第章投影变换讲课资料

第六章投影变换§6-1概述§6-2换面法基本要求

基本要求（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。6.1概述

当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。a

abb

两点之间距离a

abb

c

c三角形实形a

abb

c

cdd

直线与平面的交点a

b

c

d

abcd

两平面夹角

换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1换面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H体系变为V1/H体系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影体系的建立V1/H体系称为新投影体系；V/H体系为旧投影体系。V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。(2)新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。2.新投影面的选择原则V1HV1∥ABC1.点的一次变换X1V1a1

6.2.2点的投影变换规律V/H

V1/H

a1

a

XVHaVHXX1V1a1

X1HV1a

Aa变换V面时点的投影作图V1a1

（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。2.点的投影变换规律H1X1点在V/H1体系中的投影X1H1Va1a1V/H体系变为V/H1体系V/H1体系称为新投影体系；V/H体系为旧投影体系。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。H1称为新投影面；H称为旧投影面；V称为不变投影面。a23.点的两次变换X2H2V12X2a2V/H

V1/H

V1/H2

第一次变换时的旧、不变、新投影新投影不变投影旧投影新轴旧轴值得提醒的是:在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。V/H

V1/H

V1/H2

V3/H2

V/H

V/H1

V2/H1

V2/H3

如:V1X11.将一般位置直线变换为投影面的平行线a1

b1

a1

b1

X1V1H6.2.3直线的换面将一般位置直线变换为V1面的平行线一次换面即可[例题1]

将一般位置直线变换为H1面的平行线X1H1Va1b1

X1H1Va1b12.将投影面平行线变换为投影面的垂直线b

b1X1a1b1一次换面即可3.将一般位置直线变换为投影面的垂直线V1X1a1

b1

2a2b2需要二次换面X2一般位置直线变换为投影面垂直线的作图X2H2V1a2b2X1HV1a1

b1

[例题2]求点C到直线AB的距离空间分析c'2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkk'k1b'2a'2距离k'2c1k1∥

X2[例题3]求两平行直线AB与CD间的距离X2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

提示a

aXb

bcdc

d

VHX2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

作图cdc

d

c2d2d1

c1

距离2

1

1'12'11222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b'1a'1d'1c'121b

[例题4]求交叉两直线AB与CD的公垂线ABH2Ⅱ∥H2ⅠⅠⅡABⅡCDⅠH2ABⅡDCⅠ1222c2d21222c2d2a

c

XVHb

bac1.将一般位置平面变换为投影面的垂直面cdd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1Vd

b1a1c1d16.2.4平面的换面一次换面即可k1X1H1Vb1a1c1d1s1[例题5]求点S到平面ABC的距离距离Nd

dX1VH1k1e1[例题6]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e

。b1a1c1d1有两解e

e

HACXVc

b

a

B2.将投影面垂直面变换为投影面的平行面V1c1

b1

a1

X1X1V1c1

a1

b1

一次换面即可aba1

c1

b1

X1d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H13.将一般位置平面变换为投影面的平行面实形需要二次换面