2024-2025学年广东省汕头市澄海区高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省汕头市澄海区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−2<x<2}，N={−1,0,1,2,3}，则M∩N=(

)A.{−1,0,1} B.{−1,0,1,2} C.{−1,0} D.{0,1}2.若z−3i=3+i，则|z|=(

)A.3 B.13 C.5 D.3.等轴双曲线C的中心在原点，且一个焦点为(−2,0)，则它的实轴长为(

)A.2 B.2 C.4 D.4.已知直线l的一个方向向量为m=(2,1,−4)，平面α的一个法向量为n=(3,2,t)，若l/​/α，则t=(

)A.1 B.2 C.3 D.45.已知f(x)=lnx,x≥1ex,x<1，则f(x)<1A.(−∞,0)∪[1，e) B.(−∞,0)∪[1，+∞)

C.(0,e) D.(0,1)6.已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的渐近线与圆A.3 B.33 C.17.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE⋅AF的值为(

)A.1 B.12 C.14 8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点M，N关于直线x−y−1=0对称A.(5,4) B.(4,3) C.(3,2) D.(2,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间中四点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，D(1,1,1)，则(

)A.|AB|=3 B.AC⊥BD C.AB10.已知圆O1：x2+(y−1)2=4A.点A在圆外

B.点A(2,0)是直线2x+my−4=0上的定点

C.已知点B(1,0)，则过点B作圆的最短弦长为22

D.过点A作圆O1：x2+(y−1)11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，点M为CCA.AM在AB方向上的投影向量的长度为2

B.满足MP/​/平面BDA1的点P的轨迹长度为2

C.满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为22

D.以点B为球心，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若tanα=14，tan(α+β)=13，则13.写出一个与直线l1：x=−4，l2：x=2，l3：y=214.已知抛物线C：y2=4x，则C的焦点坐标为______；若过C上一动点P作圆M：(x−4)2+y2=r2(r>0)的两条切线，切点分别为A，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

直线l经过两直线l1：3x+4y−6=0和l2：2x+y+1=0的交点．

(1)若直线l与直线3x+y−1=0平行，求直线l的方程；

(2)若直线l与直线l2垂直，求直线l16.(本小题15分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值及样本成绩的第75百分位数；

(2)求样本成绩的众数和平均数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z−和方差s2．17.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥面ABCD，M是PD的中点．

(1)求证：AM⊥平面PCD；

(2)求BM与平面PCD所成角的正弦值．18.(本小题17分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=33atanC．

(1)求角C；

(2)若b=4a，△ABC的面积为419.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3)，一条渐近线方程为3x−y=0．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若点P为双曲线左支上一点，A(t,0)(t>0)，求|PA|的最小值；

(3)过点F(2,0)的直线与双曲线参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.A

6.A

7.C

8.C

9.BD

10.ABC

11.AD

12.11313.(x+1)2+(y+114.(1,0)

315.解：(1)由题意联立2x+y+1=03x+4y−6=0，解得x=−2y=3，

即直线l过点(−2,3)，

设与直线3x+y−1=0平行的直线l的方程为3x+y+c=0，c≠−1，

将点(−2,3)代入可得3×(−2)+3+c=0，解得c=3，

所以直线l的方程为：3x+y+3=0；

(2)由直线l2：2x+y+1=0，由题意设直线l的方程为x−2y+m=0，

将点(−2,3)代入可得：−2−2×3+m=0，可得m=8，

即直线l的方程为x−2y+8=0，

令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=−8，

即直线l在x，y轴上的交点分别为(−8,0)，(0,4)，

所以|AB|=64+16=45，又|OA|=8，|OB|=416.解：(1)根据题意可得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.030；

因为前四组的频率和为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，

前五组的频率和为0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9，

显然第75百分位数在(80,90)内，

所以第75百分位数为80+0.75−0.650.025=84；

(2)由70+802=75，得样本成绩的众数为75；

成绩落在[40,70)内的频率为0.05+0.1+0.2=0.35，

成绩落在[40,80)内的频率为0.05+0.1+0.2+0.3=0.65，

故中位数在[70,80)内，由70+0.5−0.350.65−0.35×10=75，得样本成绩的中位数为75，

由45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74．

得样本成绩的平均数为74；

(3)由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

17.解：(1)证明：由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

底面ABCD是边长为2的正方形，则CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，

可知CD⊥面PAD，AM⊂平面PAD，

所以CD⊥AM，因为△PAD为正三角形，M为中点，可得AM⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，

所以AM⊥平面PCD；

(2)取AD的中点为O，连接PO，侧面PAD是正三角形，则PO⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，

可知PO⊥平面ABCD，

设BC中点为N，连接ON，以O为坐标原点，以OA，ON，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，

则D(−1,0,0)，P(0,0,3)，C(−1,2,0)，M(−12,0,32)，

DC=(0,2,0)，DP=(1,0,3)，BM=(−32,−2,32)

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DC=2y=0n⋅18.解：(1)因为bcosC+ccosB=33atanC，

所以sinBcosC+sinCcosB=33sinAtanC，

所以sin(B+C)=33sinAtanC，

因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，

所以sinA=33sinAtanC，

因为A∈(0,π)，所以sinA≠0，

所以tanC=3，

因为C∈(0,π)，所以C=π3；

(2)因为12absinC=43，所以ab=16，

又b=4a，所以a=2，b=8，

所以c2=a2+b2−2abcosC=4+64−2×2×8×1219.解：(1)因为双曲线C过点(2,3)，一条渐近线方程为3x−y