福建省宁德市福安第一中学2020年高二数学理期末试卷含解析

福建省宁德市福安第一中学2020年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若对恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C2.函数有()A．极大值5，极小值－27

B．极大值5，无极小值C．极大值5，极小值－11

D．极小值－27，无极大值参考答案：B3.函数，则（

）A、

B、3

C、1

D、命题意图：基础题。考核常数的导数为零。参考答案：C4.已知P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小值是（）A． B． C．2 D．﹣1参考答案：B【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】由题意可知：点P到直线2x﹣y+3=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1，则点P到直线l：2x﹣y+3=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨+1，当A，P和F共线时，点P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小，利用点到直线的距离公式，即可求得答案．【解答】解：由抛物线的方程，焦点F（1，0），准线方程=﹣1，根据题意作图如右图，点P到直线2x﹣y+3=0的距离为丨PA丨，点P到x=﹣2的距离为丨PD丨=丨PB丨+1；而由抛物线的定义知：丨PB丨=丨PF丨，故点P到直线l：2x﹣y+3=0和x=﹣2的距离之和为丨PF丨+丨PA丨+1，而点F（1，0），到直线l：2x﹣y+3=0的距离为=，P到直线l：2x﹣y+3=0和直线x=﹣2的距离之和的最小值+1，故选B．5.抛物线y2=2x的内接△ABC的三条边所在直线与抛物线x2=2y均相切，设A，B两点的纵坐标分别是a，b，则C点的纵坐标为(

) A．a+b B．﹣a﹣b C．2a+2b D．﹣2a﹣2b参考答案：B考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意分别设出A（），B（），C（）．然后由两点坐标分别求得三角形三边所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，和抛物线方程联立，由判别式等于0得到a，b，c所满足的条件，把c用含有a，b的代数式表示得答案．解答： 解：如图：设A（），B（），C（）．则，∴AB所在直线方程为，即．联立，得：（b+a）x2﹣4x﹣2ab=0．则△=（﹣4）2+8ab（a+b）=0，即2+ab（a+b）=0．同理可得：2+ac（a+c）=0，2+bc（b+c）=0．两式作差得：c=﹣a﹣b．故选：B．点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线和抛物线相切的条件，考查了运算能力，是中档题．6.已知向量＝(1,2)，＝(x，－4)，若∥，则(

)A．4

B．－4 C．2 D．参考答案：D7.已知点A,B是抛物线上原点以外的两动点,若,则直线AB交抛物线的对称轴于定点N的坐标为 (

)A.

B.

C.

D.参考答案：C8.下列命题中正确的是（）A．的最小值是2B．的最小值是2C．的最大值是D．的最小值是参考答案：D【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】根据基本不等式的使用范围：正数判断A不对，利用等号成立的条件判断B不对，根据判断C正确、D不对．【解答】解：A、当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣2，故A不对；B、∵=≥2，当且仅当时取等号，此时无解，故最小值取不到2，故B不对；C、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，∴，故C正确；D、、∵x＞0，∴，当且仅当时等号成立，则，故D不对；故选D．【点评】本题考查了基本不等式的应用，利用基本不等式求函数的最值，注意“一正、二定、三相等”的验证．9.观察下面的几何体，哪些是棱柱（）A．①③⑤ B．①⑥ C．①③⑥ D．③④⑥参考答案：A【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；规律型；空间位置关系与距离．【分析】直接利用棱柱的定义判断即可．【解答】解：由棱柱的定义可知：①③⑤满足棱柱的定义．故选：A．【点评】本题考查棱柱的判断，定义的应用，是基础题．10.已知不等式x2－logmx－<0在x∈(0,)时恒成立，则m的取值范围是（

）A．0<m<1

B．≤m<1

C．m>1 D．0<m<

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是

.参考答案：3

略12.求直线x﹣y=2被圆x2+y2=4截得的弦长为

．参考答案：2【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】求出圆心到直线的距离，利用半径、半弦长，弦心距满足勾股定理，求出半弦长，即可求出结果．【解答】解：弦心距为：=；半径为：2，半弦长为：，弦长AB为：2故答案为：2．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查计算能力．13.1函数的导数为_________________；参考答案：略14.已知二次函数的导函数为，，f(x)与x轴恰有一个交点，则的最小值为_______.参考答案：215.焦点在直线上，且顶点在原点的抛物线标准方程为

_____

___。参考答案：x2=-12y或y2=16x16.已知双曲线，F1、F2分别为它的左、右焦点，P为双曲线上一点，设|PF1|=7，则|PF2|的值为_

__参考答案：1317.以椭圆的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点（1,2）是函数的图象上一点，数列的前n项和.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前项和.

参考答案：解：（Ⅰ）把点（1,2）代入函数，得.

……………2分当时，

………………3分当时，经验证可知时，也适合上式，.

………

6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，=,所以.

…12分

略19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，.（1）试求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想.参考答案：（1），，，，猜想；（2）见解析【分析】（1）由不完全归纳法可得：；（2）利用数学归纳法，先假设当时，猜测正确，再证明当时，命题成立即可.【详解】（1）∵，.∴，，，∴；，，∴；，，∴；∴，，，猜测：.（2）用数学归纳法证明如下：①当时，猜测显然正确.②假设当时，猜测正确，即则当时，由∴.这就是说，当时，猜测也是正确的.由①、②知，对一切都有.【点睛】本题考查了不完全归纳法及数学归纳法，属中档题.20.（12分）（2013?鹰潭校级模拟）小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖），小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．（1）求小王过第一关但未过第二关的概率；（2）用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

专题：概率与统计．分析：（1）利用小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立，即可求小王过第一关但未过第二关的概率；（2）确定X的取值，求出相应的概率，即可得到X的概率分布列与X的数学期望．解答：解：（1）小王过第一关但未过第二关的概率P1，则P1==；（2）x的取值为0，1000，3000，6000，则P（X=0）==；P（X=1000）==；P（X=3000）==；P（X=6000）==∴X的概率分布列为

X0100030006000

P

∴EX=0×+1000×+3000×+6000×=2160．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．21.已知等差数列{an}各项均为整数，其公差d＞0，a3=4，且a1，a3，ak（k＞3）成等比数列{bn}的前三项．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）将数列{an}与{bn}的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{cn}，数列{cn}的前n项和Sn．求S30．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a1，a3，ak（k＞3）成等比数列可知16=（4﹣2d）[4+d（k﹣3）]，化简可知d=2﹣，利用d∈Z可知d=1，进而计算可得结论；（2）利用所求值为数列{an}的前35项和减去数列{bn}的前5项和，进而计算可得结论．【解答】解：（1）依题意，=a1ak，∴16=（4﹣2d）[4+d（k﹣3）]，整理得：d=2﹣，又∵d∈Z，∴k=7或k=1（舍），即d=1，∴an=a3+（n﹣3）d=n+1，又∵等比数列{bn}的公比q==，∴bn=2n；（2）令数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn，由（1）可知a1=b1，a3=b2，a7=b3，a15=b4，a31=b5，则S30=A35﹣B5=603．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22.数列的前项和为，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设求数列的前项和．参考答案：解：（Ⅰ）当时，，∴

------------------------2分 当时， ∴ ∴