2024-2025学年高中数学第二章统计2.1.3分层抽样学案含解析新人教A版必修3

PAGE2．1.3分层抽样[目标]1.记住分层抽样的特点和步骤；2.会用分层抽样从总体中抽取样本；3.给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样．[重点]用分层抽样抽取样本．[难点]三种抽样方法的联系与区分以及抽样方法的选择．学问点一分层抽样的概念[填一填]1．定义一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样．2．适用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采纳分层抽样．[答一答]1．分层抽样适合于什么样的总体？分层抽样有什么特点？提示：当总体是由差异明显的几部分组成时，用分层抽样．分层抽样仍具有逐个抽取、不放回、等可能性等特点．2．分层抽样有什么优点？提示：分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在每个层中进行抽样时，又可敏捷地采纳简洁随机抽样或其他抽样方法．学问点二分层抽样的步骤[填一填]1．依据已驾驭的信息，将总体分成若干部分；2．依据总体中的个体数N和样本容量n计算出抽样比k＝eq\f(n,N)；3．依据抽样比k计算出各层中应抽取的个体数：eq\f(n,N)·Ni(其中Ni为第i层所包含的个体总数)．4．按步骤3所确定的数在各层中随机抽取个体，并合在一起得到容量为n的样本．[答一答]3．分层抽样公允吗？提示：分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关．4．某全日制高校共有学生5600人，其中专科生有1300人，本科生有3000人，探讨生有1300人，现采纳分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的状况，抽取的样本容量为280，则应在专科生、本科生与探讨生这三类学生中分别抽取65人，150人，65人．解析：抽样比是eq\f(280,5600)＝eq\f(1,20)，则应在专科生、本科生与探讨生这三类学生中分别抽取1300×eq\f(1,20)＝65(人)，3000×eq\f(1,20)＝150(人)，1300×eq\f(1,20)＝65(人)．类型一分层抽样的概念[例1](1)下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取看法，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，凹地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D．从50个零件中抽取5个做质量检验(2)分层抽样又称为类型抽样，即将相像的个体归入一类(层)，然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必需进行()A．每层内等可能抽样B．每层内不等可能抽样C．全部层用同一抽样比D．全部层抽同样多样本容量[解析](1)A的总体容量较大，宜采纳系统抽样方法；B的总体容量较小，用简洁随机抽样法比较便利；C的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采纳分层抽样方法；D与B类似．(2)由分层抽样的定义和特点可知，全部层用同一个抽样比，等可能抽样．[答案](1)C(2)C分层抽样运用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区分，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取.[变式训练1]某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习爱好与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采纳的抽样方法是(D)A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法解析：由于被抽取的个体的属性具有明显差异，所以宜采纳分层抽样法．类型二分层抽样的设计[例2]某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．[分析]eq\x(视察特征)→eq\x(确定抽样方法)→eq\x(求出比例)→eq\x(确定各层样本数)→eq\x(从各层中抽样)→eq\x(成样)[解]因机构改革关系到每个人的不同利益，故采纳分层抽样方法较妥．∵eq\f(100,20)＝5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4.∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．因副处级以上干部与工人数都较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采纳抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采纳00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的状况．(2)更充分体现和反映了总体的状况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．[变式训练2]某电视台在因特网上就观众对某一节目的宠爱程度进行调查，参与调查的总人数为12000，其中持各种看法的人数如下表所示：很宠爱宠爱一般不宠爱2435456739261072电视台为了进一步了解观众的具体想法和看法，准备从中再抽取60人进行更为具体的调查，应怎样进行抽样？解：采纳分层抽样，由题意知抽样比为eq\f(60,12000)＝eq\f(1,200).“很宠爱”的有2435人，应抽取2435×eq\f(1,200)≈12(人)；“宠爱”的有4567人，应抽取4567×eq\f(1,200)≈23(人)；“一般”的有3926人，应抽取3926×eq\f(1,200)≈20(人)；“不宠爱”的有1072人，应抽取1072×eq\f(1,200)≈5(人)．因此，采纳分层抽样的方法，从“很宠爱”“宠爱”“一般”“不宠爱”的人中分别抽取12人，23人，20人和5人．类型三三种抽样方法的综合应用[例3]为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成果进行统计分析，为了全面反映实际状况，实行以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：①从全年级20个班中随意抽取一个班，再从该班随意抽取20人，考察他们的学习成果；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成果；③把学生按成果分成优秀、良好、一般三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成果分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人)．依据上面的叙述，回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中各自采纳何种抽样方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．[解](1)三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成果，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成果．第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成果，样本容量为20；其次种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成果，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成果，样本容量为100.(2)三种抽取方式中，第一种方式采纳的是简洁随机抽样法；其次种方式采纳的是系统抽样法和简洁随机抽样法；第三种方式采纳的是分层抽样法和简洁随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这20个班中用抽签法随意抽取一个班；其次步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成果．其次种方式抽样的步骤如下：第一步：各个班的学生按1,2,3，…编号；其次步：在第一个班中，用简洁随机抽样法随意抽取某一学生，记其编号为a；第三步：在其余的19个班中，选取编号为a的学生，共计20人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层．若按成果分，其中优秀生共150人，良好生共600人，一般生共250人，总体由差异明显的三部分组成，所以在抽取样本时，应把全体学生分成三个层次．其次步：确定各个层次抽取的人数．因为样本容量与总体个体数的比为1001000＝110，所以在每个层次抽取的个体数依次为eq\f(150,10)，eq\f(600,10)，eq\f(250,10)，即15,60,25.第三步；按层次分别抽取．在优秀生中用简洁随机抽样法抽取15人；在良好生中用简洁随机抽样法抽取60人；在一般生中用简洁随机抽样法抽取25人．选择抽样方法的步骤(1)推断总体是否由差异明显的几个部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简洁随机抽样或系统抽样；(2)推断总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采纳抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采纳随机数法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采纳系统抽样．[变式训练3]完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买实力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担状况．这两项调查宜采纳的抽样方法依次是(B)A．①简洁随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简洁随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样解析：①总体中高收入、中等收入、低收入家庭有明显差异，故用分层抽样；②总体容量与样本容量都较小，故采纳简洁随机抽样．1．分层抽样适合的总体是(C)A．总体容量较多B．样本容量较多C．总体中个体有差异D．任何总体解析：总体中个体差异明显时，采纳分层抽样较好．故选C.2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中随意抽取25人，从女生中随意抽取20人进行调查，这种抽样方法是(D)A．简洁随机抽样法 B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样法解析：因为男生和女生的健康状况不一样，所以宜采纳分层抽样，且有eq\f(25,500)＝eq\f(20,400)＝eq\f(1,20).故该抽样方法为分层抽样．3．一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比是431，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为(A)A．20,15,5 B．4,3,1C．16,12,4 D．8,6,2解析：三种灯泡依次抽取的个数为40×eq\f(4,8)＝20,40×eq\f(3,8)＝15,40×eq\f(1,8)＝5.故选A.4．在120人中，青年人有65人，中年人有15人，老年人有40人，从中抽取一个容量为20的样本．(1)求采纳简洁随机抽样、系统抽样、分层抽样时，每个人被抽到的概率；(2)写出用分层抽样抽取样本的步骤．解：(1)简洁随机抽样，每个个体被抽到的概率是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6)；系统抽样，将120人随机匀称地分成20组，每组6人，每组取1人，则每个个体被抽到的概率是eq\f(1,6)；分层抽样，青年人、中年人、老年人的人数之比为1338，即抽取青年人的人数是20×eq\f(13,24)＝eq\f(65,6)≈11，每个青年人被抽到的概率是eq\f(65,6)÷65＝eq\f(1,6)；同理，可求得每个中年人、老年人被抽到的概率都是eq\f(1,6).综上可知，不论采纳哪一种抽样方法，每个人被抽到的概率都是eq\f(1,6).(2)第一步：依据青年、中年、老年把总体分为三层；其次步：计算各层的抽取人数：青年人的人数为20×eq\f(65,120)＝eq\f(65,6)≈11，中年人的人数为20×eq\f(15,120)＝eq\f(5,2)≈2，老年人的人数为20×eq\f(40,120)＝eq\f(