2024学年绵阳中学高二数学（上）期末考试卷附答案解析

学年绵阳中学高二数学（上）期末考试卷2025.01一、单选题（本大题共8小题）1．高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（

）A．100名学生是个体B．样本容量是100C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．1000名学生是样本2．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则直线必过定点（

）A． B． C． D．3．如图所示，用一个与圆柱底面成的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，，则下列结论正确的是（

）

A．椭圆的长轴长等于2B．椭圆的离心率为C．椭圆的标准方程可以是D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（

）A． B． C． D．5．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（

）．

A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．，函数的最小值为（

）A．2 B． C． D．8．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（

）

A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知一组数据，则下列结论正确的有（

）A．若，则这组数据的众数为1B．若，则这组数据的分位数为3C．若，则这组数据的平均数的最小值为D．若，则这组数据的平均数的最小值为210．以下说法正确的有（

）A．若且，则一定有四点共面B．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底C．若，则D．正方体，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面上11．已知抛物线和的焦点分别为，动直线与交于两点，与交于两点，其中，且当过点时，，则下列说法中正确的是（

）A．的方程为B．已知点，则的最小值为C．D．若，则与的面积相等三、填空题（本大题共3小题）12．一个袋子中有红､黄､蓝､绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红､黄､蓝､绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：110321230023123021132220001231130133231031320122103233由此可以估计事件M发生的概率为.13．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为.14．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知点，，动点满足，记其轨迹为，与轴交于点，过（异于点）作直线的垂线．(1)求曲线的方程；(2)记到的距离为，到的距离为，证明：为定值．16．黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组50,60，第二组60,70，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.(1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；(3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.17．如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形．(1)求证：平面平面；(2)若，，，求平面和平面夹角的余弦值.18．如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为，，点为椭圆上两点（均位于轴上方），且满足，面积的最大值为2，椭圆的离心率小于，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：为定值.19．如图，为坐标原点，抛物线的焦点是椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，椭圆的长轴，离心率．（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）过点作直线交于两点，射线，分别交于两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案1．【答案】B【详解】根据有关的概念并且结合题意可得总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，根据选项可得选项A、D表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、D都错误．C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．B：样本的容量是100正确．故选:B．2．【答案】A【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上，由题意和椭圆方程可得：，即，可得，所以直线必过定点.故选：A.3．【答案】C【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面所成锐二面角得，解得，故A不正确；显然，则，离心率，故B不正确；当以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为，故C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D不正确.故选：C4．【答案】B【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，当直线，则，则，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，所以满足条件的有4种情况，所以满足条件的概率.故选：B5．【答案】D【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，建立直角坐标系，表示出相应点的坐标以及向量和法向量，利用距离公式即可求出.【详解】平面,平面,平面,∴直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.

则设平面的法向量为，则，令，则设点到平面的距离为，则故直线到平面的距离为.故选D.6．【答案】A【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故，所以抛物线的方程为，焦点坐标为，设直线的方程为，不妨设，联立方程，整理得，则，故，又，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选A.7．【答案】C【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，易知，显然.当且仅当重合时取得等号.故选：C8．【答案】A【详解】如下图，连接，设，则，

因为，，所以，，在△中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为.故选：A.9．【答案】ABC【详解】对于A，数据中1出现次数最多，则众数为1，故A正确；对于B，数据从小到大排序为1，1，1，2，3，3，4，4，又，则这组数据的分位数为第六个数据，即3，故B正确；对于CD，由，可得，当且仅当时取等号，则平均数最小值为，故C正确，D错误.故选：ABC10．【答案】ACD【详解】A项，若与不共线，则可以将与看作一组基底，由且，由共面向量基本定理可知与共面，即四点共面；若与共线，则存在，使，则，即三点共线，故也共面，故A正确；B项，由，即与共面，不能作为空间基底，故B错误；C项，因为，则，故C正确；D项，由图可知，，设，，，，显然，，故与共面，即E在平面上，故D正确；故选：ACD.11．【答案】BCD【详解】当过点时，设，联立，可得，，故，解得，则，故A错误；过点向的准线引垂线，垂足分别为，点到的准线的距离，由抛物线定义可知，等号成立当且仅当点为与抛物线的交点，故正确；设，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正确；，故，注意到，可得，所以，从而与的面积相等，故D正确.故选：BCD12．【答案】【分析】求出事件M发生的情况即可求出概率.【详解】事件A包含红色小球和黄色小球，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0，1的有110，021，001，130，031，103，共6组，故所求概率为.故答案为：.13．【答案】25【解析】因为点是椭圆上的一点，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．14．【答案】【详解】设，则，，，两式相减，得，即，即，同理可求得，而的斜率之和为，所以故答案为：15．【答案】(1)且；(2)证明见解析；【详解】（1）由题设，则，所以所求曲线方程为且.（2）由题设及圆的性质，显然直线斜率必存在，如下图，不妨设，且，则到的距离为，到的距离为，令且，则，故，所以，则，综上，，为定值.16．【答案】(1)，(2)第二组、第四组的方差是(3)【详解】（1）由题意可知：，解得可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均数等于，（2）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，且两组频率之比为，成绩在第二组、第四组的平均数成绩在第二组、第四组的方差，故估计成绩在第二组、第四组的方差是.（3）设“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，“丙解出该题”为事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题”为事件，由题意得，所以，所以，所以乙、丙各自解出该题的概率为，则，因为，所以，因为相互独立，所以，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为.17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得，平面，从而得到，即可证明平面，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面和平面夹角的余弦值；【详解】（1）∵为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，∴．∵四边形为矩形，平面，∴，平面，又平面，∴，又∵，平面，平面，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的法向量为，则，即，令，得，所以．设平面的法向量为，则，即，令，得，，所以，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为．18．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意，得解得所以椭圆的标准方程为.（