2025年岳麓版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高二数学上册阶段测试试卷384考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、【题文】投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m，n，则复数(m＋ni)2是纯虚数的概率是()A.B.C.D.2、【题文】函数的部分图象如图；则（）

A.B.C.D.3、【题文】程序框图如图：

[

如果上述程序运行的结果是S=1320，那么判断框中应填人（）A.K<10？B.K10？C.K<11？D.K11？4、【题文】如图，正六边形中，（）A.B.C.D.5、已知函数的零点个数为（）A.2B.3C.4D.2或3或46、已知某几何体的三视图都是边长为2的正方形，若将该几何体削成球，则球的最大表面积是（）A.16πB.8πC.4πD.2π7、某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）A.144种B.150种C.196种D.256种8、在极坐标系中，圆娄脩=4cos娄脠(娄脩隆脢R)

的圆心到直线娄脠=娄脨3

的距离是(

)

A.3

B.23

C.1

D.2

9、若以直角坐标系的原点为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1鈭�x(0鈮�x鈮�1)

的极坐标方程为(

)

A.娄脩=1cos胃+sin胃0鈮�娄脠鈮�娄脨2

B.娄脩=1cos胃+sin胃0鈮�娄脠鈮�娄脨4

C.娄脩=cos娄脠+sin娄脠0鈮�娄脠鈮�娄脨2

D.娄脩=cos娄脠+sin娄脠0鈮�娄脠鈮�娄脨4

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴所围成的封闭图形的面积为____．11、若且则的取值范围是____________．12、【题文】已知向量若则____.13、【题文】某小学对学生的身高进行抽样调查；如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为________.

14、已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，若△ABC面积为c=2，A=60°，求a，b及角C的值．15、设复数z=则复数z的实部是______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共12分)23、一个等差数列{an}的前5项和是25；前10项和是100，由这些条件能否确定这个数列的通项公式吗？若能，试求出通项公式．

24、从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表．(1)共有多少种不同的选派方法？(2)若女生甲必须担任语文科代表，共有多少种不同的选派方法？(3)若男生乙不能担任英语科代表，共有多少种不同的选派方法？25、【题文】）已知向量满足且令

（1）求（用表示）；

（2）当时,对任意的恒成立，求实数的取值范围。26、如图；在长方体ABCD鈭�A1B1C1D1

中，AB=AA1=1E

为BC

的中点．

(1)

求证：C1D隆脥D1E

(2)

动点M

满足AM鈫�=娄脣鈫�(0<娄脣<1)

使得BM//

平面AD1E

求娄脣

的值；

(3)

若二面角B1鈭�AE鈭�D1

的大小为90鈭�

求线段AD

的长．评卷人得分五、计算题(共4题，共24分)27、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．28、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式29、已知a为实数，求导数30、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；评卷人得分六、综合题(共1题，共10分)31、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【解析】当m＝n时，(m＋ni)2是纯虚数，所以其概率为【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于函数的部分图象可知周期为8=同时当x=3，函数值为0，则可知sin(),则可知答案为故答案为C.

考点：三角函数的图象。

点评：主要是考查了三角函数的图象的解析式的求解，属于基础题。【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】K<10？【解析】【答案】A4、A【分析】【解析】因为为正六边形，所以且所以则故选A【解析】【答案】A5、A【分析】【解答】令=0得，在同一平面直角坐标系内，画出y=y=(以a=为代表)，观察知，两函数图象交点由2个，所以，函数的零点个数为2；故选A。

【分析】简单题，确定函数零点的个数，一般有两种思路，一是通过解方程求零点，确定个数，二是通过画函数图像，看交点个数即为零点个数。6、C【分析】解：∵三视图均为边长为2的正方形；∴几何体是边长为2的正方体；

将该几何体削成球，则球的最大半径为1，表面积是4π×12=4π．

故选：C．

根据三视图均为边长为2的正方形；可得几何体是边长为2的正方体，将该几何体削成球，则球的最大半径为1，即可求出球的最大表面积．

本题考查了由三视图求几何体的表面积及球的表面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】【答案】C7、B【分析】解；把学生分成两类：311，221；

根据分组公式共有=150种报考方法；

故选B．

由题设条件知，可以把学生分成两类：311，221，所以共有种报考方法．

本题考查分类加法计数原理，解题时要认真审题，注意平均分组和不平均分组的合理运用．【解析】【答案】B8、A【分析】【分析】

先将极坐标方程化为普通方程；可求出圆心的坐标，再利用点到直线的距离公式即可求出答案.

正确化极坐标方程为普通方程及会利用点到直线的距离公式是解题的关键．

【解答】

解：隆脽

圆娄脩=4cos娄脠

隆脿娄脩2=4娄脩cos娄脠

化为普通方程为x2+y2=4x

即(x鈭�2)2+y2=4

隆脿

圆心的坐标为(2,0)

．

隆脽

直线娄脠=娄脨3(娄脩隆脢R)

隆脿

直线的方程为y=3x

即3x鈭�y=0

．

隆脿

圆心(2,0)

到直线3x鈭�y=0

的距离d=23(3)2+12=233+1=3

．

故选A．

【解析】A

9、A【分析】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=娄脩cos娄脠y=娄脩sin娄脠y=1鈭�x(0鈮�x鈮�1)

可得娄脩cos娄脠+娄脩sin娄脠=1

即娄脩=1cos胃+sin胃

．

由0鈮�x鈮�1

可得线段y=1鈭�x(0鈮�x鈮�1)

在第一象限，故极角娄脠隆脢[0,娄脨2]

故选：A

．

根据直角坐标和极坐标的互化公式x=娄脩cos娄脠y=娄脩sin娄脠

把方程y=1鈭�x(0鈮�x鈮�1)

化为极坐标方程．

本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角娄脠

的范围，属于基础题．

【解析】A

二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】

由题意令解得交点坐标是（1；1）

故由直线x+y-2=0，曲线y=x3以及x轴围成的图形的面积为：

∫1x3dx+∫12（2-x）dx=x4+（2x-x2）=+=．

故答案为：

【解析】【答案】先求出两曲线的交点坐标（1；1），再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来，由公式求出积分，即可得到面积值．

11、略

【分析】因为故的取值范围是【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：两向量垂直，满足条件可得公式求得.

考点：向量垂直坐标表示以及向量模的公式.【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：由图可知，身高在［100，110）,［110，120），［120，130），［130，140），［140，150］这五组的频率分别是0.05、0.35、0.2、0.1，因为五组频率之和应为1,所以根据分层抽样的知识，在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为

考点：频率分布直方图、分层抽样【解析】【答案】314、略

【分析】

由已知结合可求b，然后由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccos60°可求；进而可求C

本题主要考查了三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理的简单应用，属于基础试题【解析】解：∵c=2；A=60°

又

∴

∴b=1

由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccos60°=4=3

∴

∵a2+b2=c2

∴C=90°15、略

【分析】解：z====-=-i；

所以复数z的实部为．

故答案为

直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．

本题考查了复数的基本概念，考查了复数的除法运算，是基础题．【解析】三、作图题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共12分)23、略

【分析】

由题意可得S5=5a1+10d=25，S10=10a1+45d=100；

解得a1=1；d=2；

∴这个数列的通项公式an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．

【解析】【答案】由题意可得5a1+10d=25，10a1+45d=100，求出a1和d的值，由此求得通项公式为an=a1+（n-1）d的解析式．

24、略

【分析】

(1)（2）(3)【解析】本试题主要是考查了排列组合在实际生活中的运用。（1）利用从5名男同学与4名女同学中选3名男同学与2名女同学，分别担任语文、数学、英语、物理、化学科代表，先选后拍了得到结论。(2)根据女生甲必须担任语文科代表，先定特殊元素，然后剩余的任意选择即可。（3）男生乙不能担任英语科代表，先定英语课代表，然后其余任意排列即可【解析】【答案】25、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由已知得整理得

（2）当时,对任意的恒成立，只需由基本不等式得。

即对任意的恒成立，构造函数则需。

即可。

（1）

整理得

（2）当时,对任意的恒成立，只需

时等号成立），即

所以当时,对任意的恒成立，构造函数

则只需即解得

考点：（1）公式的应用及向量的基本运算；（2）基本不等式求最值；（3）构造函数解决不等式。

恒成立问题。【解析】【答案】（1）（2）26、略

【分析】

(1)

以D

为原点，建立的空间直角坐标系D鈭�xyz

设AD=2aC1D鈫�=(0,鈭�1,鈭�1)D1E鈫�=(a,1,鈭�1)

由此能证明C1D隆脥D1

E.

(2)

由动点M

满足AM鈫�=娄脣鈫�(0<娄脣<1)

得M(2a,0,娄脣)

连接BM

求出平面AD1E

的法向量，利用向量法能法语出结果．

(3)

连接AB1B1E

求出平面B1AE

的法向量，利用向量法能求出AD

．

本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解析】证明：(1)

以D

为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D鈭�xyz

设AD=2a

则D(0,0,0)A(2a,0,0)B(2a,1,0)1(2a,0,1)

1(0,1,1)1(0,0,1)1(2a,1,1)E(a,1,0)

隆脿C1D鈫�=(0,鈭�1,鈭�1)D1E鈫�=(a,1,鈭�1)

隆脿C1D鈫�鈰�D1E鈫�=0隆脿C1D隆脥D1

E.(3

分)

解：(2)

由动点M

满足AM鈫�=娄脣鈫�(0<娄脣<1)

使得BM//

平面AD1E

隆脿M(2a,0,娄脣)

连接BM隆脿BM鈫�=(0,鈭�1,娄脣)AE鈫�=(鈭�a,1,0)AD1鈫�=(鈭�2a,0,1)

设平面AD1E

的法向量为n鈫�=(x,y,z)

则{AE鈫�鈰�n鈫�=鈭�ax+y=0AD1鈫�鈰�n鈫�=鈭�2ax+z=0

取x=1

得n鈫�=(1,a,2a)

隆脽BM//

平面AD1E隆脿BM鈫�隆脥n鈫�

即BM鈫�鈰�n鈫�=鈭�a+2娄脣a=0

解得娄脣=12.(7

分)

(3)

连接AB1B1E

设平面B1AE

的法向量为m鈫�=(x,y,z)

AE鈫�=(鈭�a,1,0)AB1鈫�=(0,1,1)

则{AE鈫�鈰�m鈫�=鈭�ax+y=0AB1鈫�鈰�m鈫�=y+z=0

取x=1

得m鈫�=(1,a,鈭�a)(9

分)

隆脽

二面角B1鈭�AE鈭�D1

的大小为90鈭�

隆脿m鈫�隆脥n鈫�隆脿m鈫�鈰�n鈫�=1+a2鈭�2a2=0

隆脽a>0隆脿a=1隆脿AD=2.(12

分)

五、计算题(共4题，共24分)27、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；