【压轴专练】专题10 圆的综合问题（解析版）-2021-2022学年九上压轴题攻略

专题10圆的综合问题例1．如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，．（1）求证：；（2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：连接OB，如图所示：∵直线与⊙O相切于点D，∴，∵，∴，∵OD是⊙O的半径，∴，∴，∵，∴；（2）∵E是的中点，∴，，∴，∴，∵⊙O的半径为4，∴，∵是⊙O的直径，∴，∴AB=4，，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：．【变式训练1】如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且DE=OE（1）求证：∠BAC＝3∠ACD；（2）点F在弧BD上，且∠CDF＝∠AEC，连接CF交AB于点G，求证：CF＝CD；（3）在（2）的条件下，若OG＝4，FG=11，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明：如图1中，连接OD，OC，设∠D＝x．∵ED＝EO，∴∠D＝∠EOD＝x，∵OD＝OC，∴∠D＝∠OCD＝x，∴∠CEO＝∠D+∠EOD＝2x，∠COB＝∠OEC+∠OCD＝3x，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠A+∠ACO＝∠COB＝3x，∴∠A＝∠ACO＝x，∴∠ACD＝x，∴∠BAC＝3∠ACD．（2）证明：连接CO，延长CO交DF于T．由（1）可知，∠AEC＝180°﹣2x，∵∠AEC＝2∠CDF，∴∠CDF＝90°﹣x，∴∠CDF+∠DCO＝90°，∴CT⊥DF，∴DT＝TF，∴CD＝CF．（3）解：连接CO，延长CO交DF于T，过点O作OM⊥CD于M，ON⊥CF于N．由（2）可知，CD＝CF，CT⊥DF∴∠DCO＝∠FCO＝x，∵ON⊥CF，OM⊥CD，∴OM＝ON，设OE＝DE＝a，OA＝OB＝2R，∵∠GEC＝∠GCE＝2x，∴GE＝GC＝a+4，∴CD＝CF＝CG+FG＝15+a，∴EC＝CD﹣DE＝15，∵＝＝，∴，∴a2+4a﹣60＝0，∴a＝6或﹣10（舍弃），∴CG＝10，∵CG•FG＝AG•GB，∴110＝（R+4）（R﹣4），∴R＝3或﹣3，∴⊙O的半径为3．【变式训练2】如图，是的切线，是直径，是弦，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，连接，的平分线交于点，求的值．【解析】（1）证明：如图，连接，．∵，，．∴．是的切线，是直径，∴，∴是的切线．为的两条切线，平分，又，，，（内错角相等，两直线平行），，，均为等腰三角形，设圆的半径为，则，在中，，在中，，，．【变式训练3】如图，AB是⊙O的直径．CD⊥AB于点E，G是BC上任意一点，连接GD交AB于点F，连接AD，AG．（1）求证：∠ADC＝∠AGD．（2）若CD＝AG，①求证：△ADG是等腰三角形．②连接BG，若BF＝2，BG＝3，求⊙O的半径．【解析】（1）连接AC，如图，∴∠ACD＝∠AGD，∵CD⊥AE，∴AC＝AD，∴△ACD是等腰三角形，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ADC＝∠AGD．（2）①∵CD＝AG，∴∠CAD＝∠ADG，∵∠ACD＝∠ADC＝∠AGD在△ACD和△AGD中，，∴△ACD≌△AGD（ASA）∴由（1）得△ACD是等腰三角形，∴△ADG是等腰三角形．②连接DO、GO，设⊙O的半径为r，∵AD＝DG，DO＝DO，OA＝OG，∴△AOD≌△GOD（SSS），∴∠ADO＝∠GDO，∴OD⊥AG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB＝90°，即BG⊥AG，∴OD∥BG，∴△BGF～△ODF，∴，即，∴r＝6，即⊙O的半径为6．故答案为：（1）见解析；（2）①见解析；②⊙O的半径为6【变式训练4】如图，在中，，以为直径作交于点D，过点D作的切线，交于点E，交的延长线于点F．（1）求证：；（2）当，时