2024-2025学年四川省眉山市眉山中学高二（上）期末数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省眉山中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+2y−1=0的一个方向向量是(

)A.(2,−3) B.(2,3) C.(−3,2) D.(3,2)2.M是双曲线x24−y212=1上一点，点F1A.9或1 B.1 C.9 D.9或23.已知点A(a,−3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,−1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是(

)A.−2，3 B.−1，2 C.1，3 D.−2，24.在不超过9的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为(

)A.14 B.13 C.125.已知事件A，B互斥，P(A∪B)=56，且P(A)=2P(B)，则P(BA.59 B.49 C.5186.已知点A(−2,0)，B(2,0)，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，若k2−k1=1，则点P的轨迹为不包含A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线7.如图，已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，A.6

B.3

C.28.已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左右焦点，且|FA.1+222

B.23−1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等.都能体现团队协作、集体智慧的强大.假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目的概率为P1=0.8.同时，有由n个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是0.4.如果这n个人组成的团队解决该项目的概率为P2，且P2≥P1，则nA.3 B.4 C.5 D.610.设双曲线的渐近线方程为y=±12x，则该双曲线的离心率e可以为A.52 B.255 11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为A.二面角

D−AC−D1

的平面角的正切值为

2

B.三棱锥

B1−ACD1

体积为

26

C.以点

D

为球心作一个半径为

233

的球，则该球被平面

ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，P为抛物线C上一点.若|PF|=20，则点P的横坐标为______．13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为______．14.已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1⊥PF2，若C1和四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．

(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；

(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；

(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．16.(本小题12分)

已知圆C：(x−1)2+y2=4．

(1)若直线l经过点A(−1,3)，且与圆C相切，求直线l的方程；

(2)若圆C1：x17.(本小题12分)

如图，在三棱锥P−ABC中，AC=4，BC=2，AC⊥BC，PA=PB=PC，M，E，F分别是AB，PA，PB的中点．

(1)求证：PM⊥平面ABC；

(2)若四面体BCEF的体积为1，求|PM|；

(3)若CD=λCP(0<λ<1)，求直线AD与平面18.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，短轴长为23，且经过点(1,32).过左焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，MN分别为AB，DE的中点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)证明：直线

参考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.D

6.D

7.A

8.D

9.BCD

10.AC

11.ACD

12.18

13.142514.(15.解：(1)第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，

分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1、B1；

这两个事件是相互独立事件，

设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，

则P(E)=P(A1⋅B1−)=0.5×0.4=0.2．

(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A、B、C，

则P(A)=0.5×0.6=0.3，

P(B)=0.6×0.5=0.3，

P(C)=0.4×0.5=0.2．

(3)设F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，

16.解：(1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=−1，与圆C相切，符合题意；

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y−3=k(x+1)，即kx−y+k+3=0，

则|2k+3|k2+1=2，解得k=−512，所以直线l的方程为5x+12y−31=0．

综上，直线l的方程为x=−1或5x+12y−31=0．

(2)圆C1的方程可化为(x−m)2+(y−1)2=9．

若圆C1与圆C外切，则(m−1)2+1=517.解：(1)证明：∵PA=PB=PC.AB的中点为M，则PM⊥AB．

∵CA⊥CB．

∴AM=CM，则△PAM≌△PCM，

∴∠PMA=∠PMC=90°，即PM⊥MC．

∵PM⊥AB，AB∩MC=M，AB⊂平面ABC，MC⊂平面ABC，

∴PM⊥平面ABC．

(2)∵VC−BEF=14VC−PAB=14VP−ABC=1，∴VP−ABC=4．

∵S△ABC=12×4×2=4，

∴VP−ABC=13×S△ABC×PM=13×4×PM=4，

解得PM=3．

∴若四面体BCEF的体积为1，则|PM|=3；

(3)过C作z轴垂直平面ABC，以CA，CB方向分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，P(2,1,3)，CD=λCP=λ(2,1,3)(0<λ<1)，

∴D(2λ,λ,3λ)，AD=(2λ−4,λ,3λ)，

BP=(2,−1,3),CB=(0,2,0)，

设平面PBC法向量为m=(x,y,z)，

由18.解：(1)因为椭圆C的短轴长为23，且经过点(1,32)，

所以2b=231a2+94b2=1，

解得b=3a=2，

则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；

(2)证明：易知直线l斜率存在且不为0，

设直线AB的方程为x=my−1，

联立x=my−1x24+