福建省宁德市福鼎求新中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析

福建省宁德市福鼎求新中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义：关于的不等式的解集叫的邻域.已知的邻域为区间，其中分别为椭圆的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B.略2.等差数列，则数列的前9项之和等于（

）A．54 B．48 C．72 D．108参考答案：D略3.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合.当，且时，，则（

）A．

B．－1

C．1

D．参考答案：B4.在数列{an}中，若存在非零实数T，使得an+T=an(N∈n*)成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．若数列{bn}满足bn+1=|bn﹣bn﹣1|，且b1=1，b2=a（a≠0），则当数列{bn}的周期最小时，其前2017项的和为（）A．672 B．673 C．3024 D．1346参考答案：D【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】首先要弄清题目中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期情况分类讨论，从而将a值确定，进而将数列的前2017项和确定．【解答】解：若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列；若其最小周期为2，则有a3=a1，即|a﹣1|=1，a﹣1=1或﹣1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，…，由此可见，此时它并不是以2为周期的数列．综上所述，当数列{xn}的周期最小时，其最小周期是3，a=1，又2017=3×672+2，故此时该数列的前2017项和是672×（1+1+0）+2=1346．故选：D【点评】此题考查对新概念的理解，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．5.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（

）A．

3

B．

4

C.

5

D．6参考答案：C6.命题的否定是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：特称命题的否定是全称命题，并否定结论，所以应选A.考点：特称命题与全称命题.7.某企业生产A、B、C三种家电，经市场调查决定调整生产方案，计划本季度（按不超过480个工时计算）生产A、B、C三种家电共120台，其中A家电至少生产20台，已知生产A、B、C三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时，每台的产值分别为20、30、40千元，则按此方案生产，此季度最高产值为（）千元．A．3600 B．350 C．4800 D．480参考答案：A【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【分析】设本季度生产A家电x台、B家电y台，则生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元，由题意列出关于x，y的不等式组，再求出线性目标函数z=20x+30y+40（120﹣x﹣y）=4800﹣20x﹣10，由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设本季度生产A家电x台、B家电y台，则生产家电C：120﹣x﹣y台，总产值为z千元，家电名称ABC工时346产值（千元）203040则依题意得z=20x+30y+40（120﹣x﹣y）=4800﹣20x﹣10y，由题意得x，y满足，即，画出可行域如图所示．解方程组，得，即a（80，0）．做出直线l0：2x+y=0，平移l0过点A（80，0）时，目标函数有最大值，zmax=4800﹣20×80﹣10×0=3600（千元）．答：本季度生产A：80台，B：0台，C：40台，才能使产值最高，最高产值是3600千元．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1)参考答案：A9.已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是

()．参考答案：D略10.已知函数（其中），函数．下列关于函数的零点个数的判断，正确的是（A）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有2个零点；当a＝0时，有无数个零点（B）当a＞0时，有4个零点；当a＜0时，有3个零点；当a＝0时，有2个零点（C）当a＞0时，有2个零点；当a≤0时，有1个零点（D）当a≠0时，有2个零点；当a＝0时，有1个零点参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知菱形的一条对角线长为2，点满足，点为的中点，若，则

．参考答案：－712.已知，则

.参考答案：-4函数的导数为，所以，解得，所以，所以，所以。13.（不等式选讲选做题）设函数＞1），且的最小值为，若，则的取值范围

参考答案：14.数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，…，，…有如下运算和结论：①；②数列，，，，…是等比数列；③数列，，，，…的前n项和为；④若存在正整数，使，，则.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）参考答案：①③④【分析】①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列，，，，…是，1，，2，…，，，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算，即可判定④正确.【详解】①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以，故①正确.②数列，，，，…是，1，，2，…，，，由等差数列定义（常数）所以数列，，，，…是等差数列，故②不正确.③因为数列，，，，…是等差数列，所以由等差数列前项和公式可知：，故③正确.④由③知：，，，，，，是，1，，2，，.因为，所以存在，使，，且.故④正确.故答案为：①③④.【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题.

15.已知口袋里装有同样大小、同样质量的个小球，其中个白球、个黑球，则从口袋中任意摸出个球恰好是白黑的概率为

.（结果精确到）参考答案：16.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层

参考答案：817.已知x，y满足约束条件，则的最小值为__________参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和椭圆C2：=1，离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C2上一点，过点P作直线交椭圆C1于A、C两点，且P恰为弦AC的中点．求证：无论点P怎样变化，△AOC的面积为常数，并求出此常数．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率相同，且点（，1）在椭圆C1上，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C1的方程；（Ⅱ）分类讨论，AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立，再表示出△AOC的面积，代入化简，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题知，且即a2=4，b2=2，∴椭圆C1的方程为；…（Ⅱ）当直线AC的斜率不存在时，必有，此时|AC|=2，…当直线AC的斜率存在时，设其斜率为k、点P（x0，y0），则AC：y﹣y0=k（x﹣x0）与椭圆C1联立，得，设A（x1，y1），C（x2，y2），则，即x0=﹣2ky0…又，∴…==综上，无论P怎样变化，△AOC的面积为常数．…【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定△AOC的面积，正确代入计算是难点．19.（本小题满分12分）如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B、C，D分别为弧AE的四等分点。（Ⅰ）在弧AE上随机取一点P，求满足在上的投影大于的概率；参考答案：则

………………3分所以使得在上的射影大于的概率………………

5分20.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，由此能求出P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则P（A）=1﹣．（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，左手所取的两球颜色相同的概率为=，右手所取的两球颜色相同的概率为=．P（X=0）=（1﹣）（1﹣）==；P（X=1）==；P（X=2）==．∴X的分布列为：X012PEX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．21.（坐标系与参数方程）求经过极点三点的圆的极坐标方程.参考答案：略22.如图，已知椭圆的上顶点为,离心率为，若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案：（1）（2）略

解析：解：（1）解：∵椭圆C：+y2=1（a＞1）的上顶点为A，离心率为，∴=，解得a2=3，∴椭圆C的方程为．（2）解：由=0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1），直线AP的斜率为1，得