山东省德州市陵城区2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年山东省德州市陵城区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2．如图，小军任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，他能成功折出的是（）A．∠C的角平分线和AB边上的中线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线 C．AB边上的中线和高线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线解：当AC与BC重合时，折痕是∠C的角平分线；当点A与点B重合时，折叠是AB的中垂线，故选：A．3．将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（）A．75° B．105° C．135° D．165°解：∠AOC＝∠DAB﹣∠C＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：D．4．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（）A．12 B．7 C．2 D．14解：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，CB＝CE，∵CE＝5，AC＝7，∴CB＝5，DC＝7，∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．故选：A．5．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．30m解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，30m不可能．故选：D．6．已知点A（a，4）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b＝（）A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2解：∵点A（a，4）与点B（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣4，则a+b＝﹣2﹣4＝﹣6．故选：A．7．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（）A．70° B．80° C．90° D．100°解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，故选：C．8．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD为BC边中线，若△ACD的周长为8，则△ABD的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．12解：∵AD为BC边中线，∴BD＝DC，∵△ACD的周长为8，∴AC+CD+AD＝8，∴BD+AD＝8﹣3＝5，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝5+4＝9，故选：B．9．如图，在3×3的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（）A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180°解：如图，在△ABC与△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS），∴∠1＝∠ABC．∵∠ABC+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝180°．故选：D．10．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E．已知DE＝1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为（）A．7 B．14 C．8 D．16解：过D点作DF⊥AB于F，DH⊥AC于H，连接AD，如图，∵BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，DE⊥BC，∴DF＝DE＝1，DH＝DE＝1，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD+S△ACD＝×AB×1+×BC×1+×AC×1＝（AB+BC+AC）＝×14＝7．故选：A．11．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24cm，AC＝12cm，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过（）秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）A．4 B．4、12 C．4、8、12 D．4、12、16解：设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；此时AE＝3tcm，分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，△DEB≌△BCA，则BE＝AC，∴24﹣3t＝12，∴t＝4；（2）当点E在点B的右侧时，①△DEB≌△BCA，BE＝AC时，3t＝24+12，∴t＝12；②△EDB≌△BCA，BE＝AB时，3t＝24+24，∴t＝16．综上所述，点E经过4、12、16秒时，△DEB与△BCA全等．故选：D．12．如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC．有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ＝CP；③PC∥QB；④PB＝PA+PC；⑤当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小．其中一定正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤解：∵点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∠ABC＝60°，∴∠ABP与∠PCQ不一定相等，故①不正确；∵△PQB和△ABC都为等边三角形，∴PQ＝QB＝PB，AB＝CB＝AC，∠Q＝∠QBP＝∠ABC＝∠60°，∴∠QBA+∠ABP＝∠PBC+∠ABP＝60°，∴∠QBA＝∠PBC，∴△QBA≌△PBC（SAS），∴AQ＝PC，∠Q＝∠BPC＝∠QBP＝60°，∴PC∥QB，PB＝PQ＝PA+AQ＝PA+PC，∴②③④都正确，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，∴当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，故⑤正确．故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）13．一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是10．解：设这个多边形的边数为n，（n﹣2）•180°＝4×360°，解得n＝10，故答案为：10．14．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是点D点．解：可以瞄准点D击球．故答案为：点D．15．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝55°．解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故答案为：55°．16．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（a+b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为18或21．解：∵+（a+b﹣13）2＝0，∴a﹣b+3＝0，a+b﹣13＝0，∴a＝5，b＝8，∵a，b是等腰三角形的两边长，∴等腰三角形的三边长为5，5，8或5，8，8，∴5+5+8＝18或5+8+8＝21，∴等腰三角形的周长为18或21，故答案为：18或21．17．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是80°．解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，∵∠DCE＝∠O+∠CDO＝2∠O，∴∠DEC＝2∠O，∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝3∠O＝75°，∴∠O＝25°，∴∠DCE＝∠DEC＝50°，∴∠CDE＝80°，故答案为：80°．18．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，对角线BD⊥CD，若BD＝14，则△ABD的面积为98．解：过点A作AE⊥BD，垂足为E，∵AE⊥BD，CD⊥BD，∴∠AEB＝∠CDB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠BAE＝∠DBC，∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD＝14，∴△ABD的面积＝BD•AE＝×14×14＝98，故答案为：98．三、解答题（7小题，共78分）19．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝30°，∴∠ACB＝90°，∵CD是△ABC的高，∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°，∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝60°﹣45°＝15°．20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'；（2）在l上找一点P，使得PA＝PB；（3）在l上找一点Q，使得QB+QC最小．解：（1）如图，根据题意，可得：点A、B、C关于直线l对称的点分别为点A'、B'、C'，连接A'B'、A'C'、B′C′，则△A'B'C'即为所作．（2）作线段AB的垂直平分线交直线l于点P，即点P为所求；（3）如图，连接B'C交直线l于点Q，连接BQ，∵点B和点B'关于直线l对称，∴直线l垂直平分BB'，∴BQ＝B'Q，∴QB+QC＝QB'+QC＝B'C，这时QB+QC的长最短，∴点Q即为所求．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF．求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）AD⊥BC．证明：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）；（2）∵Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．22．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．（1）若∠BAE＝30°，求∠C的度数；（2）若△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求DC的长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∵∠BAE＝30°，∴∠B＝∠AEB＝＝75°，∵∠AEB是△AEC的一个外角，∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝75°，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠C＝∠EAC＝＝37.5°，∴∠C的度数为37.5°；（2）∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，∴AB+BC＝13﹣6＝7（cm），∵AB＝AE，EA＝EC，∴AB＝EC，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝＝3.5（cm），∴DC＝DE+CE＝3.5cm，∴DC的长为3.5cm．23．如图在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上．有下面四个论断：（1）AD＝CB，（2）AE＝CF，（3）∠B＝∠D，（4）AD∥BC．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，进行证明．条件是：（1）（2）（4）；结论是：（3）；证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△EBC和△FDA中，，∴△EBC≌△FDA（SAS），∴∠B＝∠D．解：条件：（1）（2）（4）；结论：（3）；证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△EBC和△FDA中，，∴△EBC≌△FDA（SAS），∴∠B＝∠D．故答案为：（1）（2）（4）；（3）∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，在△EBC和△FDA中，，∴△EBC≌△FDA（SAS），∴∠B＝∠D．24．如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．（1）尺规作图：在直线BC的下方，过点B作∠CBE＝∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点E．（2）求证：△BEC是等边△BEC；（3）求证：∠AMN＝60°．解：（1）如图所示：（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACH＝120°，∵CN平分∠ACH，∴∠HCN＝∠BCE＝60°，∵∠CBE＝∠CBA＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BEC是等边△BEC；（3）证明：连接ME，∵△ABC和△BCE是等边三角形，∴AB＝BC＝BE，在△ABM和△EBM中，∵，∴△ABM≌△EBM（SAS），∴AM＝EM，∠BAM＝∠BEM，∵AM＝MN，∴MN＝EM，∴∠N＝∠CEM，∵∠HCN＝∠N+∠CMN＝60°，∠BEC＝∠BEM+∠CEM＝60°，∴∠CMN＝∠BEM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠ABC+∠BAM＝∠AMN+∠CMN，∴∠AMN＝60°．25．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在