2024-2025学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和课时作业含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE4课时作业11等差数列的前n项和时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(C)A．8B．10C．12D．14解析：设等差数列{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式，得S3＝3×2＋eq\f(3×2,2)d＝12，解得d＝2，则a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12.2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(C)A．1B．2C．4D．8解析：等差数列{an}中，S6＝eq\f(a1＋a6×6,2)＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C.3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(D)A．8B．7C．6D．5解析：由a1＝1，公差d＝2，得an＝2n－1.又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5，故选D.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满意5<ak<8，则k等于(B)A．9B．8C．7D．6解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－9n)－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10；当n＝1时，a1＝S1＝－8，满意上式．所以an＝2n－10(n∈N*)．由5<ak<8得5<2k－10<8，解得7.5<k<9.又k∈N*，因此k＝8.5．已知数列{an}和{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1＋b1＝5，a1、b1∈N*.设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于(C)A．55B．70C．85D．100解析：∵an＝a1＋(n－1)·1＝a1＋n－1，bn＝b1＋(n－1)·1＝b1＋n－1，∴abn＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n－1)－1＝n＋3.∴数列{cn}是等差数列，其首项为4，公差为1.∴数列{cn}的前10项和等于10×4＋eq\f(10×10－1,2)＝85.故选C.6．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项和T10＝(B)A．70B．75C．80D．85解析：∵an＝2n＋1，∴数列{an}是等差数列，首项a1＝3，其前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝eq\f(n3＋2n＋1,2)＝n2＋2n，∴bn＝eq\f(1,n)Sn＝n＋2，∴数列{bn}也是等差数列，首项b1＝3，公差为1，∴其前10项和T10＝10×3＋eq\f(10×9,2)×1＝75，故选B.二、填空题7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，则S6＝48.解析：由S4＝4×eq\f(1,2)＋eq\f(4×3,2)×d＝20，得d＝3，所以S6＝6×eq\f(1,2)＋eq\f(6×5,2)×3＝48.8．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若S12＝8S4，则eq\f(a1,d)＝eq\f(9,10).解析：∵S12＝12a1＋eq\f(12×11,2)d，S4＝4a1＋eq\f(4×3,2)d，∴12a1＋66d＝32a1＋48d.∴20a1＝18d，∴eq\f(a1,d)＝eq\f(18,20)＝eq\f(9,10).9．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n·2n－1，则a3＋a4＋a5＝152.解析：a3＋a4＋a5＝S5－S2＝(5×25－1)－(2×22－1)＝152.三、解答题10．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且aeq\o\al(2,11)＝a1a13.(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：(1)设{an}的公差为d.由aeq\o\al(2,11)＝a1a13，得(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2，由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝eq\f(n,2)(a1＋a3n－2)＝eq\f(n,2)(－6n＋56)＝－3n2＋28n.11．设正数数列{an}的前n项和Sn满意Sn＝eq\f(1,4)(an＋1)2，求数列{an}的通项公式．解：当n＝1时，a1＝S1＝eq\f(1,4)(a1＋1)2，解得a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,4)[(an＋1)2－(an－1＋1)2]．整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列．∴an＝2n－1.——实力提升类——12．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d改变时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是(C)A．S17B．S18C．S15D．S14解析：由a5＋a8＋a11＝3a8是定值，可知a8是定值，所以S15＝eq\f(15a1＋a15,2)＝15a8是定值．故选C.13．已知等差数列{an}的前20项和S20＝260，则a6＋a9＋a11＋a16＝52.解析：∵S20＝eq\f(20a1＋a20,2)＝260，∴a1＋a20＝26.∴a6＋a9＋a11＋a16＝(a9＋a11)＋(a6＋a16)＝2a10＋2a11＝2(a10＋a11)＝2(a1＋a20)＝52.14．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，则m＝10.解析：因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am.由am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，得2am－aeq\o\al(2,m)＝0.由S2m－1＝38知am≠0.所以am＝2.又S2m－1＝38，即eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝38，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.15．某公司确定给员工增加工资，提出了两个方案，让每位员工自由选择其中一种．甲方案是公司在每年年末给每位员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元．(1)你会怎样选择增资方案？请说明你的理由．(2)若保持方案甲不变，而方案乙中每半年末的增资额改为a元，问a为何值时，方案乙总比方案甲增资多？(说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数)解：(1)设甲方案第n次的增资额为an，则an＝1000n，第n年末的增资总额为Tn＝eq\f(n1000＋1000n,2)＝500n(n＋1)．乙方案第n年末的增资总额为S2n＝eq\f(2n300＋300×2n,2)＝300n(2n＋1)．∴Tn－S2n＝100n(2－n)，当n＝1时，Tn>S2n；当n＝2时，Tn＝S2n；当n≥3时，Tn<S2n.∴只工作一年选择甲方案；只工作两年，随意选；工作两年以上选乙方案．(2)Tn＝500n(n＋1)，S2n＝an(2n＋1)，由已知条件得S2n>Tn，即a>500·eq\f(n＋1,2n＋1)＝250eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4