【九上HK数学】安徽省安庆市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

-2025学年度第一学期期末综合素质调研九年级数学试题(考试时间:120分钟，试卷满分:150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．2．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+113．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB4．抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴交点的情况是（）A．有交点 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点5．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（）A． B． C． D．6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB＝90°）量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30° B．50° C．40° D．80°7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）A．AF B．DF C．AE D．DE8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（）A．2：7 B．5：7 C．3：7 D．2：59．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（）A．24m B．20m C．18m D．16m10．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（）A． B． C． D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分本）11．如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是．12．已知反比例函数y＝的图象上有三个点（2，y1），（3，y2），（﹣1，y3），y1，y2，y3大小关系是．13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝．14.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论，①abc＞0；②3a+c＜0：③x＞0时，y随x的增大而增大；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．其中正确的结论有（直接填序号）三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分，请在题卷的相应区域答题.）15．计算：．16．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝6．（1）求线段a，b，c的长；（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），请你分别完成下面的作图．（1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）；（2）以原点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）．18．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）19．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD＝，BC＝4，求AC的长．20．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，m）和（﹣1，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式x﹣2＞的解集；（3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．六．（本题满分12分）21．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）七．（本题满分12分）22．如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动喷水装置应向后平移（即抛物线向左）多少米？八．（本题满分14分）23．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，求证：AD•BC＝AP•BP．（2）探究若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在△ABC中，，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°，若，求CD的长．

参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．【解答】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；B．图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；C．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D．图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意，故选：B．2．将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1 C．y＝﹣（x﹣5）2+11 D．y＝﹣（x﹣1）2+11【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．故选：A．3．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C． D．AC2＝AD•AB【解答】解：A．当∠ACD＝∠B时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；B．当∠ADC＝∠ACB时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；C．当时，再由∠A＝∠A，无法判定△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；D．当AC2＝AD•AB，即时，再由∠A＝∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意．故选：C．4．抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴交点的情况是（）A．有交点 B．没有交点 C．有一个交点 D．有两个交点【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣1，则Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴抛物线y＝x2+3x﹣1与x轴有两个交点．故选：D．5．如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则cosB的值为（）A． B． C． D．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，因为每个小正方形的边长均为1，则由勾股定理得，，．在Rt△ABM中，．故选：C．6．如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC（∠ACB＝90°）量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（）A．30° B．50° C．40° D．80°【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，如图所示：∵以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，∴A、C、B、D四点共圆，∵量角器上点D对应的读数是100°，∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°，∴∠BCD＝∠BOD＝40°．故选：C．7．在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）A．AF B．DF C．AE D．DE【解答】解：根据作图可知，∠ABD＝90°，，设DB＝DF＝a，则AB＝2a，∴根据勾股定理可得：，∴，∴，∴以A为圆心，“AF”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，故A正确．故选：A．8．如图，梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于（）A．2：7 B．5：7 C．3：7 D．2：5【解答】解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H．则BG＝FH＝CD＝3，∴EH＝EF﹣FH＝2，AG＝7，∵AB∥EF，∴EH：AG＝2：7＝DE：AD＝CF：CB，∴CF：FB＝2：5．故选：D．9．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面AB＝48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面AB的高度是9m，则这两盏灯的水平距离EF是（）A．24m B．20m C．18m D．16m【解答】解：设该抛物线的解析式为y＝ax2+12，由题意可得，点A的坐标为（﹣24，0），∴0＝a×（﹣24）2+12，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+12，当y＝9时，9＝﹣x2+12，解得x1＝12，x2＝﹣12，∴点E（﹣12，9），点F（12，9），∴这两盏灯的水平距离EF是12﹣（﹣12）＝12+12＝24（米），故选：A．10．如图，在△ABC中，D、E是BC边的三等分点，BF是AC边的中线，AD、AE分别与BF交于点G、H，若S△ABC＝1，则△AGH的面积为（）A． B． C． D．【解答】解：如图，过F作PF∥BC，交AE于P，过H作HQ∥BC，交AD于Q，∴，∵BF是AC边的中线，∴AF＝FC，∴AP＝PE，∴CE＝2PF，∵D、E是BC边的三等分点，∴BD＝DE＝EC，∴BE＝4FP，∵FP∥BE，∴△PFH∽△EBH，∴，∴，∵HQ∥BE，∴△AQH∽△ADE，△HGQ∽△BGD，∴，∴，∴FH：HG：GB＝2：3：5，∵AF＝FC，∴，∴．故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分本）11．如图，河堤横断面迎水坡BC的坡比是1：，堤高AC＝5m，则坡面BC的长度是10m．【解答】解：Rt△ABC中，AC＝5m，tanB＝1：；∴AB＝AC÷tanB＝5m，∴BC＝＝＝10m．答：坡面BC的长度是10m，故答案为：10m．12．已知反比例函数y＝的图象上有三个点（2，y1），（3，y2），（﹣1，y3），y1，y2，y3大小关系是y3＞y2＞y1．【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣k2﹣1，∴图象的两个分支在二、四象限；∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点（﹣1，y3）在第二象限，点（2，y1）和（3，y2）在第四象限，∴y3最大，∵2＜3，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，∴y3＞y2＞y1．故答案为y3＞y2＞y1．13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝4：25．【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3，∴，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∵DE∥AC，∴△ODE∽△OCA，∴，即S△DOE：S△AOC＝4：25，故答案为：4：25．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论，①abc＞0；②3a+c＜0：③x＞0时，y随x的增大而增大；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，则；⑤对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：由图象可知：抛物线开口向上，则a＞0，对称轴，则b＝﹣2a＜0，c＜0，∴abc＞0，所以①正确；抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，联立，解得，∴3a+c＝3a﹣8a＝﹣5a＜0，所以②正确；当x＞1图象在对称轴右侧，开口向上，y随x的增大而增大，所以③错误；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a﹣5没有实数根，即：ax2﹣2ax﹣8a＝a﹣5，亦即ax2﹣2ax﹣9a+5＝0，∴Δ＝4a2﹣4a（﹣9a+5）＜0，即：40a2﹣20a＜0，亦即：，∵a＞0，∴，所以④正确；对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b＝am2﹣2am﹣a+2a＝am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2≥0，故⑤正确．综上所述，正确的结论有：①②④⑤．三．解答题（共9小题）15．计算：．【解答】解：＝2×﹣×﹣＝﹣﹣2＝﹣2．16．已知线段a，b，c满足a：b：c＝1：3：5，且a﹣b+c＝6．（1）求线段a，b，c的长；（2）若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．【解答】解：（1）设a＝k，b＝3k，c＝5k，∴a﹣b+c＝6，即k﹣3k+5k＝6，解得：k＝2，∴a＝2，b＝6，c＝10；（2）由（1）知a＝2，b＝6，又因为m是a，b的比例中项，∴m2＝ab，即m2＝12，∴，∵m＞0，∴．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2），请你分别完成下面的作图．（1）以原点O为位似中心，在第四象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2：1（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）；（2）以原点O为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）．【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求；；（2）解：如图2所示，△A2B2C2即为所求．18．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．【解答】解：设该门洞的半径的半径为rm，如图，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交圆O于点D，连接OA，则CD＝2.5m，OC＝（2.5﹣r）m，AC＝BC＝AB＝×1＝0.5（m），在Rt△AOC中，由勾股定理得：0.52+（2.5﹣r）2＝r2，解得：r＝1.3，答：该门洞的半径为1.3m．19．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD＝，BC＝4，求AC的长．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD，∵cos∠ACD＝，∴cos∠B＝，∴tan∠B＝，∵BC＝4，∴tan∠B＝，∴＝∴AC＝．20．如图在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣2与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（3，m）和（﹣1，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出不等式x﹣2＞的解集；（3）点P为反比例函数y＝图象的任意一点，若S△POC＝3S△AOC，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点A（3，m）代入直线y＝x﹣2得：m＝1，∴点A的坐标为：A（3，1），∵反比例函数的图象过点A，∴k＝3×1＝3，即反比例函数的解析式为，（2）由（1）得：点A的坐标为：A（3，1），同理可求，点B的坐标为：B（﹣1，﹣3），∴不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞3；（3）把y＝0代入y＝x﹣2得：x＝2，即点C的坐标为：C（2，0），∴，∵S△POC＝3S△AOC，∴，∴|yP|＝3，当点P的纵坐标为3时，则，解得x＝1，当点P的纵坐标为﹣3时，则，解得x＝﹣1，∴点P的坐标为（1，3）或（﹣1，﹣3）．21．为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）（1）求支点C离桌面l的高度；（结果保留根号）（2）当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，保护视力的效果较好．当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加还是减少？面板上端E离桌面l的高度增加或减少了多少？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．由题意得：∠BAF＝90°，∴四边形ABMF为矩形，∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．∵∠ABC＝150°，∴∠MBC＝60°．∵BC＝18cm，∴CM＝BC•sin60°＝18×＝9（cm）．∴CF＝CM+MF＝（9+2）cm．答：支点C离桌面l的高度为（9+2）cm；（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，∴∠EHC＝90°．∵DE＝24cm，CD＝6cm，∴CE＝18cm．当∠ECH＝30°时，EH＝CE•sin30°＝18×＝9（cm）；当∠ECH＝70°时，EH＝CE•sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．22．如图，在斜坡底部点O处安装一个的自动喷水装置，喷水头（视为点A）的高度（喷水头距喷水装置底部的距离）是1.8米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线．当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为8米时，达到最大高度5米．（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上距离O水平距离为10米处有一棵高度为1.75米的小树NM，MN垂直水平地面且M点到水平地面的距离为2米．①记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值（斜坡可视作直线OM）；②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，直接写出自动