福建省南平市政和县实验中学2020年高三数学文月考试卷含解析

/福建省南平市政和县实验中学2020年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足(其中为虚数单位)，则复数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知，若恰有两个根,则的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：D由题意，所以，从而，求导可得，当时，，当时，，所以函数在，所以选D.点睛：判断函数零点问题，可以转化为方程的根或者两个函数的交点问题，特别是选择题、填空题，通过函数图像判断较简单。涉及至少、至多这类问题的证明可以考虑反证法，注意假设的结论是求证问题的反面，即原命题的非命题。3.计算等于（

）A．4－5i

B．3－4i

C．5－4i

D．4－3i参考答案：A4.由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣ D．ln2+参考答案：D【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】利用定积分的几何意义，首先表示平面图形，然后计算定积分．【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；故选：D．【点评】本题考查了定积分的应用；关键是将曲边梯形的面积正确利用定积分表示，然后正确计算．5.给出下列五个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容易为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本另一位同学的编号为23；②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同；③一组数据a、0、1、2、3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=ax+b中，b=2,,则a＝1；⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克，并且小于104克的产品的个数是90。其中真命题为（A）①②④

（B）②④⑤

(C)②③④

(D)④③⑤参考答案：B6.已知等边△ABC中，D、E分别是CA、CB的中点，以A、B为焦点且过D、E的椭圆和双曲线的离心率分别为、，则下列关于、的关系式不正确的是()A．

B．

C．

D.参考答案：A7.已知

，其中为虚数单位，则（

）

A.－1

B．1

C．2

D．3

参考答案：A略8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A．B．C．D．参考答案：D9.已知平面上的点，则满足条件的点在平面上组成的图形的面积为_______A.

B.

C.

D.参考答案：D10.函数在其定义域上是A．周期为的奇函数

B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数

D．周期为的偶函数参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成的阴影部分的面积S：①先产生两组0～1的增均匀随机数，a=rand（），b=rand（）；②产生N个点（x，y），并统计满足条件的点（x，y）的个数N1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当N=1000时，N1=332，则据此可估计S的值为．（保留小数点后三位）参考答案：1.328【考点】几何概型．【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计，满足条件的点（x，y）的概率，再转化为几何概型的面积类型求解．【解答】解：根据题意：满足条件的点（x，y）的概率是，矩形的面积为4，设阴影部分的面积为s则有=，∴S=1.328．故答案为：1.328．【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想．12.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为

．参考答案：3

13.函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为____________?参考答案：14.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是

参考答案：15.定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2…ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．参考答案：14【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；

0，0，0，1，0，1，1，1；

0，0，0，1，1，0，1，1；

0，0，0，1，1，1，0，1；

0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；

0，0，1，0，1，1，0，1；

0，0，1，1，0，1，0，1；

0，0，1，1，0，0，1，1；

0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；

0，1，0，0，1，1，0，1；

0，1，0，1，0，0，1，1；

0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．16.已知cos=，coscos=，coscoscos=，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是_________．参考答案：17.在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是

．参考答案：答案：y2=8x解析：设抛物线的方程为y2=2px，把点(2，4)带入可求得焦参数p=4，故所求的抛物线的方程为y2=8x。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分8分)某人计划开垦一块面积为32平方米的长方形菜地，同时要求菜地周围要留出前后宽2米，左右宽1米的过道（如图），设菜地的长为米.（1）试用表示菜地的宽；（2）试问当为多少时，菜地及过道的总面积有最小值，最小值为多少？参考答案：（1）菜地的宽为米 ――――――――――3分 （2） 当且仅当，即时取“＝” 所以，当时，菜地及过道的总面积有最小值，最小值为72平方米。 ――――――――――――8分19.（2014?郑州二模）在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】（1）圆O的方程即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，可得圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．（2）由，可得直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），由此求得线l与圆O公共点的极坐标．【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．直线l：，即ρsinθ﹣ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．（2）由，可得

，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），故直线l与圆O公共点的一个极坐标为．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．20.（本小题满分14分）已知函数在上是减函数，在上是增函数．⑴求的值，并求的取值范围；⑵判断在其定义域上的零点的个数．参考答案：解：⑴由已知得……1分，因为在上是减函数，在上是增函数，所以在处取得极小值，……2分，解得……3分，又因为在上是增函数，所以，……4分，当时，，所以的取值范围是……5分，ks5u⑵由⑴得，解得或……6分，－＋－递减极小值递增极大值递减……9分①当时，由上表知，，取某个充分大的实数（例如）时，，在定义域上连续，所以在区间上有一个零点，从而在其定义域上有1个零点……10分；②当时，在区间上有一个零点，从而在其定义域上有2个零点……11分；ks5u③当时，（ⅰ）若，则，取某个充分小的实数（例如）时，，所以在区间上有一个零点，从而在其定义域上有2个零点……12分；（ⅱ）若，则时，由上表知，，在区间上有一个零点，从而在其定义域上有1个零点……13分；（ⅲ）若，则时，在区间、、上各有一个零点，从而在其定义域上有3个零点……14分；综上所述，当或时，在其定义域上有1个零点；当或时，在其定义域上有2个零点；当时，在其定义域上有3个零点．略21.（本大题12分）

如图，四棱锥中，∥,侧面为等腰直角三角形，，平面底面，若，．（I）求证：；（II）是否存在实数，使直线∥平面，若存在，求出的值，若不存在，说明理由；（III）求点到平面的距离．参考答案：（I）证明：略；

（II）存在，；

（III）．

略22.有一种新型的洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放,且个单位的洗衣液，它在水中释放的浓度与时间(小时)的关系可近似地表示为:，其中；若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，只有当水中洗衣液的浓度不低于时，才能起到有效去污的作用.(Ⅰ)如果只投放1个单位的洗衣液，则能够维持有效去污作用的时间有多长?(Ⅱ)第一次投放1个单位的洗衣液后,当水中洗衣液的浓度减少到时,马上再投放1个单位的洗衣液，设第二次投放后水中洗衣液的浓度为,求的函数解析式及其最大值；

（Ⅲ）若第一次投放2个单位的洗衣液，4小时后再投放个单位的洗衣液，要使接下来的2小时中能够持续有效去污,试求的最小值．