ay+bx+cz=13.由此可知最低的总费用是az+by+cx.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知1a<1b<0,A.a<b B.a+b<abC.|a|>|b| D.ab<b2【解析】选BD.因为1a<1因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,B正确;因为b<a<0,所以|a|>|b|不成立,C错误;因为b<a<0,所以a-b>0,即ab-b2=b(a-b)<0,所以ab<b2成立,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)5.某公司有20名技术人员,安排开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预料产值如下:产品种类每件须要人员数每件产值/万元A类17.5B类16今制定安排欲使总产值最高,则应开发A类电子器件件,能使总产值最高为万元.

【解析】设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,则x2+50-x3由题意得总产值:y=7.5x+6(50-x)=300+1.5x≤330(万元),当且仅当x=20时,y取最大值330.答案:203306.已知x<1,则x3-12x2-2x(填“>”“<”或“=”).

【解题指南】尝试利用作差法比较大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1)=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)x-因为x<1,所以x-1<0.又x-12所以(x-1)x-所以x3-1<2x2-2x.答案:<【补偿训练】若x∈R,则x1+x2与1【解析】因为x1+x2-12=2x-1-答案:x1+x四、解答题7.(10分)(1)已知a>b>c>0,试比较a-cb与(2)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.【解析】(1)a-cb-=a