2024北京北师大实验中学高二(下)期中数学(教师版)

第1页/共1页2024北京北师大实验中学高二（下）期中数学班级____________姓名____________学号____________成绩____________考生须知：1.本试卷共4页,共三道大题,21道小题,答题卡共4页,满分150分,考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.3.试卷答案一律填写在答题卡上,在试卷上作答无效.4.在答题卡上,选择题须用铅笔将选中项涂黑涂满,其他试题用黑色字迹签字笔作答.一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知等差数列中,,则A.8 B.9 C.12 D.182.已知数列的前项和,则A.16 B.32 C.48 D.643.下列函数中,图像存在与轴平行的切线的是A. B. C. D.4.函数的导函数为A: B. C. D.5.已知均为等比数列,则下列各项中不一定为等比数列的是A. B. C. D.6.已知数列满足:.若,则A. B. C. D.7.已知为无穷等差数列,则“存在且,使得”是“存在且,使得”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.记,则A. B. C. D.9.已知函数,记,下列说法中正确的是A.在上单调递增 B.在上单调递减C.在上单调递增,在上单调递减D.在上单调递减,在上单调递增10.已知函数,下列说沖不正确的是A.若,则在上单调递增 B.若0为的极大值点,则C.的图像经过一个定点 D.若,则方程有三个不相等的实数根二、填空题(本大题共5小题,、每小题5分,共25分)11.已知等比数列中,,则的公比为___________.12.若函数在区间[1,4]上的平均变化率恰等于其在处的瞬时变化率,则___________;___________.13.设等差数列的公差为,前项和为,已知.(1)若,则___________;(2)若,则的最小值为___________.14.已知函数,则的极大值为___________;的单调递减区间为___________.15.设为无穷数列,记,其中为常数且.给出下列四个结论:①若,则为单调递增数列;②若,则为单调递减数列;③若,则对任意且均存在最大项;④若,则对任意且均存在最小项.其中所有正确结论的序号是____________.三、解答题(本大题共6小题,共85分)16.(本小题满分14分)已知函数.(I)求在处的切线方程;(II)求的单调区间和极值.17.(本小题满分13分)已知数列满足:,且对任意,都有.(I)直接写出的值;(II)猜想的通项公式,并用数学归纳法证明.18.(本小题满分15分)已知为等差数列,为等比数列,.(I)求和的通项公式;(II)求的前项和;(III)若对任意,有恒成立,求实数的最小值.19.(本小题满分13分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状,计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为,计划修建的公路为,如图所示.已知M,N为的两个端点,点到的距离分别为20千米和5千米,点到的距离分别为4千米和25千米,分别以所在的直线为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy.假设曲线符合函数（其中a,k为常数）模型.(I)求a,k的值；(II)设公路与曲线相切于点,点的横坐标为.①求公路所在直线的方程；②当为何值时,公路的长度最短?求如最短长度.20.(本小题满分15分)已知函数.(I)当时,求的零点;(II)讨论在[1,e]上的最大值;(III)是否存在实数,使得对任意,都有?若存在，求的取值范围;若不存在,说明理由.21.(本小题满分15分)若项数为的数列满足:,且存在,使得则称数列具有性质.(I)①若,写出所有具有性质的数列;②若,写出一个具有性质的数列;(II)若,数列具有性质,求的最大项的最小值;(III)已知数列均具有性质,且对任意,当时,都有.记集合,求中元素个数的最小值.

参考答案一、选择题（每小题4分,共40分)题号12345678910答案BCADAABCBD二、填空题（每小题5分,共25分)题号12345答案②③④三、解答题（共35分）16.解:(I)的定义域为.因此,在处的切线方程为:.化简得.(II),令,解得或3.当变化时,的变化情况如下表:-13+0-0+极大值极小值因此,的单调递增区间为;单调递减区间为.的极大值为,极小值为.17.解:(I).(II)猜想:.(*)下用数学归纳法证明:①当时,(*)成立.②假设时(*)成立,即:.则当时：故(*)对n=k+1也成立.由①②，对任意，(*)成立，即.18.解：(I)设的公差为的公比为.由题知:.解得:,则.解得:.因为各项均为正数,所以.(II)记的前项和为.(III)由题意，恒成立.记则当时，当时，因此因此的最小值为2.19.解:(I)由题意,,解得.(II)曲线.曲线在处的切线方程为,即.切线与坐标轴的交点为.公路的长度满足:.根据均值不等式,,当且仅当,即时取等.所以当时,公路的长度最短,最短长度为千米.20.解:的定义域为.(I)当时,,零点为.(II).令,则.在区间内,+0-极大值当（即）时,在上单调递减,.当(即)时,在上,单调递增,.当(即)时,在上单调递增,在上单调递减,.综上:(略)(III)由(II)知在上,.构造函数,由题意,应使..令,得.1-0+极小值所以.所以使的实数只有,即的取值范围是.21.解:(I)①或1,3,1或1,3,2；②A4:1,2,4,3；(或A4:1,3,4,3,A4:1,3,5,3)(II)当N=2024时,.由,累加得;①