高考数学一轮复习单元质检卷八立体几何（A）理北师大版

单元质检卷八立体几何（4）

（时间:45分钟满分：100分）

一、选择题（本大题共6小题,每小题7分，共42分）

1.（2019届广东湛江调研测试,10）设爪〃是两条不同的直线，。、£是两个不同的平面，下列命题

中正确的是（）

A.。C£-/?,/废a,m//B=m//n

B.。_L万，aC\B=m,mA.e〃_L£

C.加_L〃，底ayni£=。_L£

D.m//a、碍a=m//n

2.（2019届山东青岛调研，11）如图,在正方体ABCD-A瓜CD中,£为棱能的中点,用过点4£G的平

面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为（）

3.（2019甘肃师大附中期中,8）某几何体的三视图如下图所示,数量单位为cm,它的体积是（）

D.—cm

4.已知正方体ABCD-ABG",平面a过直线BDfa_L平面ARC,an平面ARC=m,平面B过直线

4G,6〃平面他C£0平面力如4千,则勿,〃所成角的余弦值为

C.叱

5.（2019届湖南桃江一中期中，5）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为

（）

A.25nB.26nC.32n

6.已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥

中,最短的棱和最长的棱所在直线所成角的余弦值为（）

A*B.g

CU-2

二、填空题（本大题共2小题,每小题7分，共14分）

7.（2019广东深圳实验中学、珠海一中等六校联考，15）在三棱锥〃T8C中,比1底面48G力庆

_1_况且三棱锥D的每个顶点都在球。的表面上,则球。的表面积为.

8.如图,在三棱锥ST比中，SA=SB=SC,旦4ASB=/BSC=4CSA4加、N分别是44和SC的中点.则异

面直线SM与刚『所成的角的余弦值为,直线SV与平面SJC所成角的大小

为.

三、解答题（本大题共3小题，共44分）

9.（14分）如图,在三棱锥STBC中,平面S1员1平面ABC,△SI8是等边三角形，已知

AC=2AB=A,BCC瓜

⑴求证:平面力8_L平面SAC;

⑵求二面角B-SC-A的余弦值.

10.（15分）（2019湖南师范大学附中模拟，⑻如图，。A£乜二面角的大小为0,AWa,B

££,点/在直线/上的射影为4,点6在直线/上的射影为B、.已知力叫2"4=1,BBS

⑴若"=120°,求直线力8与平面£所成角的正弦值;

⑵若夕=90°,求二面角4TA的余弦值.

11.（15分）（2019届江苏徐州期中）如图,在平行四边形ABCD中H力庐2,/ABC9四边形ACEF

为矩形,平面/妤J_平面ABCD,AFA,点、必在线段用上运动,且一一:

畤S•厩⑷X3昆型,故选C.

4.D如图所示，：•物，平面力笈C平面a过直线能a_L平面48C

・：平面a即为平面胸1几

设ACCBD=O,

・：。C平面ABGOBkm.

丁平面4G〃过直线4G,与平面力8c平行,而平面B过直线4G,6〃平面ARC,

・：平面4G。即为平面G平面ADDiA]=A{D=n,

又A\D"BG

.:饵〃所成角为N阳以

由△/“为正三角形,则脸吟故选D.

5G

5.C三视图对应的几何体如图所示,其中的J_平面ABC,NABCRO。，所以该四面体的四个面都是

直角三角形且〃力N,故四面体外接球的直径为心正,故外接球的表面积为

4nX(2烟飞27，故选C.

6.A由三视图还原几何体如图.

几何体是三棱锥A-BCD,满足平面力a?_L平面BCD,且ADA.CD,BCLCD.

最短棱为CD,最长棱为AB.在平面BCD内，过点3作BE//CD,且BE=CD,连接DE,

•:四边形物先为正方形,可得AE丸品、在Rt△/族中,求得4,F+必近)23,

,\CQSZ.ABE=­*5

即最短的棱和最长的棱所在直线所成角的余弦值为:.故选A.

7.36冗因为三棱锥ZH4比中,如_L底面力式;所以加工仍又因为4反L比"?和⑵相交于点C故

得到力反L面比〃故得到46垂直于BD,又因为比'垂直于面ABC,故於垂直于AC,故三角形和三

角形力勿均为直角三角形,有公共斜边力〃取力〃中点为。点,根据直角三角形斜边的中点为外心得

到。到4、B、C、〃四个点的距离相等,故点0是球心，球的半径为3,由球的面积公式得

SNn"=36n.故答案为36n.

8.亚J因为/力58=/必7=/咐三,所以以5为坐标原点,9,5«,5。为*,匕2轴建立空间直角坐

544

标系.

设SA=SB=SC=2t则必(1,1,0),8(0,2,0),M0,0,1)"(2,0,0),f(0,0,2).

因为--(1,1,0),--(0,-2,1),cos<~\—岑，

V2Xv55

所以异面直线与"V所成的角的余弦值为¥，平面外。一个法向量为--(0,2,0),则由

0

CC.S<一,,―9脸尚得<一\除即直线SW与平面外C所成角大小为不

9.⑴证明在△a>!中，YABACAABCt/、

・・・A#+AG=BC,故ABLAC.

又平面$18_L平面ABC,平面力8n平面力比与18,,：47_L平面SAB.

又力生平面SAC,所以平面外81平面SAC.

⑵解如图建立空间直角坐标系,4(0,0,0),6(2,0,0),5(1,0,V3),f(0,4,0),

二(1,-4,V3),—*=(-2,4,0)：--(0,4,0),

设平面S砥的法向量〃二（才,必Z）,由「2J；3"=0则〃@1,T）-

>

设平面SCA的法向量〃尸（a,8,。），由|（4=0，历

（._4+V3=0

.:勿0,1）,・：cosS,%

・：二面角B-SC-A的余弦值为等.

10.解（1）如图，过点N作平面£的垂线交于点G连接四、圆,

因为AGLB,所以/力法是AB与£所成的角.在RtARM中，NOMWO°,力4可，."6号.

在中，止2,/6喙sinNABG*,故也与平面B所成的角的正弦值为印

（2）如图,建立坐标系，

则4(0,0,0),J(0,0,1),5(0,1,0),MV2,1,0).

在四上取一点Av,y,力，则存在WR,使得一』_；即(*,y,zT)=Z(诵,1,T),

•:点尸的坐标为(调1-t).

要使—f"*，—\须-•—M),

即(施玄t,1-t)•(V2,1,-1)4X),解得

4

・:点尸的坐标为（黑,智

-----------»_/©I3\

••1-（丁守力

设E为超的中点,则点£的坐标为（0,gj）.

又——,——二伴，"）・（加，1,一1）六一4

一L

1______________§--+而_1_y/3

.：N4朦为所求二面角的平面角.又cos/4座Tzzr1

-指咕+卷・指+拚总廨=3,

.：二面角4-5的余弦值醇

11.解(1)在△力比'中，力6=1,8。刃加2,N4比二,贝1］力。力5,所以力必力4d=%，即/班。斗0°.因为四边

V

形力口为矩形,所以FAyAC,因为平面力处_L平面ABCD,平面力缈口平面ABCD=ACt*星平面ACER

所以用J_平面ABCD.

建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(0,0,O),M1,0,0),f(0,V3,C),P(-1,V3,0),£(0,V3,1),WO,0,1),

当人邓寸,----------i-------------»

~2

所以也(0,*1).

所以一--(1,0.1)