北京数学文科数学试卷

北京数学文科数学试卷一、选择题

1.下列不属于高中数学课程内容的是：

A.函数与方程

B.三角函数

C.立体几何

D.概率与统计

2.在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于原点的对称点为：

A.(-a,b)

B.(a,-b)

C.(-a,-b)

D.(a,b)

3.若等差数列{an}中，a1=1，d=2，则第10项an等于：

A.19

B.20

C.21

D.22

4.在等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，则第5项an等于：

A.16

B.32

C.64

D.128

5.已知函数f(x)=x^2-4x+4，则函数f(x)的对称轴为：

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

6.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为：

A.60°

B.75°

C.90°

D.105°

7.已知平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则线段AB的中点坐标为：

A.(1,2)

B.(1,3)

C.(2,1)

D.(2,2)

8.在函数y=x^3-3x^2+4x-4中，函数的极值点为：

A.x=1

B.x=2

C.x=3

D.x=4

9.在平面直角坐标系中，若点P到直线y=2x+1的距离为3，则点P的坐标为：

A.(2,3)

B.(3,2)

C.(-2,-3)

D.(-3,-2)

10.在等差数列{an}中，a1=1，公差d=-2，则数列{an}的前n项和Sn等于：

A.n^2-2n

B.n^2-n

C.n^2+n

D.n^2+2n

二、判断题

1.在解析几何中，点到直线的距离公式为\(d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，其中\(Ax+By+C=0\)是直线的一般方程。（）

2.在直角坐标系中，两条直线\(y=mx+c\)和\(y=mx+c'\)平行当且仅当它们的斜率\(m\)相等，且截距\(c\)和\(c'\)不相等。（）

3.若函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)的图像开口向上，则其顶点坐标为\((-b/2a,c-b^2/4a)\)。（）

4.在平面直角坐标系中，若两条直线\(y=mx+c\)和\(y=mx+c'\)相交，则它们的斜率\(m\)必须不相等。（）

5.在等比数列中，若首项\(a_1\)和公比\(q\)都大于0，则该数列是递增的。（）

三、填空题

1.在直角坐标系中，点\(A(3,4)\)关于\(y\)轴的对称点坐标为\(\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_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四、简答题

1.简述函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像特征，并说明如何通过\(a,b,c\)的值来判断图像的开口方向、顶点坐标和对称轴。

2.解释等差数列和等比数列的定义，并给出它们的前\(n\)项和的通项公式。

3.说明在平面直角坐标系中，如何利用点到直线的距离公式\(d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)来求解一个点到给定直线的距离。

4.简要描述三角函数的基本性质，包括周期性、奇偶性和在特定象限内的正负性。

5.阐述解析几何中，如何通过解析法证明两条直线平行或垂直。请给出相应的条件和步骤。

五、计算题

1.计算函数\(f(x)=2x^2-4x+1\)在\(x=3\)处的导数值。

2.已知等差数列{an}的第5项\(a_5=15\)，公差\(d=3\)，求该数列的首项\(a_1\)。

3.在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(-1,1)，计算线段AB的长度。

4.已知等比数列{an}的第4项\(a_4=16\)，公比\(q=2\)，求该数列的首项\(a_1\)。

5.解下列方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=7\\

4x-y=1

\end{cases}

\]

六、案例分析题

1.案例背景：

某学校组织了一次数学竞赛，共有50名学生参加。竞赛成绩呈正态分布，平均分为70分，标准差为10分。请根据以下信息，分析并回答问题：

（1）求竞赛成绩在60分以下的学生人数。

（2）求竞赛成绩在80分以上的学生人数。

2.案例背景：

某班级的学生在一次数学测验中，成绩分布如下：90分以上5人，80-89分10人，70-79分15人，60-69分20人，60分以下5人。请根据以下信息，分析并回答问题：

（1）计算该班级的平均成绩。

（2）计算该班级的成绩标准差。

七、应用题

1.应用题：

某工厂生产一批产品，每件产品的成本为50元。为了促销，工厂决定在每件产品上增加10元的广告费用，但预计销售量将减少10%。如果工厂希望利润保持不变，那么售价应提高多少百分比？

2.应用题：

一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米和4米。如果要用铁皮包裹这个长方体，至少需要多少平方米的铁皮？

3.应用题：

某商店在促销活动中，将一台电视机的价格降低了20%。如果顾客在促销期间购买，需要支付多少元？

4.应用题：

一个班级有40名学生，其中男生占40%，女生占60%。如果从该班级中随机抽取3名学生参加比赛，计算以下概率：

（1）恰好抽取到1名男生的概率。

（2）至少抽取到2名女生的概率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A

8.A

9.B

10.A

二、判断题答案：

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

三、填空题答案：

1.(-3,4)

2.\(\frac{3}{2}\)

3.\(\frac{1}{2}\)

4.\(\frac{3}{4}\)

5.\(\frac{1}{2}\)

四、简答题答案：

1.函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像特征包括：开口方向（\(a>0\)时开口向上，\(a<0\)时开口向下），顶点坐标（\((-b/2a,c-b^2/4a)\)），对称轴（\(x=-b/2a\)）。

2.等差数列{an}的定义是：每一项与它前一项的差是一个常数，即公差d。等差数列的前n项和的通项公式为\(S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)\)。

3.点到直线的距离公式为\(d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，其中\(Ax+By+C=0\)是直线的一般方程，\(A,B,C\)是直线的系数。

4.三角函数的基本性质包括：周期性（正弦和余弦函数的周期为\(2\pi\)，正切和余切函数的周期为\(\pi\)），奇偶性（正弦和余弦函数是偶函数，正切和余切函数是奇函数），以及在特定象限内的正负性（第一象限均为正，第二象限余弦和正切为负，第三象限均为负，第四象限正弦和余切为负）。

5.解析几何中，两条直线\(y=mx+c\)和\(y=mx+c'\)平行当且仅当它们的斜率\(m\)相等，即\(m_1=m_2\)。两条直线垂直当且仅当它们的斜率乘积为\(-1\)，即\(m_1\cdotm_2=-1\)。

五、计算题答案：

1.\(f'(3)=4\cdot3-4=8\)

2.\(a_1=a_5-4d=15-4