安徽省池州市2024-2025学年九年级上学期拔高性检测数学试卷

安徽省池州市2024-2025学年度九年级拔高性检测数学试卷考试范围：九年级上全部和下部分内容，满分：150分．考试时间：120分钟注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级第I卷（选择题）一、单选题1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（）A. B.C D.3.如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（）A. B. C. D.4.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（）A. B. C. D.15.已知二次函数和，，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时6.在同一平面直角坐标系中，函数与图象可能是（）A. B.C. D.7.如图，在平行四边形ABCD中，，，，过的中点作，垂足为点，延长交的延长线于点，连接，则的长为（）A.4 B. C.8 D.8.对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（）A.1 B. C. D.9.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.10.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝2，④FG+GH＝GO，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4第II卷（非选择题）二、填空题11.已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量x的取值范围是___________；12.如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则的值为_______．13.如图，中，点D在上，，若，则线段的长为________．14.如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C．（1）若，，则___________；（2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下___________三、解答题15.计算：16.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．（1）求一次函数与反比例函数解析式；（2）若点与点关于轴对称，求的面积；（3）根据图象直接写出不等式的解集．17.如图，三个顶点坐标分别是A0,3，，．（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标．（2）的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？18.如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．（1）求∠C的度数；（2）求B处船与小岛C的距离（结果保留根号）．19.某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件．（1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？（2）降价多少元时，平均每天盈利最大？20.如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝6，试求cos∠CDA的值．21.如图，是一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接．（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：平分．22.如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．23.（1）①如图1，、都是等腰直角三角形，点在线段上，．求证：；②如图2，当，时，求线段的长；（2）如图3，，，，，求的长．

安徽省池州市2024-2025学年度九年级拔高性检测数学试卷考试范围：九年级上全部和下部分内容，满分：150分．考试时间：120分钟注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级第I卷（选择题）一、单选题1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则此项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；故选：B．2.如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理．【详解】解：A、∵，，∴，不符合题意，B、∵，，∴，不符合题意，C、根据无法得到，符合题意，D、∵，∴，又∵，∴，不符合题意，故选：C．3.如图，把一张矩形纸片沿着和边的中点连线对折，要使矩形正好与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】根据题意可知，矩形与矩形相似，，设,，则，，即，，，原矩形长与宽的比为，故选：C．4.如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，先由网格的特点得到，进而利用勾股定理求出，在中，求出的值即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作于E，由网格的特点可知，∴，∴，即，故选B．5.已知二次函数和，，则下列说法正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断．【详解】解：当时，，整理得，，，解得或；当时，，整理得，，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．6.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限；当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．观察图形可知，只有A选项符合题意．

故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k和b的符号对函数图象的影响是解题的关键．7.如图，在平行四边形ABCD中，，，，过的中点作，垂足为点，延长交的延长线于点，连接，则的长为（）A4 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】先根据sinB求出EF＝4，证明△BFE≌△CGE，求出FG，DG，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠B＝∠ECG，∠BFE＝∠G．∵AB＝5，AD＝10，∴BC＝10，CD＝5．∵E是BC中点，∴BE＝ECBC＝5，∵sinB，EF⊥AB，∴EF＝4，∴BF＝3，在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE（AAS），∴CG＝BF＝3，EF＝EG＝4．∴FG＝8，DG＝CD+CG＝8，∵EF⊥AB，∴∠G＝90°，∴DF82．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．8.对于每个非零自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示这两点间的距离，则的值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（为常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．通过解方程得，，则、两点为，，则，则，进一步计算即可．【详解】解：当时，，因式分解得：，解得：，，∴、两点为，，∴，∴．故选：D．9.在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，那么能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分①0<t≤4时，根据点B的坐标和矩形的性质表示出OA、OC，根据MN∥AC表示出OM、ON，根据三角形的面积公式列式整理得到S与t的关系式；②t＞4时，表示出AM、CN、BM、BN，然后根据△OMN的面积为S等于矩形OABC的面积减去直角三角形OAM的面积减去直角三角形MBN的面积减去直角三角形NCO的面积，列式整理得到S与t的关系式，从而得解．【详解】解：①0<t≤4时，∵点B(4，3)，∴OA=4，OC=3，∵，，，ON=t，∴OM=t，S==；②t＞4时，如图，∵，，，，，，AM=，，∵，，，，，CN=，．纵观各选项，C选项图形符合．故选C．【点睛】本题考查动点问题函数图象，主要利用了矩形的性质，解直角三角形，根据直线m的移动分两种情况求出△OMN的面积的表达式是解题的关键．10.如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，BH⊥AE于点G，连接OG，则下列结论中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝2，④FG+GH＝GO，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】①根据正方形ABCD的性质，可得AC⊥BD，∠AOF＝∠BOH＝90°，又BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG，即∠OAF＝∠OBH，进而可证△AOF≌△BOH（ASA），即OF＝OH.②根据∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，可得△AOF∽△BGF③根据点E是BC的中点，可得AB＝BC＝2BE，又因为∠AOB＝∠AGB＝90°，故A、B、G、O四点共圆，由圆周角定理推论可知∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，由∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，可得∠GOH＝∠AEB，求得tan∠GOH＝tan∠AEB＝＝2④过点O作OM⊥OG，交GH延长线于点M，证得∠FOG=∠HOM，∠OMH=∠OGF，由AAS证得△OMH≌△OGF得出OG=OM，FG=HM，则△GOM是等腰直角三角形，得出GM=OG，即可得出FG+GH=GO，④正确；【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，∠ABO＝∠ACB＝45°，∴∠AOF＝∠BOH＝90°，∵BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG，∴∠OAF＝∠OBH，在△AOF和△BOH中，，∴△AOF≌△BOH（ASA），∴OF＝OH，①正确；∵∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，∴△AOF∽△BGF，②正确；∵点E是BC的中点，∴AB＝BC＝2BE，∵∠AOB＝∠AGB＝90°，∴A、B、G、O四点共圆，∴∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，∵∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠GOH＝∠AEB，∴tan∠GOH＝tan∠AEB＝＝2，③正确；过点O作OM⊥OG，交GH延长线于点M，如图所示：

∵∠BOC=∠GOM=90°，

∴∠FOG=∠HOM，

∵∠OMG+∠OGM=90°，∠OGF+∠OGM=90°，

∴∠OMH=∠OGF，

由①正确得：OF=OH，在△OMH和△OGF中，∴△OMH≌△OGF（AAS），

∴OG=OM，FG=HM，

∴△GOM是等腰直角三角形，

∴GM=OG，

∵GM=GH+HM=GH+FG，

∴FG+GH=GO，④正确；正确的个数有4个，故选D．【点睛】本题以正方形为背景，考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理及推论，准确掌握及灵活运用是解题的关键.第II卷（非选择题）二、填空题11.已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量x的取值范围是___________；【答案】【解析】【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案．【详解】解：∵抛物线，过，且对称轴是直线∴与x轴另一个交点为，∴当时，自变量x的取值范围是，故答案为：．12.如图，矩形，双曲线分别交、于、两点，已知，，且，则值为_______．【答案】12【解析】【分析】本题考查了求反比例函数的解析式和矩形的性质．设F点的坐标为，可求得点E的坐标为，根据三角形面积公式得到，解得m的值，即可求得F点的坐标，据此即可求得．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴设F点坐标为，点E的坐标为，，解得，点坐标为，则，整理得：，解得或(不合题意，舍去)，，∵双曲线分别交、于、两点，，故答案为：12．13.如图，中，点D在上，，若，则线段的长为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键．如图：延长到E，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．【详解】解：如图：延长到E，使，连接，∴，∵，，∴，∴，，∴，即，解得：．故答案：．14.如图，中，E，F分别是、上的点，连接并延长交的延长线于C．（1）若，，则___________；（2）连接，作射线与交于G，则在（1）的条件下___________【答案】①.##②.【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加平行线构造相似三角形是解题的关键．①过点A作平行线交延长线于点H，得到，根据对应边成比例即可已知条件即可求解；过点G作交于点P，得到，，根据对应边成比例即可已知条件即可求解．【详解】解：①过点A作平行线交延长线于点H，∴，∴，，∵，∴，∵，∴设，则，∴，故答案为：；②过点G作交于点P，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，设，则，解得：，∴，故答案为：．三、解答题15.计算：【答案】5【解析】【分析】先化简式子，去绝对值、去乘方、求特殊三角函数值.【详解】解：原式=【点睛】本题主要考查了：(1)怎样去绝对值：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.(2)任意不等于0的数的0次方都等于1.(3)特殊角的三角函数值.16.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点与点关于轴对称，求的面积；（3）根据图象直接写出不等式的解集．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）（3）不等式的解集为或．【解析】【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键．（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可；（2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可；（3）根据图象求解即可．【小问1详解】解：反比例函数的图象经过点，，点在上，，．把，坐标代入，则，解得，一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；【小问2详解】解：由（1）知直线，，直线交轴于，，，关于轴对称，，，轴，．点到的距离为．．【小问3详解】解：根据图象得：不等式的解集为或．17.如图，的三个顶点坐标分别是A0,3，，．（1）以原点O为位似中心，在y轴左侧画出，使得与的位似比为，并写出点的坐标．（2）的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是多少？【答案】（1）图见解析，（2）【解析】【分析】本题考查了位似变换，能根据位似中心找到位似图形中对应点的位置是解题的关键．（1）依据位似中心及位似比的大小即可作出；（2）根据位似比和位似图形的位置即可求解．【小问1详解】解：如图所示，【小问2详解】∵与的位似比为，在y轴左侧，∴的内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是18.如图，上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A，B两处分别测得小岛C在北偏东45°和北偏东15°．（1）求∠C的度数；（2）求B处船与小岛C的距离（结果保留根号）．【答案】（1）30°（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）过点B作BD⊥AC与点D，根据已知可求得BD的长，再根据三角函数即可求得BC的长．【小问1详解】解：由题意可知∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠C＝180°－105°－45°＝30°．【小问2详解】解：作BD⊥AC于D点，则∠ADB=∠BDC=90°，在Rt△ABD中，，∠BAC＝45°，∴，在Rt△CBD中，∠C＝30°，∴．即B处船与小岛C的距离为海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是把一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19.某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件．（1）若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？（2）降价多少元时，平均每天盈利最大？【答案】（1）20元（2）15元【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．（1）根据商场平均每天盈利元，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意，可以写出利润与降价之间的函数关系式，然后再根据每件盈利不少于元，可以得到降价的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到降价多少元时，平均每天盈利最大．【小问1详解】解：设若商场平均每天盈利元，则每件衬衣应降价元，，解得∵扩大销售，∴，答：若商场平均每天盈利元，则每件衬衣应降价元；【小问2详解】解：设利润为元，降价元，由题意可得：∵要求每件盈利不少于20元，，解得∴当时，取得最大值，此时，答：降价元时，平均每天盈利最大．20.如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝6，试求cos∠CDA的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根据等腰三角形的性质可得∠E＝∠BDE，从而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；（2）设⊙O的半径为r，则AC＝AD＝3+r，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出r＝5，从而求出BC＝2，然后在Rt△EBC中，根据勾股定理可求出EC的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【小问1详解】证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；【小问2详解】解：设⊙O的半径为r，∵OC＝3，∴AC＝AD＝AO+OC＝3+r，∵BE＝6，∴BD＝BE＝6，在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，∴36+（r+3）2＝（2r）2，∴r1＝5，r2＝﹣3（舍去），∴BC＝OB﹣OC＝5﹣3＝2，在Rt△EBC中，EC＝＝＝2，∴cos∠ECB＝＝＝，∴cos∠CDA＝cos∠ECB＝，∴cos∠CDA的值为．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．21.如图，一个锐角三角形，分别以为边向外作等边三角形、，连接交于点F，连接．（1）求证：；（2）求的度数；（3）求证：平分．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．【解析】【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）由、是等边三角形，易证，继而可证；（2）由，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案；（3）作于点于点N，证明，由，即可得到结论．【小问1详解】证明：、是等边三角形，，∴，；【小问2详解】解：∵，，∴，；【小问3详解】证明：如图，作于点于点N，，，和的面积相等，，，平分．22.如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．【答案】（1）y=-x2-2x+3（2）（-，）（3）满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）【解析】【详解】（1）∵抛物线（）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴OB=3，∵OC=OB，∴OC=3，∴c=3，∴，解得：，∴所求抛物线解析式为：；（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，）（﹣3＜a＜0），∴EF=，BF=a+3，OF=﹣a，∴S四边形BOCE==BF•EF+（OC+EF）•OF===，∴当a=时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（，）；（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P（﹣1，m），∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对