2025年外研版2024高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、lg20-lg2的值等于（）

A.2

B.1

C.10

D.20

2、已知某个几何体的三视图如下；可知这个几何体的体积是（）

A.

B.

C.4000

D.8000

3、【题文】不等式的解集是A.B.C.RD.4、【题文】已知p：q：则是成立的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5、【题文】在正方体ABCD－A1B1C1D1中；给出以下结论：

①AC∥平面A1C1B②AC1与BD1是异面直线。

③AC⊥平面BB1D1D④平面ACB1⊥平面BB1D1D

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.46、【题文】已知集合则()

A．B．C．D．7、已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则﹣的结果是（）A.（7，﹣2）B.（1，﹣2）C.（1，﹣3）D.（7，2）8、下列对应关系：

①A={1；4，9}，B={-3，-2，-1，1，2，3}，f：x→x的平方根。

②A={x|x是三角形}；B={x|x是圆}，f：三角形对应它的外接圆。

③A=R，B=R，f：x→x2-2

④A={-1；0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数平方。

其中是A到B的映射的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个9、幂函数y=xa（α是常数）的图象（）A.一定经过点（0，0）B.一定经过点（1，1）C.一定经过点（-1，1）D.一定经过点（1，-1）评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、若向量满足则向量与的夹角等于____．11、若函数则=．12、【题文】若函数的单调递增区间是则=____.13、【题文】某电视台应某企业之约播放两套连续剧．连续剧甲每次播放时间为80分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为20万．若企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6分钟广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间．则该电视台每周按要求并合理安排两套连续剧的播放次数，可使收视观众的最大人数为____14、已知集合A={x∈N|∈N}，则用列举法表示集合A=____________．15、叙述函数定义：设A、B是______的一个函数．16、函数f（x）=2x2-3|x|的单调减区间是______．

评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)17、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．20、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．21、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．22、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．23、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、作图题(共2题，共4分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．25、画出计算1++++的程序框图．评卷人得分五、解答题(共4题，共28分)26、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为CC1、B1C1、DD1的中点，O为BF与B1E的交点；

（1）证明：BF⊥面A1B1EG

（2）求直线A1B与平面A1B1EG所成角的正弦值．

27、已知=（sin）与=(1,cos)互相垂直，其中（0,）(1)求sin的值（2）若sin（）=0<<求cos（12分）28、【题文】将两块三角板按图甲方式拼好，其中AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙．

(I)求证：BC⊥AD；

(II)求证O为线段AB中点；

(III)求二面角D－AC－B的大小的正弦值．29、【题文】设集合

（1）若求实数的取值范围.

（2）若且求实数的取值范围.评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)30、如图，△ABC中，AB=5，BC=6，BD=BC；AD⊥BC于D，E为AB延长线上的一点，且EC交AD的延长线于F．

（1）设BE为x；DF为y，试用x的式子表示y．

（2）当∠ACE=90°时，求此时x的值．31、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．32、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

lg20-lg2=lg=lg10=1

故选B．

【解析】【答案】运用对数的运算性质就能够得出结果．

2、B【分析】

本题中的几何体是一个四棱锥；其底面是边为为20的正方形，高为20；

故其体积为=

故选B

【解析】【答案】由三视图可以看出；本题是一个四棱锥，由图形中的数据求值即可。

3、A【分析】【解析】

试题分析：∵∴又∴2x-1=0，∴即不等式的解集是

考点：本题考查了一元二次不等式的解法。

点评：熟练运用一元二次不等式的解法步骤是解决此类问题的关键【解析】【答案】A4、A【分析】【解析】化简P：

化简q:【解析】【答案】A5、C【分析】【解析】本题考查空间线面位置关系。①正确，因为AC∥A1C1，②不正确，AC1与BD1是相交直线，③、④正确。【解析】【答案】C6、D【分析】【解析】故选D【解析】【答案】D7、A【分析】【解答】解：∵=（2，1），=（﹣3；4）；

∴﹣=2（2；1）﹣（﹣3，4）=（4，2）﹣（﹣3，4）=（4+3，2﹣4）=（7，﹣2）；

故选：A．

【分析】向量的坐标的加减运算法则计算即可．8、C【分析】解：对于①；A中的所有元素在B中都有两个确定的元素对应，不符合映射概念；

对于②；在f：三角形对应它的外接圆，A中的所有元素在B中都有唯一确定的元素对应，符合映射概念；

对于③，A=R，B=R，在f：x→x2的作用下；A中的所有元素在B中都有唯一确定的元素对应，符合映射概念；

对于④；A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数平方，A中的所有元素在B中都有唯一确定的元素对应；

符合映射概念．

∴是A到B的映射的有②③④．

故选：D．

直接由映射的概念逐一核对四个对应得答案．

本题考查了映射的概念，关键是对映射概念的理解，是基础的概念题．【解析】【答案】C9、B【分析】解：取x=1，则y=1α=1，因此幂函数y=xa（α是常数）的图象一定经过（1；1）点．

故选B．

利用幂函数的图象与性质及1α=1即可得出．

熟练掌握幂函数的图象与性质及1α=1是解题的关键．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

设向量与的夹角为θ（0°≤θ≤180°）；

则（-）•=0；

变形可得，||2=•=2；

则cosθ===

又由0°≤θ≤180°；则θ=45°；

故答案为45°．

【解析】【答案】根据题意，先设向量与的夹角为θ，由题意可得（-）•=0，对其变形可得•=2，由向量夹角公式cosθ=计算可得答案．

11、略

【分析】因f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+那么可知函数的解析式，当x=3时，可知函数值为-1，故答案为-1.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】因为函数f(x)=0的零点为且时；f(x)为增函数；

所以【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】将所给信息用下表表示．

设每周播放连续剧甲次，播放连续剧乙次，收视率为则目标函数为约束条件为作出可行域如图．

由图可知，在点处取到最大值200，所以可使收视观众的最大人数为200万【解析】【答案】200万14、略

【分析】解：由题意可知6-x是8的正约数；当6-x=1，x=5；当6-x=2，x=4；

当6-x=4；x=2；当6-x=8，x=-2；而x≥0；

∴x=2；4，5，即A={2，4，5}．

故答案为：{2，4，5}．【解析】{2，4，5}15、略

【分析】解：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f（x），其中x∈A，y∈B，____集合A叫做函数f（x）的定义域；象集合C叫做函数f（x）的值域，显然有C⊆B．

故答案为：非空的数的集合；f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B．

利用函数的定义即可得出．

本题考查了函数的定义，属于基础题．【解析】非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B16、略

【分析】解：函数f（x）=2x2-3|x|=

图象如下图所示f（x）减区间为（-∞，-]和[0，]．

故答案为：（-∞，-]和[0，]．

首先根据题中的已知条件把自变量进行分类；得出分段函数的解析式，进一步画出函数的图象，然后得出单调区间．

本题考查的知识点：分段函数的解析式，二次函数的图象以及单调区间的确定，【解析】（-∞，-]和[0，]三、证明题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．20、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．21、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=22、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．23、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、作图题(共2题，共4分)24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．25、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．五、解答题(共4题，共28分)26、略

【分析】

如右图，连接A1O

由（1）知，BO⊥平面A1B1EG

故∠BA1O即为直线A1B与平面A1B1EG所成角（8分）

设正方体的棱长为1，则

在Rt△BB1F中，有故==（10分）

所以（12分）

【解析】【答案】（1）先在正方形BCC1B1中根据条件得到△BB1F≌△B1C1E，进而推得BF⊥B1E；再结合DC⊥平面BCC1B1；GE∥DC得到BF⊥GE即可证明结论；

（2）由（1）知，BO⊥平面A1B1EG；得到∠BA1O即为直线A1B与平面A1B1EG所成角；然后通过求边长即可求出结论．

（1）证明：因为BB1=B1C1，B1F=C1E，BF=B1E

所以△BB1F≌△B1C1E

从而∠C1EB1=∠BFB1

在Rt△B1C1E中∠C1EB1+∠C1B1E=90°

故∠BFB1+∠C1B1E=90°从而∠FOB1=90°

即BF⊥B1E（2分）

又因为DC⊥平面BCC1B1；GE∥DC

所以GE⊥平面BCC1B1（4分）

又因为BF⊂平面BCC1B1

故BF⊥GE

又因为B1E∩GE=E

所以BF⊥平面A1B1EG（6分）

（2）27、略

【分析】(1）得sin（1）又（2）由（1）（2）联立及得sin由已知得<<且sin得=【解析】【答案】(1)sin(2)28、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）的可能取值为：1；3，4，6

P（=1）=P（=3）=P（=4）=P（=6）=

∴的分布列为：

。

1

3

4

6

（2）E=1×+3×+4×+6×=29、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

(1)

(2)六、综合题(共3题，共21分)30、略

【分析】【分析】（1）过B作BG∥AF交BCEC于G，则可以得到△CDF∽△CBG，接着利用相似三角形的性质得到，在Rt△ABD中，利用勾股定理可得；又△EGB∽△EFA，由此利用相似三角形的性质即可求出y与x的函数关系；