2025年外研版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高二数学上册月考试卷613考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是（）2、过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A.条B.条C.条D.条3、已知O是坐标原点，则等于A.B.C.D.4、函数的图象大致是（）.5、下列命题：（1）若“则”的逆命题；（2）“全等三角形面积相等”的否命题；（3）“若则的解集为”的逆否命题；（4）“若为有理数，则为无理数”.其中正确的命题是（）A.（3）（4）B.（1）（3）C.（1）（2）D.（2）（4）6、在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于()A.第一象限B.第四象限C.第三象限D.第二象限7、否定“自然数m，n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为（）A.m，n，k都是奇数B.m，n，k都是偶数C.m，n，k中至少有两个偶数D.m，n，k都是偶数或至少有两个奇数8、下列各点中与（2，）不表示极坐标系中同一个点的是（）A.（2，-π）B.（2，π）C.（2，π）D.（2，π）评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、已知函数对于下列命题：

①函数f（x）的最小值是0；

②函数f（x）在R上是单调递减函数；

③若f（x）＞1；则x＜-1；

④若函数y=f（x）-a有三个零点；则a的取值范围是0＜a＜1；

⑤函数y=|f（x）|关于直线x=1对称．

其中正确命题的序号是____．（填上你认为所有正确命题的序号）．10、规定运算则=____．11、Rt△ABC的三个顶点在给定的抛物线y2=2px（p＞0）上，斜边AB平行于y轴且|AB|＞4p，则AB边上的高|CD|=____．12、【题文】若且则的最小值为____13、【题文】在中，已知为它的三边，且三角形的面积为则角C=____14、【题文】sin15°cos75°+cos15°sin105°=_________15、【题文】设（），若△的内角满足

则____________．16、矩形ABCD中；AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点，将△ADE沿DE折起，点A，F折起后分别为点A′，F′，得到四棱锥A′-BCDE．给出下列几个结论：

①A′；B，C，F′四点共面；

②EF'∥平面A′BC；

③若平面A′DE⊥平面BCDE；则CE⊥A′D；

④四棱锥A′-BCDE体积的最大值为．

其中正确的是______（填上所有正确的序号）．17、200

辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60]

的汽车大约有______辆.

评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共10分)25、如图；正八面体P-ABCD-Q由两个棱长都为a的正四棱锥拼接而成．

（Ⅰ）求PQ的长；

（Ⅱ）证明：四边形PAQC是正方形；

（Ⅲ）求三棱锥A-PBC的体积．评卷人得分五、计算题(共4题，共36分)26、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．27、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。28、已知a为实数，求导数29、解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．评卷人得分六、综合题(共3题，共15分)30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．32、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】试题分析：由可排除B、D，又所以是偶函数，故的图象关于y轴对称，排除C，故选A．考点：函数的图象．【解析】【答案】A2、C【分析】【解析】试题分析：过点斜率不存在的直线为满足与只有一个公共点，当斜率存在时，设直线为与联立整理得当时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点，当时由可得值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条考点：直线与抛物线的位置关系【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】试题分析：考点：向量加法的坐标运算及向量的模【解析】【答案】A4、B【分析】解;因为函数关于直线x=1对称，因此排除D，A，然后看选项C中，由于当x>1时，单调递增，因此排除C，只能选B【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】（1）的逆命题是“若则”，易知是假命题，因为当时不成立；（2）的否命题是“若两个三角形不全等，则这两三角形面积不相等”，易知是假命题；命题（3）成立的条件是或解得原命题与逆否命题等价，所以（3）正确；（4）若为有理数，则必为无理数，故为无理数，则（4）正确；所以答案选D.6、D【分析】【分析】所以对应的点位于第二象限.选D。

【点评】复数是一个常考的考点，但一般只考查复数的运算，难度较低.7、D【分析】解：由于命题：“自然数m；n，k中恰有一个奇数”的否定为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”；

故否定“自然数m；n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”；

故选：D．

求得命题：“自然数m；n，k中恰有一个奇数”的否定，即可得出结论．

本题主要考查反证法，求一个命题的否定，属于基础题．【解析】【答案】D8、C【分析】解：与极坐标（2，）相同的点可以表示为（2，+2kπ）（k∈Z），只有（2，π）不适合．

故选：C．

与极坐标（2，）相同的点可以表示为（2，+2kπ）（k∈Z）；即可判断出．

本题考查了极坐标的性质，属于基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】

由于函数

则当x≤0时，图象是由下移1个单位得到的；

当x＞0时；图象是开口向下，对称轴为x=1且最大值为1的二次函数图象．如图示。

由图知；显然①②为假命题；

③由于x＞0时，y=-x2+2x≤1，故f（x）＞1，即是解得x＜-1，故③对；

④由于函数y=f（x）-a有三个零点，即是f（x）=a有三个根，故需使a满足

由图知，f（x）极小值=0，f（x）极大值=1；故实数a的范围是0＜a＜1；

⑤由于函数显然函数y=|f（x）|的图象不为轴对称图形，故⑤为假命题．

故答案为③④．

【解析】【答案】①由于x＞0时，y=-x2+2x为开口向下的二次函数；故①错；

②由于x＞0时，y=-x2+2x在（0；1）上递增，在（1，+∞）上递减，故②错；

③由于x＞0时，y=-x2+2x≤1，故f（x）＞1，即是解出即可判断③的对错；

④由于函数y=f（x）-a有三个零点；即是f（x）=a有三个根，故需使a在函数函数y=f（x）的极大值与极小值之间即可；

⑤由于函数显然函数y=|f（x）|的图象不为轴对称图形．

10、略

【分析】

根据题目的新规定知，=1×2-（-i）i=2+i2=2-1=1．

故答案为：1．

【解析】【答案】根据新运算可知该运算式表示了两对角相乘的差，注意a、b；c、d的位置．再利用复数的运算法则计算即可．

11、略

【分析】

由题意可得：A，B，C均在抛物线y2=2px（p＞0）上；并且斜边AB平行于y轴；

所以A；B两点关于x轴对称；

设斜边AB交y轴于点E，并且设A（b），B（-b），C（a），E（0）；

所以斜边上的高|CD|=-=．

因为△ABC是直角三角形；由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半；

所以|CE|=b；

又由两点之间的距离公式可得：|CE|=

所以=b，平方整理可得：

所以得到即|CD|=2p．

故答案为：2p．

【解析】【答案】结合抛物线的方程与性质设出A；B，C，E的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：因为且那么当时等号成立，故可知最小值为

考点：均值不等式。

点评：解决的关键是根据和定则积有最大值来求解，属于基础题。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意可知三角形的面积为又三角形的面积可以写成所以

考点：本小题主要考查正弦定理；余弦定理和三角形面积公式的应用.

点评：正弦定理、余弦定理及其推理是经常考查的内容，要牢固掌握，灵活应用.【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin（180°-75°）=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin（15°+75°）=sin90°=1

考点：两角和与差的正弦函数．【解析】【答案】115、略

【分析】【解析】

试题分析：由诱导公式可得即

即所以

考点：三角函数的周期性.【解析】【答案】16、略

【分析】解：由题意知，矩形ABCD折叠后的图由图可知，F'点不在平面A'BC上，因此四点不共面，①说法错误；去A'C中点为G，连接F'G，GB，F'E如图所以F'G为三角形A'DC的中位线，∵DC=2EB=2F'G∴F'G平行且等于EB，四边形F'EBG是平行四边形，∴EF'∥GB，GB⊂面A'BC，②正确；∵AB=2AD，∴DE⊥CE，DE为垂线，由面面垂直结论，CE⊥面A'DE，③正确；当面A'DE旋转到与底面垂直时体积最大，为2．

故答案为：②③．

根据折叠前后图形的特点逐个分析即可．

该题主要考察了空间四棱锥线与面的位置关系，以及线面平行，面面垂直定理的应用，涉及计算，属于易错题．【解析】②③17、略

【分析】解：由已知可得样本容量为200

又隆脽

数据落在区间的频率为0.03隆脕10=0.3

隆脿

时速在[50,60]

的汽车大约有200隆脕0.3=60

故答案为60

由已知中的频率分布直方图为200

辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图；我们可得到样本容量，再由图中分析出时速在[50,60]

的频率，即可得到该组数据的频数，进而得到答案．

本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据已知中的频率分布直方图结合频率=

矩形高隆脕

组距计算各组的频率是解答此类问题的关键．【解析】60

三、作图题(共8题，共16分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共10分)25、略

【分析】

（Ⅰ）连结PQ；交平面ABCD于O，取BC的中点E，连结PE；OE，利用勾股定理能求出PQ的长．

（Ⅱ）连结AC；推导出PA=AQ=QC=CP，且四边形PAQC是矩形，由此能证明四边形PAQC是正方形．

（Ⅲ）三棱锥A-PBC的体积VA-PBC=VP-ABC；由此能求出结果．

本题考查线段长的求法，考查四边形是正方形的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【解析】解：（Ⅰ）连结PQ，交平面ABCD于O，

则O是正方形ABCD的中心；

取BC的中点E；连结PE；OE；

在直角△POE中，∵OE=AB=PE=a；

∴PO==

∴PQ=2PO=．

证明：（Ⅱ）连结AC；∵PA=AQ=QC=CP；

∴四边形PAQC是菱形；

∵AC=a=PQ；

∴四边形PAQC是矩形；

∴四边形PAQC是正方形．

解：（Ⅲ）三棱锥A-PBC的体积：

VA-PBC=VP-ABC===．五、计算题(共4题，共36分)26、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．27、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。28、解：【分析】【分析】由原式得∴29、解：不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0；

因式分解得：（ax﹣2）（x﹣2）＞0；

若a=0；不等式化为﹣2（x﹣2）＞0，则解集为{x|x＜2}；

若a≠0时，方程（ax﹣2）（x﹣2）=0的两根分别为2；

①若a＜0，则＜2，此时解集为{x|＜x＜2}；

②若0＜a＜1，则＞2，此时解集为{x|x＜2或x＞}；

③若a=1，则不等式化为（x﹣2）2＞0；此时解集为{x|x≠2}；

④若a＞1，则＜2，此时解集为{x|x＞2或x＜}【分析】【分析】已知不等式左边分解因式后，分a=0与a≠0两种情况求出解集即可．六、综合题(共3题，共15分)30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接A