2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语本章小结学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE4-第一章本章小结专题一命题及其关系本章常用逻辑用语所涉及的内容主要有以下两方面：(1)命题的四种形式及原命题与其逆否命题的等价性，以及含有一个量词的全称命题、特称命题的否定．(2)充分条件、必要条件的判定，充要条件的证明及应用．【例1】写出命题“平行四边形的对角线相互平分”的逆命题、否命题、逆否命题，并推断真假．【分析】结合四种命题的概念写出逆命题、否命题、逆否命题，再结合它们的关系及命题的详细含义进行真假的推断．【解】原命题：平行四边形的对角线相互平分，是真命题；逆命题：对角线相互平分的四边形是平行四边形，是真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不相互平分，是真命题；逆否命题：对角线不相互平分的四边形，不是平行四边形，是真命题．【例2】写出下列命题的否定．(1)各数位数字之和能被3整除的整数都能被3整除；(2)有的素数是偶数；(3)全部的人都喝水；(4)存在有理数x0，使xeq\o\al(2,0)－2＝0.【分析】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，要特殊留意量词的改变．【解】(1)存在各数位数字之和能被3整除的整数不能被3整除；(2)全部的素数都不是偶数；(3)有的人不喝水；(4)∀x∈Q，x2－2≠0.【例3】已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求方程有两正根的充要条件．【分析】先求出方程有两个实根的充要条件，再探讨x2的系数及运用根与系数的关系求出要求的充要条件．【解】方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≠0,a＋22＋161－a≥0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1，,a≤2，或a≥10，))即a≥10，或a≤2，且a≠1.设此时方程的两实根为x1，x2，有两个正根的充要条件是：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1,a≤2，或a≥10,x1＋x2>0,x1·x2>0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠1,a≤2，或a≥10,\f(a＋2,a－1)>0,\f(4,a－1)>0))⇔1<a≤2，或a≥10.即方程有两个正根的充要条件是1<a≤2，或a≥10.专题二复合命题真假推断1．推断复合命题真假的方法：(1)p∧q形式的复合命题，当p、q都为真时，p∧q为真，当p、q中至少有一个为假时，p∧q为假．(2)p∨q形式的复合命题，当p、q至少有一个为真时，p∨q为真，当p、q都为假时，p∨q为假．(3)綈p形式的复合命题，当p为真时，綈p为假；当p为假时，綈p为真．2．推断复合命题真假的步骤：(1)确定这个复合命题的构成形式；(2)推断其中简洁命题的真假；(3)依据其真值表推断复合命题的真假．【例4】设命题p：若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；命题q：eq\f(a,b)<0⇔ab<0.给出下列四个复合命题：①p或q；②p且q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]本题考查简洁命题与复合命题的真假关系．由已知条件简洁推断命题p为假，命题q为真．再由简洁命题和复合命题的真假关系可知：①p或q为真；②p且q为假；③綈p为真；④綈q为假．[答案]C【例5】命题p：函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1满意f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)．命题q：函数g(x)＝sin(2x＋θ)＋1可能是奇函数(θ为常数)．则复合函数“p或q”“p且q”“非q”为真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]对命题p：y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.令2x－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)得函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,6))＋1的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，k∈Z，故x＝eq\f(π,3)适合，即f(eq\f(π,3)＋x)＝f(eq\f(π,3)－x)成立．所以p为真．对命题q：若g(x)为奇函数，因为g(x)的定义域为R，则有g(0)＝0，即sinθ＝－1.所以θ＝2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z.所以q为真，所以可推断真命题的个数为2.[答案]C专题三全称命题与特称命题全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必需对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成马上可．否则，这一特称命题为假．[解析]AB⇔存在x∈A，有x∉B，故①错误；同理②③均错；④正确．[答案]④专题四反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定“若p，则綈q”，由此进行推理，假如发生冲突，那么就说明“若p，则綈q”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，从而达到证明的目的．反证法是中学数学的一种基本方法，在前面学习的不等式和立体几何的证明中用到，在高考题中也常常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要，下面举例说明．[例7]设函数f(x)＝2x2＋mx＋n，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1.【分析】由于欲证结论的状况繁杂，因而不妨从其反面入手，故用反证法．【证明】假设原命题不成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|f1|<1，,|f2|<1，,|f3|<1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<2＋m＋n<1，①,－1<8＋2m＋n<1，②,－1<18＋3m＋n<1.③))①＋③得－11<2m＋n<－9与②冲突，所以假设不成立．即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1.【点评】(1)较相宜运用反证法的常见状况：①以“至少……”或“至多……”的形式为结论的命题；②涉及“