2025年人教A新版高三数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A新版高三数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知数列{an}是递增等比数列，a2=2，a4-a3=4，则此数列的公比q=（）A.-1B.2C.-1或2D.-2或12、函数f（x）=x3+3x-1在以下哪个区间一定有零点（）A.（-1，0）B.（0，1）C.（1，2）D.（2，3）3、若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A.6B.2C.3D.44、曲线在点（0，1）处的切线方程为（）A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=x+1D.y=-x+15、用数学归纳法证明，在验证当n=1等式成立时，其左边为（）A.1B.1+xC.1+x+x2D.1+x+x2+x3评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、若关于x的不等式|ax-2|＜3的解集为{x|-＜x＜}，则a=____．7、定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=-6，则|×|等于____．8、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为____．9、已知向量其中且则向量和的夹角是____.10、等比数列{an}中，若a1=-2，a5=-4，则a3=______．11、已知直线(t为参数)，曲线C：ρ-2cosθ=0，点P在直线l上，点Q在曲线C上，则|PQ|的最小值为____________．评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)12、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）13、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．14、空集没有子集．____．15、任一集合必有两个或两个以上子集．____．16、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、作图题(共4题，共8分)17、若变量x，y满足，则的最大值为____．18、试画出函数f（x）=ln（x-）的大致图象．19、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是____（填序号）．20、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．

（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60°．评卷人得分五、证明题(共2题，共20分)21、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是下底面ABCD的中心，E、F、G分别是DC、BC、CC1的中点．求证：C1O∥平面EFG．22、在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC中点．求证：A1B∥平面AC1D．评卷人得分六、综合题(共3题，共9分)23、已知函数f（x）=xlnx，g（x）=ax2-x（a∈R）

（1）求f（x）的单调区间和极值点；

（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围；

（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln（en+1）＜n+恒成立．24、已知：=（sin2x，2cosx），=（2，sinx），函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[-，]上的图象．25、设f（x）是定义域为（-∞；0）∪（0，+∞）上的奇函数且在（-∞，0）上为增函数．

（1）若m•n＜0；m+n≤0，求证：f（m）+f（n）≤0；

（2）若f（1）=0，解关于x的不等式f（x2-2x-2）＞0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解析】【解答】解：数列{an}是递增等比数列的公比为q，∵a2=2，a4-a3=4；

∴，解得，（舍去）；

则此数列的公比q=2．

故选：B．2、B【分析】【分析】根据函数零点的判定定理将选项中区间的端点值代入验证即可得到答案．【解析】【解答】解：∵f（x）=x3+3x-1

∴f（-1）f（0）=（-1-3-1）（-1）＞0；排除A．

f（1）f（2）=（1+3-1）（8+6-1）＞0；排除C．

f（0）f（1）=（-1）（1+3-1）＜0；

∴函数f（x）在区间（0；1）一定有零点．

故选：B．3、A【分析】【分析】根据a+b=2，利用基本不等式求得3a+3b的最小值．【解析】【解答】解：由于实数a，b满足a+b=2，则3a+3b=≥2=2=6；

当且仅当a=b=1时；等号成立；

故选A．4、A【分析】【分析】欲求在点（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．【解析】【解答】解：∵y=ex+x；

∴y′=ex+1

∴曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线的斜率为：k=e0+1=2；

∴曲线y=ex+x在点（0；1）处的切线的方程为：y=2x+1；

故选A．5、C【分析】【分析】过程等式的特征，左边是从1+x，一直加到x的n+1次方，即可推出本题的选项．【解析】【解答】解：由题意可知，等式的左边是：1+x+x2++xn+1，所以在验证当n=1等式成立时，左边=1+x+x2．

故选C．二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】【分析】分a=0、a＞0、a＜0三种情况，分别去掉绝对值求得不等式的解集，再把求得的解集和所给的解集作对比，从而求得a的值，综合可得结论．【解析】【解答】解：显然，a=0时，条件|ax-2|＜3恒成立，不满足解集为{x|-＜x＜}．

当a＞0时，由关于x的不等式|ax-2|＜3可得-3＜ax-2＜3，解得-＜x＜；

再根据的解集为{x|-＜x＜}，∴；a无解．

当a＜0时，由关于x的不等式|ax-2|＜3可得-3＜ax-2＜3，解得＜x＜-；

再根据的解集为{x|-＜x＜}，∴；解得a=-3；

故答案为：-3．7、8【分析】【分析】由题意得．所以cosθ=所以sinθ=所以【解析】【解答】解：由题意得

所以cosθ=

所以sinθ=

所以

故答案为8．8、略

【分析】

由题意设F（c，0）相应的渐近线：y=x；

则根据直线PF的斜率为-设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x=

则P（），则PF的中点（）；

把中点坐标代入双曲线方程=1中，整理求得=即离心率为

故答案为：．

【解析】【答案】根据题意可表示出渐近线方程；进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．

9、略

【分析】【解析】试题分析：因为向量其中且所以即=又所以向量和的夹角是考点：本题主要考查向量的数量积，向量的垂直。【解析】【答案】10、略

【分析】解：由题意，{an}是等比数列，a1=-2；设公比为q；

∵a5=-4，即-2×q4=-4；

可得：q4=2，则

那么a3=

故答案为．

由题意，{an}是等比数列，a1=-2，设出公比q，表示出a5=-4，建立关系，求q，可得a3的值。

本题考查等比数列的第3项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用【解析】11、略

【分析】解：直线l的直角坐标方程为y=x-4，曲线C：ρ-2cosθ=0即为曲线C：ρ2-2ρcosθ=0，直角坐标方程为x2+y2-2x=0．即为(x-1)2+y2=1，圆心(1，0)到直线距离d=

|PQ|的最小值为d-r==．

故答案为：．．【解析】三、判断题(共5题，共10分)12、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√13、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．14、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．15、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．16、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、作图题(共4题，共8分)17、略

【分析】【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求得答案．【解析】【解答】解：由约束条件；作出可行域如图；

的几何意义为可行域内的动点（x；y）与定点P（2，-1）连线的斜率；

∵．

∴的最大值为-．

故答案为：．18、略

【分析】【分析】函数f（x）=ln（x-）的定义域为（-1，0）∪（1，+∞），作出其简图即可．【解析】【解答】解：函数f（x）=ln（x-）的定义域为（-1；0）∪（1，+∞）；

其图象如下：

19、①【分析】【分析】由已知条件求出y=f（x），根据其定义域及最值即可得到答案．【解析】【解答】解：由题意知，2xy=20，所以，则y=f（x）=；（2≤x≤10）．

因为函数y=f（x）的定义域为[2，10]，且f（x）min=f（10）=1，f（x）max=f（2）=5；

故答案为：①．20、略

【分析】【分析】法一（Ⅰ）D为AA1中点，推出平面B1CD内的直线CD，垂直平面B1C1D内的两条相交直线DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D；即可得到

平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD，可得∠B1EC1为二面角B1-CD-C1的平面角；设AD=x；

△DCC1的面积为1求出x，在AA1上存在一点D满足题意．

法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D．

（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），通过计算求出a，即可说明在AA1上存在一点D满足题意．【解析】【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°

∴B1C1⊥A1C1

又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1（1分）∴B1C1⊥平面ACC1A1．

∴B1C1⊥CD（2分）

由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，可知；

∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1（4分）

又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D

又CD⊂平面B1CD

故平面B1CD⊥平面B1C1D（6分）

（Ⅱ）解：当时二面角B1-CD-C1的大小为60°．（7分）

假设在AA1上存在一点D满足题意；

由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1．

如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD

所以∠B1EC1为二面角B1-CD-C1的平面角（8分）

∴∠B1EC1=60°

由B1C1=2知，（10分）

设AD=x，则

∵△DCC1的面积为1∴

解得，即

∴在AA1上存在一点D满足题意（12分）

解法二：

（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1

所在直线为x；y、z轴建立空间直角坐标系．

则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0；0，2），D（1，0，1）．

即（2分）

由得

由得（4分）

又DC1∩C1B=C1

∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD

∴平面B1CD⊥平面B1C1D（6分）

（Ⅱ）当时二面角B1-CD-C1的大小为60°．（7分）

设AD=a；则D点坐标为（1，0，a）；

设平面B1CD的法向量为

则由令z=-1

得（8分）

又∵为平面C1CD的法向量

则由（10分）

解得，故．

∴在AA1上存在一点D满足题意（12分）五、证明题(共2题，共20分)21、略

【分析】【分析】要证C1O∥平面EFG，只要证明C1O平行于平面EFG内的一条直线即可，结合给出的中点，可利用与三角形的中位线知识证明线线平行，从而得到线面平行．【解析】【解答】证明：如图；

由题意知AC∩BD=O；连结EG；FG，连结EF交AC于H，连结GH；

∵E；F分别是DC、BC的中点；∴EF∥BD，∴CH：HO=CF：FB，∴H为CO的中点；

又G是CC1的中点，∴GH∥OC1．

OC1⊄平面EFG；GH⊂平面EFG；

∴C1O∥平面EFG．22、略

【分析】【分析】连接A1C，交AC1于N，连接DN，证明DN∥A1B，即可证明A1B∥平面AC1D．【解析】【解答】证明：如图，连接A1C，交AC1于N，连接DN，三棱柱ABC-A1B1C1中；

所以N为A1C的中点，又D为BC中点．所以DN∥A1B；

DN⊄平面AC1D，A1B⊂平面AC1D；

所以A1B∥平面AC1D．

六、综合题(共3题，共9分)23、略

【分析】【分析】（1）求导数f′（x）；f′（x）＜0，f′（x）＞0可得单调区间及极值点；

（2）问题转化为ax≥lnx+1恒成立；令h（x）=ax-lnx-1，分a≤0，a＞0两种情况讨论，利用导数求出函数h（x）的最小值即可；

（3）令en=t≥e，即证明ln（t+1）＜lnt+，即证，可证lnx＜x-1，借助（2）问结论可证；【解析】【解答】解：（1）求导函数可得f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得；

当x时，f′（x）＜0，则f（x）在（0，）上递减；

当x时，f′（x）＞0，f（x）在（）上递增；

综上f（x）在（0，）上递减，在（）上递增，f（x）的极小值点为x=．

（2）问题转化为ax≥lnx+1恒成立；

令h（x）=ax-lnx-1，则h′（x）=a-=；

（ⅰ）当a≤0时；h′（x）＜0，h（x）在x＞0时单调递减，h（x）无最小值，舍去；

（ⅱ）当a＞0时，令h′（x）=0，得x=；

且0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减；x；h′（x）≥0，h（x）递增；

故=lna；只须lna≥0，即a≥1；

（3）要证明ln（en+1）＜n+；

令en=t≥e，即证明ln（t+1）＜lnt+，即证明＜，即证；

即证lnx＜x-1；

而由（2）可知a=1时，xlnx≤x2-x；

当x＞1时；lnx＜x-1；

故ln（en+1）＜n+是成立的，