2023年中考数学专题训练二次函数与面积问题 （含答案与解析）

中考专题训练：二次函数与面积问题

1.如图，抛物线,=-%2+法+c与x轴交于彳、3两点（8在4的右侧），且与直线y=x+2交于4、C两点，

已知3点的坐标为（6,0）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点E是线段4c上一点，且满足C与F=；1,

AE6

匚若点尸为直线彳。上方抛物线上一动点，设点尸的横坐标为3当f为何值时，的面积最大；

口过点上向x轴作垂线，交x轴于点尸，在抛物线上是否存在一点N,使得口加。=口月出，若存在，直接写

出点、的坐标，若不存在，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+l与抛物线7=如2+加-3交于4、8点，点4在x轴上，点、B

的纵坐标为5.点尸是直线下方的抛物线上一动点（不与点48重合）.过点尸作x轴的垂线交直线

48于点C.作POU48于点。.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为江

匚用含m的代数式表示线段PO的长，并求出线段尸。长的最大值；

匚连接尸3,线段尸。把△尸08分成两个三角形，若这两个三角形的面积之比为2：3,求出机的值.

3.如图，抛物线M：丁:一炉+以交工轴正半轴于点A,将抛物线叫先向右平移3个单位，再向上平移3

个单位得到抛物线M2,M与交于点8,直线。8交川2于点C.

(1)「抛物线的解析式为；

匚求点K,C的坐标.

(2)P是抛物线叫间的点，作尸Q_Lx轴交抛物线的于点Q，连接CP：CQ.设点尸的横坐标为明

当相为何值时，使ACP。的面积最大？并求出最大值.

4.如图，抛物线y=f+bx+c与x轴交于4、B两点,与y轴交于C点，04=2,OC=6,连接4C和8C

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和8E.求ABCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点/、C、M、N为顶点的四边形是菱形?

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

5.抛物线y=or?经过点4(4,0),8(0,Y),直线EC过点E(4,-l),C(0,-3i,点尸是抛物线上点A,B间

的动点(不含端点A,B),过P作尸轴于点。，连接PC,PE.

(1)求抛物线与直线CE的解析式：

(2)求证：PC+PD为定值；

(3)若aPEC的面积为1,求满足条件的点P的坐标.

6.如图，抛物线丁=奴2+法+3与X轴交于A（-1,O）,8（3,0）两点，与），轴交于点C,连接BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）尸是线段8c上一点，射线AP交抛物线于点尸.

匚连接FC，FB,若S“.pc=2Sw，求点尸的坐标；

「抛物线的顶点为。，当。P+也B尸有最小值时，将ZW/沿工轴正方向平移，个单位长度（0WfW4）得

2

到△AO产，设尸与ABOC重叠部分的面积记为S,请直接写出S与，的函数关系式.

7.如图，抛物线y=o?+加+3与x轴交于A（3,0）,8（-1,0）两点，与丁轴交于点C,抛物线的对称轴与抛

物线相交于点。，交X轴于点E,交直线4c于点F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图I,抛物线上是否存在点P,使得NPEC+NACE=45。？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由；

（3）如图2,在）'轴右侧的抛物线上存在一点。，使4Q8C=2SM~的面积相等，直接写出点。的坐标.

8.如图，抛物线y="+云+c经过A（-3,0）,8（1,0）,C（0,-3）三点，点。为顶点，直线OE为对称轴,

点E在“轴上.

（2）在直线OE上求一点P,使点P到直线8。的距离等于到4轴的距离；

（3）在对称轴左侧，抛物线上存在一点“（不与A重合）.使S.cwngs.cM，求点M的坐标.

9.如图，己知抛物线丁二“十公十C与直线桢相交于点人仅⑴和点矶工可.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设。为直线AB上方的抛物线上一点，当"8C的面积最大时，求点C的坐标；

（3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线），=《f+〃x+G（%声0）,平移后的抛物线与原抛物线

相交于点。，是否存在点E使得VADE是以AO为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若

不存在，请说明理由.

10.如图，己知抛物线），=混+瓜+5经过A（-5,0）,伙-4,-3）两点，与“轴的另一个交点为C,顶点为O,

连接C”

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸为该抛物线上一动点(与点3、C不重合)，设点尸的横坐标为"L

匚点M从点C出发在线段C8上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发以每秒1个单

位长度的速度向点。运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为1秒，求运动

时间为多少时，aCMN的面积最大，并求出最大面积；

□该抛物线上是否存在点尸，使得/PBC=NBCD?若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系入伪中，直线y=-x+10分别交x轴，歹轴于点AB.抛物线y=V。)

经过点a且c点是该抛物线的顶点.

(1)求点C的横坐标；

(2)该抛物线经过线段4B上的另点。(点。不与C重合)，直线。。交y轴于点E,分别求点0的坐标(用

含夕的代数式表示)和点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接OROCAC,是否存在恰当的。值，使得△OQC和的面积之间满足其

中一个是另一个的4倍?若存在，求出。的值；若不存在，请说明理由.

12.已知二次函数y=ax2-2x+c图像与x轴交于/、C两点，点C(3,0),与y轴交于点8(0,-3).

(1)a=,c—；

(2)如图1,尸是x轴上一动点，点。(0,2)在y轴上，连接PO,求后如PC的最小值；

(3)如图1点M在抛物线上，若S«M8c=3,求点〃的坐标.

13.如图，已知抛物线y=-半/+6+c与x轴交于原点。和点力(6,0),抛物线的顶点为民

(1)求该抛物线的解析式和顶点5的坐标；

(2)若动点尸从原点。出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段08运动，同时有一动点M从点片出发,

以每秒2个长度单位的速度沿线段40运动，当尸、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设

它们的运动时间为f(s),连接MP,当f为何值时，四边形48PM的面积最不？并求此最小值.

(3)在(2)的条件下，当，为何值时，AOPM是直角三角形？

14.如图，直线4B:y=x-3与x轴，y轴分别交于48两点，抛物线y=/+加+c经过点4B,抛物线的

对称轴与x轴交于点。，与直线A8交于点N,顶点为C.

⑵点M在线段8N上运动，过点M作线段瓦•平行于y轴，分别交抛物线于点凡交x轴于点£作FGVCD

于点G.

□若设E90),试用含f的式子表示DE的长度；

□当四边形曰PD周长取得最大值时，求的面积.

15.如图，抛物线y=-3,+加计。与x轴交于4、8两点(点4在点8的左侧)，点力的坐标为(-1,0),

与y粕交于点C(0,2),直线8：y=-x+2与x轴交于点。.动点”在抛物线上运动，过点M作A"LJx

轴，垂足为忆交直线CO于点M

(2)当点尸在线段。。上时，△COW的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明

理由：

(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点尸是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为

顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点尸的坐标.

16.已知抛物线y=的对称轴为直线x=l,其图象与％轴相交于4,8两点，与y轴相交于点。

(0,3).

(1)求b,c的值；

(2)直线/与x轴相交于点P.

匚如图1,若/口^轴，且与线段4c及抛物线分别相交于点七，F,点C关于直线x=l的对称点为点O,求

四边形CE£平面积的最大值；

匚如图2,若直线/与线段8c相交于点0,当□「。。□□。力尸时，求点尸的坐标.

17.已知抛物线产族-2wx+3(m<0)与x轴交于48两点(点力在点8的左侧)，与y轴交于点C,且08=304

(1)求抛物线的解析式：

(2)若“，N是第一象限的抛物线上不同的两点，且/8CN的面积恒小于ABCN的面积，求点”的坐标;

(3)若。为抛物线的顶点，尸为第二象限的抛物线上的一点，连接BP,DP,分别交y轴于E,凡若EF=

(0C,求点尸的坐标.

18.函数)，=/+加+。的图像与x轴交于两点，与y轴交于点C,O8=OC.点。在函数图像上，CD//x

轴，且CO=2,直线/是抛物线的对称轴，上是抛物线的顶点.

(1)求b,c的值；

(2)如图口，连接8E,线段。。上的点F关于直线/的对称点尸恰好在线段上，求点尸的坐标；

(3)如图口，动点尸在线段08上，过点P作x轴的垂线分别与8c交于点K与抛物线交于点N.试问：

抛物线上是否存在点0,使得VPQN与△物的面积相等，且线段N。的长度最小？如果存在，求出点。

的坐标；如果不存在，说明理由.

19.如图，直线y=X+3交X轴于点A,交y轴于点C,抛物线y=ar2+bx+c经过A、C,与x轴交于另

一点8(1,0),顶点为D.

(1)求抛物线对应函数表达式；

(2)过A点作射线从上交直线AC下方的抛物线上于点E,使ND4E=45。，求点E的坐标；

(3)作CG平行于x轴，交抛物线于点G,点”为线段CD上的点，点G关于NG”C的平分线的对称点为

点、M：若HG-HC=五,求点”坐标及三角形"GW的面积.

20.如图1,已知抛物线y=r+bx+c与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点

为D,OA=OC=3.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断AAC。的形状并说明理由；

（3）如图2,N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n,求面积S与n的函数关

系式及S的最大值：

（4）在抛物线上是否存在一点N,使得=若存在，请直接写出点N的坐标若不存在，请说

明理由.

参考答案

【分析】（1）由直线解析式求出力点的坐标，然后结合8点的坐标，运用待定系数法求解即可；

（2）根据题意，分别求出C,七两点的具体坐标，□利用割补法列出的面积关于f的二次函数表达式，

根据二次函数的性质进行求解即可；□分点N在直线4C的上方或下方两种情况进行讨论，结合三角函数以

及特殊图形的性质分别求出对应直线的解析式，然后联立抛物线解析式求出N的坐标即可.

【解析】（1）由直线y=x+2可知，当y=0时，x=-2,

□A（-2,0）,

将A(-2,0),8(6,0)代入抛物线解析式可得:

-4-2Z>+<?=0仿=4

―36+66+c=0'解得：［c=\2f

抛物线的解析式为：y=-x2+4x+12；

y=-x2+4x+\2

(2)联立〈

y=x+2

'=7或'x=5

解得：

y=0y=7

即：点C的坐标为。(5,7),

□点E在线段4C上，

匚设E点坐标为E(〃M+2),

CE1

匚---=—,

AE6

AE6日口AE~36

AC7AC249

由两点间距离公式可得：

AC2=98,4E2=2(a+2)2,

Q2(«+2)=36>解得：。=4或〃=一8［舍)，

9849

匚E点坐标为E(4,6)；

□由题意,设P(f,-*+4f+12),

如图，过点尸作直线PMK轴，交直线ZC于"点,

匚设M(/"+2),

2

UPM=yp-yM=-/+3r+10,

口S△分E=^尸”・(乙一5)=，(4+2)><(一/+3/+1°)=-3("9+子’

由二次函数的性质可知，-3<0,抛物线开口向下，

3

U当/时，柿取得最大值；

1）当N点在直线4C下方时，

匚E尸□工轴，E（4,6）,8（6,0）,

匚EFW,BF=2,

BF1

在R&BEF中,tanZBEF=——=-,

EF3

如图，由直线/C解析式可知，□切045。，

过点尸作丛□力E于K点，交AN于-M点,过点K作K0W轴于。点，过点用作MLOx轴于£点,

口二人"=90。，

□□"K=45。，AK=FK,

KQ=AQ=FQ=3,

□K（l,3）,

□□NACKFEB,

，…*KM1

□tanZ.KAM=----=-,

AK3

KM1

\---——,

KF3

□M（2,2）,

□直线4V的解析式为：y=1x+l,

11

x=一

2

联立直线AN与抛物线的解析式解得:或，

y=015

尸了

2）当点N在直线力。上方时，

点M关于直线AC的对称点为仞'（0,4）,

匚直线4V'的解析式为：y=2x+4f

联立直线4V'与抛物线的解析式解得：，一八或"in

v=o[y=i2

□V（4/2）,

【点评】本题考查二次函数综合问题，理解二次函数图中常考最值问题的基本求解思路，灵活构造图形，

运用数形结合的思想是解题关键.

2.（1）y=^2x3；（2）□当时，/>£>最大值为空更；或";=2.

283

【分析】（1）在尸:+1中，当尸0时，x=-l；当产5时，x=4,依此可得4与8的坐标；将4与5坐标代入

抛物线解析式求出。与b的值，即可确定出抛物线解析式；

（2）：]设直线与y轴交于点E,由“与y轴平行，易证口PCO是等腰直角三角形，从而得出尸。=巫

2

PC,由点P的横坐标为加，得出P（/n,优2-2m-3）,C（w,机+1）,根据两点间的距离公式可得出尸C=

-加+3〃什4,从而得出尸。=走尸。=-走苏+速川+2友,最后根据二次函数的性质即可得出答案；

222

匚过D作力尸UPC于尸,过8作8G匚PC于G,表示出DF与BG,进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP

面积，根据面积之比为2：3列出关于m的方程，求出方程的解得到机的值即可.

【解析】解：（1）在歹=xH中，令y=0得x=-l,令y=5得x=4,

□J(-1,0),B(4,5),

将4(-1,0),B(4,5)代入得:

0=a-h-3(a=\

晨［工，解得，Jc，

5=16a+4b—o3［b=—2

L抛物线的解析式为-2x-3：

(2)匚设直线48与y轴交于E,如图：

在y=x+l中，令x=0得y=l,

QOA=OE

:LIZOE是等腰直角三角形，口£4。=口4EO=45。,

LPC7/歹轴，

□I尸04=45°,

PDJAB,

I匚PCO是等腰直角三角形，

匚PD=^PC,

2

匚点尸的横坐标为〃】，

□P(w,m2-2m-3)»CCm,w+1),

匚PC=(m+l)-(m2-2m-3)=-/w2+3w+4,

口PD=&PC=--/n2+—/n+2V2，

222

□--<0,

2

3>/2

U当〃!=(2、=］时，尸。最大值为竺徨;

2x*28

2

匚过。作。尸口尸。于R过8作8G匚PC于G,如图:

SAPCD=PC・DF,S〉BCP=gPC・BG,

S&PCD_DF

S/一热’

□PC。是等腰直角三角形，

匚DF=：PC=g(-m2+3m+4),

而6G=4-m,

当沁［时，。尸_；(-加+3"+4)_2,

配~BG=4^=3

解得加=4(舍去)或加=g,

匚此时m=；,

当沁=3时，DF；(一＞+3加+4)3,

x―2-----=---------------------=—

gBG4一〃?2

解得加=4(舍去)或加=2,

匚此时机=2,

综上所述，两个三角形的面积之比为2：3,则加=1或m=2.

【点评】本题考查二次函数的综合知识，解题的关键是用用的代数式表示尸C的长度.

3.(1)Dy=-x2+10x-18,□点8、C的坐标分别为(3,3)、(6,6)；(2)当帆=4时，S有最大值，且最大

值为6.

【分析】(1)①根据抛物线的性质，y=-F+4x移后的对应的函数表达式为y=-(x-3)2+4(x-3)+3

=-x+10x-18,进而求解；

(2)作CH1PQ,交P0延长线于点H,由PQ=(-m2+\0m-18)-(-加芬4加)，CH=6-m,得SACPQ

=-3序+27〃L54,再根据二次函数的性质求解可得.

【解析】解：(1)①根据抛物线的性质，y=-f+4x移后的对应的函数表达式为y=-(x-3)2+4(x・3)

+3=・，+10x-18②，

联立①②并解得,

[y=3

故点8的坐标为(3,3),

由点3的坐标得，直线。8的表达式为y=x③，

联立②③并解得二x=;3或二T=八6，

j=J[y=o

故点6、C的坐标分别为(3,3)、(6,6)；

・•・①答案为：y=-A^+IOX-18,②点5、C的坐标分别为(3,3)、(6,6)；

(2)如图2,过点C作C，_LP。，交尸0延长线于点〃，

图2

・・・P0_Lx轴，

：,PQ=(-m2+\0m-18)-(-m2+4w)=6w-18,CH=6-m,

：.SACPQ=*(6/n-18)(6-m)--3m2+27m-54,

由于P是抛物线M,上48段一点，

故

b9

w=——=—,不在3W机W4范围内，

la2

Va=-1,开口向下，在对称轴的左侧，S随着羽的增大而增大，

・•・当用=4时，S有最大值，且最大值为6.

【点评】本题是二次函数的综合运用，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质等知识点，

题目有一定的综合性，难度适中.

27321r—io

4.(1)y=^-x-6；(2)—,(―,—)；(3)存在，A^(—2,2\/10),(—2,—2-710),(2>0),(—2,一~—)

【分析】(1)由。4=2,0c=6得/、C两点的坐标，把两点的坐标代入函数解析式中，得关是于反。的方

程组，解方程组即可得函数解析式；

（2）连接OE,设点E的坐标为（”,/-〃?-6）,由SABCE=SAOCE0OBE-S&OBC,可得关于机的二次

函数，从而可求得口5"的面积的最大值，即此时点E的坐标；

（3）分4c是菱形的边和对角线两种情况讨论即可.

【解析】(I)DOJ=2,0C=6,

匚4(-2,0),C(0,-6),

将/(-2,0)»C(0>-6),代入y=f+bx+e中,

4-2b+c=0

得

c=-6

解得：b=-1,c=-6,

抛物线得解析式为：y=x2-x-6.

（2）在函数-x-6中，令歹=0得:

x2-x-6=0,

解得：X]=-2>切=3,

B(3,0).

设点E(m,m2-m-6)>

因点E在第四象限，所以心0,加一〃?一6<0,

SABCE=SAOCE+S^OBE-SAOBC

=；x6/〃+Jx3(-m2+m+6)-93乂6

3,9

—m~+-m

22

-为凸+卫,

228

327

根据二次函数的图象及性质可知，当皿=彳时，DBCE的面积有最大值方,

2o

此时点E的坐标为（卞3亍21）.

(3)存在；点N坐标为(―2,2瓶)，(-2-2V10),(2,0),(-2,-y).

匚4(-2，0),C(0,-6),

□JC=722+62=25/10-

口若4c为菱形的边长，如图2,

则必口力。，且朋N=4c=2jnr

Nj(-2,2y/10)f^(-2,-2710),M(2,0).

若AC为菱形的对角线，如图3,

图3

则4M口。林，AN4=CM，

设M(-2,〃),

则-〃=方+(〃+6)2,

解得:n=­y.

综上所述，点N坐标为(―2,2>/iU),(―2,-2-x/iO),(2,0),(—2,—)

【点评】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求二次函数的解析式，面积的最值，菱形的存

在性问题，求三角形面积的最值，关键是运用割补的方法，对于菱形存在性问题，注意分类讨论.

5.<1)J-7X2-4；y-^-x-3；(2)证明见解析；(3)满足条件的点有《1l+V?,g-2],f14-.

42I2JI2)

【分析】(1)将4(4,0),B(0,-4)的坐标代入尸”x2+b,利用待定系数法得抛物线解析式，再将点E

(4,-1),C(0,-3)的坐标代入尸加壮〃可得问题的答案；

(2)设点尸0,；产-4),0<Z<4,如图，过点尸作P尸刀轴于点尸，从而得?RPD、PC、尸C的长度，

从而得到答案；

(3)方法一：设。P与比的交点为G,设尸□当点G在点尸上方时，根据三角形面积公式可

得答案；口当点G在点P下方时，根据三角形面积公式可得答案.

方法二：如图，分别过点P,E作PFLCE,轴，垂是为尸，H,PD交CE于点G,根据勾股定

理及面积法即可求出产〃=更，易证△P/BaCHE即可求出?G=4；得出过点〃与直线CE平行，且与直

52

线CE距离为4的直线有两条：

丁=51工-15或1丁=571-5,再分别与抛物线联立求解即可・

【解析】解：(1)将44,0),以0,-4)的坐标代入丁=这2+〃

\6a+b=0a=-

得4,

b=-4..

b=-4

匚抛物线的解析式为y=

设直线CE为¥=〃“+〃，将点七(4,-1),(7(0,-3)的坐标代入'=，m+〃得

1

4用+〃=-1m=—

'〃=-32,

n=-3

匚直线CE的解析式是y=；x-3；

(2)证明：设点0<r<4,如图，

过点P作尸尸_L)，轴于点尸，

则比=入FC=-r2-4+3=-t2-\,

44

PD=4--/2,

4

（3）解：方法一：设OP与EC的交点为G,设尸（乂;/一4|

匚如图，当点G在点尸上方时，

5APfcc=1x4x（3，-3〉（*-川=-*-1）2+|，

解得％=i+G,%="£,（负根舍去）,

如图，当点G在点尸下方时,

SE=：X4X[(9-4(*3)=1(X-1)2-1,

□^&PEC=1，

解得：鼻=1+出,%=1-出(负根舍去)

0y=(1+y/l)2—4=,即6+—2

方法二：如图，分别过点P,E作P/J_CE,即轴，垂是为尸，H,PD交CE千点G,

在中，EH=4,HC=2

□CE=ylEH2+HC2=2亚

□\p£C=1

U-CEPF=\

2t

即PF=叵,

5

OFFICE,PGA.EH,

△PFGSRHE,

PGEC华=述

「而=而，即巫4

5

解得尸G=g,

且与直线CE距离为坐的直线有两条:

过点尸与直线CE平行,

15-17

y-x--«gy=—x

22

12)

y=-x'-4

4L

依题意得।5解得：x=l±Jl(负根舍去)

y=­x—

22

0x=1+yfl,y=-2»

2

口A1+77,4-2

z

1.

y=-x2-4

；7解得X=1±V5,(负根舍去)

【点评】此题考查了二次函数综合，掌握待定系数法求解析式、由坐标得线段长度、相似三角形的判定与

性质是解决此题关键.

Ar2+lr+^(O<z<l)

1236vf

□S=，

—z2--/+-,(l</<4)

1233V)

【分析】（1）把点的坐标代入解析式，构造方程组求解即可；

（2）口根据5,代=25”依，得到尸。=尸8,过点P作x轴的垂线，可确定点尸的坐标，继而确定直线4P的

解析式，解由直线4P的解析式和二次函数的解析式组成的方程组即可得解；□先确定取得最小值的尸的坐

标为（1，2）,后根据平移的规律，结合图形面积的变化规律计算求解即可.

【解析】（1）口抛物线丁:⑪?+以+3经过（一1,0）和（3,0）两点，

f0=a-b+3

[0=9a+3b+3f

.,\a=—1

解得：.一

匚抛物线的解析式为产-寸+2x+3.

⑵匚S4FPC=2S4FPB,

PC=2PB.

即；BC=3PB,

过点P作PM///轴，交X轴于点M,

PMPB\

□==一.

COBC3

PM1

□----=—.

33

解得：PM=\.

同理：

DOM=OB-BM=3-\=2f

即P（2,l）.

设CP的解析式是丁=丘+，〃，

[0=-A+m

k=-

解得：;

〃？=­

3

33

联立得：—丁+2x+3=§x+§,

O

解得：%=§，々=T（舍）

(3)如图LCC(0,3),B(3,0),

匚OB=OC,

□08c=45°,

过点尸作尸。轴,垂足为。，

贝I」PQ=PBsi“45o=显PB,

2

DP吟PB的最小值即为DP+PQ的最小值，

根据垂线段最短，当。。口x轴时,OP+P。最小，此时Q,P,0三点一线,

□C(0,3),B(3,0),

设直线BC的解析式为y=nx+3,

□3〃+3=O,

匚〃=-I,

匚直线8C的解析式为-x+3,

CD(1,4),

匚P(I,2),

设直线AD的解析式为产Ax+,，

4=h+p

{0=-h+p

[h=2

解得：。

[P=2

□尸2什2,

设直线AP的解析式为y=qx+J\

(2=q+f

0=-。+厂

解得:R=I.

l/=1

ry=x+\,

如图1,当归SI时,

□J(-1,0),

□4(-1+/,0).

匚力。口4。，直线力。的解析式为尸2t+2,

设Aiy的解析式为y=2x+g,

匚0=-2+2，+g,

匚g=2・2f,

0的解析式为产2x+22,

设直线AD交歹轴于点&交直线BC于点

则E(0,2-2/),

匚33-2+2/=2什1,

根据题意，得[,=：：；”

[y=2x+2-2t

\+2t

□s“£V9；

/6

匚4(-1,0),

口4(4+£,0).

LAPJA!P,直线”的解析式为尸x+1,

设A'P的解析式为y=x+wt

no=-n-/+w>

□w=l-Z,

□AP的解析式为尸

图1

设直线A9交y轴于点G,交直线BC于点M

则GCO,1-r),

匚0G=1,04=1“，A:B=4-t,

□s/=gOGxO4="l

y=-X+3

根据题意，得

y=x+l-r*

2+/

X=-----

2

4T

y=----

2

□N（辞，号）,

□^AA'BN=yAr8xy=

/4N0"

故重叠部分的面积为：,^△COB-~（5加呼-SAVOG）

22

=9(1+2/尸(4-r)(1-r)

2642

5r15

——+-r+—

1236

如图2,当IV®时,

A(-1,0),

口A'(-1+30).

LADAD,直线4）的解析式为尸2x+2,

□AD的解析式为产2x+22,

设直线AD交直线BC于点F,

y=-x+3

根据题意，得

y=2x+2-2tr

x=-1-+--2--1

3

82/

y=-----

33

33)'

^AA-BF=yA'BxyF=—X(4-/)(^-^),

/235

LJ(-1,0),

(-1+/,0).

CAPAP,直线4尸的解析式为1+1,

□AP的解析式为1+1-Z,

y=-x+3

根据题意，得

y=x+\-t

2+t

x=-----

□2

4-1

y=~

「2+t4-f、

Rz

22

故重叠部分的面积为：5AA,BF-SAm

_>z八（82/（4-02

-5'（14）（门一下-

f24

-------1H—;

1233

5213，（0K/<1}

----/+-/+-

1236

□S

1224

—r-t+-,（l<r<4）,

1233

【点评】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，图像的交点坐标，一元二次方程的解法，图像的

平移，线段和的最值，图形的面积，熟练掌握方程组的求解，•元二次方程的解法，图形面积的分割求解

是解题的关犍.

’5-2布8>/10-81796

;（3）Q

7.（1）y=*+2*+3；（2）存在，6。,4）或5T*49

39,Q沔

【分析】⑴运用待定系数法将力(3,0),B(-1,0)代入尸小+bx+3,解方程组即可;

（2）分两种情况：LI当射线EP在CE的右侧时，□当射线EP在CE的左侧时，设OM=m,则CM=EM=3-m,

运用勾股定理求得出，再求出直线EM的解析式，联立直线EW的解析式和抛物线解析式求解即可；

（3）分两种情况：1当点。在x轴上方时,□当点。在x轴下方时，连接。。交x轴于点M过点力作4"口。。

于点M,过点8作8P于点尸，根据SA08C=25A04C,可得8P=24M,证明AM4M□□N8H运用相似

三角形性质可得点N的坐标，再求得直线CN的解析式，联立直线CN的解析式和抛物线解析式即可求得点

。的坐标.

【解析】解：（1）匚抛物线尸0?+加+3经过点人（3,0）,8（-1,0）两点

9。+38+3=0

a-b+3=0'

匚抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3

(2)匚抛物线交丁轴于点C,经过点4(30)

DOC=OA

□Z4CO=45°

U^OCE+ZACE=45°

□ZPEC+ZACE=45°

□ZOCE=ZP£C

匚当射线EP在CE的右侧时，

□OE是对称轴

□DE〃y轴

□Z0CE=4CED

匚点P与点。重合，

.7.y=-A-2+2x+3=-(x-l)2+4

匚。(1,4),即尸(1,4)；

□当射线在EP在CE的左侧时，

□ZOCE=ZPEC

UEM=CM

设OM="7,则CM=£M=3-〃7

在RtzXOME中，OM2+OE2=ME2

口祥+产=(3y

□?w=4j

44

L直线EM的解析式为y———x+—

□y=+2x+3

"中(舍)；5-2x/10

3

9

-上.3-T」5-27158M-81

口点P的坐标或6---,

\7

(3)口当点。在x轴上方时，如图2,延长CQ交x轴于点N,过点/作匚于点过点8作8P二CQ

于点P，

匚BP=2AM,

AM-\CQi，BPCQtf

AMBP,

NAMNBP,

□,-N--A=-A--M--=-\

NBBP2

匚NA=AB=4,

□N(7,0),

设直线CN的解析式为y=kx+c,

c=3

把C(0,3),N(7,0)代入，得:

7k+c=0

k,=——3

解得:7,

c=3

3

匚直线CN的解析式为尸-，户3,

3

2

U--x+3=-x+2x+3f

17

解得：x/=0（舍去），x^=--t

止*…317、96

当x=—时，y=—x---1~3=—,

1}7749

□当点Q在x轴下方时，如图3,连接C0交x轴于点M过点4作4M口。0于点〃，过点B作BPllCQ

于点尸，

□yCQ2・BP=2XICQ2*AM,

BP=2AM,

UAMCQ2，BPC02,

V.AMBP,

NAMNBP,

NAAM1

1.---=----=—，

NBBP2

NA=^NB,

口NA+NB=4,

4

\NA=一，

3

UN(|,0),

9

匚直线CN的解析式为尸Jx+3,

9

□--X+3=-JT+2X+3,

19

解得：x=o(舍去)或尸了，

也19919c96

当尸一时，y=——x—+3=---,

575525

匚。2­)；

综上所述,

【点评】本题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程和二元一次方程组，

三角形的面积，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性

质及相似三角形的判定和性质等相关知识，并灵活运用数形结合思想、方程思想及分类讨论思想是解题关

键.

8.(1)y=^+2x-3；(2)P点坐标为或(-1,6+1)；(3)M点坐标为(一~7，一而J或(一"彳，石J

【分析】(1)待定系数法求函数解析式；

(2)分点?位于E点下方和上方两种情况，过点尸作尸”口5。，连接8尸，利用三角形面积法及勾股定理列

方程求解；

SAH

(3)根据三角形面积公式求得产L=",然后利用平行线分线段成比例定理求得N点坐标，从而确定

直线CN的解析式，然后求直线与抛物线的交点坐标，从而求解，注意分类讨论

【解析】解：(I)将力(-3,0),3(1，°)，C(。,-3)代入解析式，得:

9a-3b+c=0a=\

■a+b+c=O,解得：<b=2

c=-3c=-3

I抛物线的解析式为y=x2+2x-3

（2）如图I,过点P作PMJBD,连接5P,由题意可知P£=P〃

y=x2+2x-3=（x+l）2-4

匚抛物线顶点。的坐标为（-1,-4）,E点坐标为（-1,0）

LDE=4,BE=2,在放U8DE中，BD=dBE。+D后=2石

□L5^DArU.=2-PDBE=2-BDPH

□当点尸在E点下方，设PE=PH=a,则PD=4-a

Sam）=3（4一a）x2=gx2>/5a,解得：a=布-T

匚尸点坐标为（71-石）

口当点P在E点上方，设PE=PH=b,贝l」PZ>4+6

SWD=；（4+b）x2=；x2回'解得：£>=75+1

匚P点坐标为（-1，6+1）

综上，尸点坐标为或（-1，b+1）

(3)［如图2,延长CM交x轴于点N,过点4作AH1CN,过点8作8。\CN

S^CM=^AHCMtSm=；CMBQ

S^ACM_A"

----------

SMCMBQ

又□S=2SdBCM

AH1

□---——

BQ2

□/”口CMBQJCN

UAH3BQ

ANAH1,s.

匚右7=由7=彳，即/为8N的中点

BNBQ2

DAN=AB=4,则N点坐标为（-7,0）

设直线CN的解析式为），=奴+如将C,N两点代入可得

（,1伍=一3

b=-3

《寺人V解得。3

-7k+b=0k=——

7

匚直线CN的解析式为y=~x-3

17

?=_3r=0”方

由此可得『-〒-，解得：P

=-3'[96

2

y=x+2x-31X=---

匚M点坐标为卜*

ANAH1

1_如图3,同理4HL8。，==?=；，此时8N+4N=/18=4

DNBQ2

445（5

□AN=w，则ON=3—Q=：,即N点坐标为一不0

◊-JJ\J

设直线CN的解析式为丫=皿+〃，将C,N两点代入可得

5八，解得9

m=——

35

□直线CN的解析式为产-3-3

19

9.

尸一片一3,解得：N=0

由此可得，

71="396

y=x2+2x-3

1796）_2996

综上，M点坐标为亍一再或