2024-2025学年新教材高中数学第4章指数与对数章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册

PAGE1-指数与对数[巩固层·学问整合][提升层·题型探究]指数的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[思路点拨]依据指数的运算性质进行计算，但应留意乘法公式的应用．eq\o([跟进训练])1．对数的运算1．对数的运算应遵循的原则对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2．对于底数相同的对数式的化简常用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．【例2】计算下列各式：eq\o([跟进训练])3．计算下列各式：(1)eq\f(1,2)lg25＋lg2＋lgeq\r(10)＋lg(0．01)－1；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－3log55．[解](1)法一：原式＝lg[25eq\s\up12(eq\f(1,2))×2×10eq\s\up12(eq\f(1,2))×(10－2)－1]＝lg(5×2×10eq\s\up12(eq\f(1,2))×102)＝lg10eq\s\up12(eq\f(7,2))＝eq\f(7,2)．法二：原式＝eq\f(1,2)lg52＋lg2＋eq\f(1,2)lg10－lg10－2＝(lg5＋lg2)＋eq\f(1,2)－(－2)＝lg10＋eq\f(1,2)＋2＝1＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(7,2)．(2)法一：原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1．法二：原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2－3＝－1．利用对数的运算性质进行求值对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题，假如附加条件比较困难，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．详细解决方法：(1)留意指数式与对数式的互化，有些须要将对数式化为指数式，而有些须要将指数式化为对数式；(2)留意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思索，留意已知条件和所求式子的前后照应．【例3】若lga＋lgb＝4，lga·lgb＝eq\f(1,4)，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解]lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgb,lga)＋\f(lga,lgb)))＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb2＋lga2,lgalgb)＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb＋lga2－2lgalgb,lgalgb)＝4×eq\f(42－2×\f(1,4),\f(1,4))＝248．eq\o([跟进训练])4．若logab＋3logba＝eq\f(13,2)，则用a表示b的式子是．b＝eq\r(a)或b＝a6[原式可化为eq\f(1,logba)＋3logba＝eq\f(13,2)，整理得3(logba)2＋1－eq\f(13,2)logba＝0，即6(logba)2－13logba＋2＝0．解得logba＝2或logba＝eq\f(1,6)，所以b2＝a或beq\s\up12(eq\f(1,6))＝a．即b＝eq\r(a)或b＝a6．]5．已知lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求log2eq\f(a,b)的值．[解]因为lga＋lgb＝2lg(a－2b)，所以lgab＝lg(a－2b)2，ab＝(a－2b)2，a2－5ab＋4b2＝0，即(a－b)(a－4b)＝0，所以a＝b或a＝4b．又因为a－2b>0，所以a＝4b，log2eq\f(a,b)＝log24＝2．解简洁的指数和对数方程解简洁的指数和对数方程的三种方法(1)化同底：将指数方程变形为am＝an⇔m＝n．形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M>0，,N>0))求解．(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．(3)换元法：设t＝ax(t＝logax)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x．【例4】依据下列条件，分别求实数x的值：(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；(2)32x＋1－6x＝22x＋2．[解](1)原方程可化为log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝eq\f(4,3)．经检验知，原方程的解为x＝eq\f(4,3)．(2)原方程可化为3×32x－2x×3x－4×22x＝0，因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，则3×3x－4×2x＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)＝eq\f(4,3)，解得x＝logeq\s\do12(eq\f(3,2))eq\f(4,3)．eq\o([跟进训练])6．解下列关于x的方程：(1)lgeq\r(x－1)＝lg(x－1)；(2)log4(3－x)＋log0．25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0．25(2x＋1)．[解](1)原方程等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x－1)＝x－1,x－1>0.))解之得x＝2．经检验x＝2是原方程的解，所以原方程的解为x＝2．(2)原方程可化为log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2