2024学年重庆市长寿中学高一数学上学期期末测试卷附答案解析

学年重庆市长寿中学高一数学上学期期末测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”否定为（）A.， B.，C.， D.，2.已知集合，．若，则（）A.4B.2或2C.2 D.23.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.4.若且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.5.已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.若幂函数的图象过点，则的定义域是（）A. B. C. D.7.已知函数，则函数的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.58.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.为了得到函数的图象，只需（）A.将函数的图象向左平移个单位长度B.将函数的图象向左平移个单位长度C.将函数图象向左平移个单位长度D.将函数的图象向右平移个单位长度10.若定义域为.对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（）A.是倒数函数B.是倒数函数C.若在上是倒数函数，则D.若存在m>0，使得在定义域上是倒数函数，则11.已知函数的图象在上是连续的，定义，，则下列说法正确的是（）A.若，，则，，，B.设，若，则实数的取值范围为0,2C.设，若，则实数的取值范围为D.已知，若对任意恒成立，则实数的最小值为2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数.若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________，4个零点之和的取值范围是__________.13已知函数，且，则______．14.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设全集，集合．（1）若集合A恰有一个元素，求实数a的值；（2）若，求．16.设函数.（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；（2）解关于的不等式；17.某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：时间月1234浮萍的面积35917现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中均为常数，且.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意，不等式都成立，求实数s的最大值．19.函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，．（1）求并证明函数为奇函数；（2）证明：函数在上单调递增；（3）若关于不等式恒成立，求的取值范围．2024学年重庆市长寿中学高一数学上学期期末测试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.【详解】命题“，”的否定为“，”.故选：B2.已知集合，．若，则（）A.4 B.2或2C.2 D.2【答案】C【解析】【分析】根据交集结果求参数值即可.【详解】因为,，，所以若，则，，与题意不符，所以，则，经验证，此时满足题意.故选：C3.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，则，，且，所以，，当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.4.若且，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用赋值法即可判断ABC错误，由不等式性质计算可得D正确.【详解】对于A，易知当时，满足，但不成立，因此A错误；对于B，当时，显然不成立，故B错误；对于C，当，，因此错误；对于D，易知，由可得，即D正确.故选：D5.已知函数满足对任意的，，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件得到在定义域上单调递减，再利用分段函数、一次函数、反比例函数的性质，即可求解.【详解】因为，且，不妨设，则，，所以在定义域上单调递减，当时，在区间上单调递减，所以，当时，，，为减函数，又，解得，综上：故选：A6.若幂函数的图象过点，则的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先确定幂函数解析式，再求给定函数的定义域.【详解】设幂函数，由.所以.由，所以所求函数的定义域为：.故选：B7.已知函数，则函数的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先求出的解析式，再分段解方程即可得零点.【详解】当即时，，当即时，，所以当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点；当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点，综上所述函数的零点个数为4，故选：C.8.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可得解.【详解】由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是．则扇面（曲边四边形）的面积是.故选：C二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.为了得到函数的图象，只需（）A.将函数的图象向左平移个单位长度B.将函数的图象向左平移个单位长度C.将函数的图象向左平移个单位长度D.将函数的图象向右平移个单位长度【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的图象变换和诱导公式，进行逐一判断选项.【详解】对于选项A，的图象向左平移个单位长度，可得的图象,故A正确;对于选项B，的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故B错误；对于选项C，的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故C正确；对于选项D，的图象向右平移个单位长度，可得图象，故D正确.故选：ACD10.若定义域为.对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（）A.是倒数函数B.是倒数函数C.若在上是倒数函数，则D.若存在m>0，使得在定义域上是倒数函数，则【答案】AC【解析】【分析】翻译题目可得在定义域上是“倒数函数”当且仅当，其中的值域、的值域分别为，对于AB，直接根据等价命题判断即可，对于C，首先求得，根据倒数函数的定义可得（1）且（2），解出即可判断；对于D，对进行适当划分并分类讨论，由必要性得，反过来验证充分性是否成立即可.【详解】由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得；即当且仅当的值域是的值域的子集，定义的值域、的值域分别为，所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当；对于A，的值域为，而的值域为，显然满足，又为增函数，故唯一性成立，故A正确；对于B，由对勾函数性质可得，的值域为，而的值域为，不满足，故B错误；对于C，由题意在上是倒数函数，首先当时，单调递减，此时，由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）；从而在时的值域为，由题意，所以要满足题意，还需满足（2）；只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，又在上递减，故唯一性成立，故C正确；对于D，必要性：情形一：当时，在定义域上单调递增，则，若在定义域上是倒数函数，首先，此时的值域为，同时注意到不成立，故不符合题意；情形二：当时，在定义域上单调递增，则，若在定义域上是倒数函数，首先，此时的值域为，同时注意到不成立，故不符合题意；情形三：当时，注意到的对称轴为，则，（i）当时，，由二次函数性质可知存在使得，即此时，若在定义域上是倒数函数，首先，此时的值域为，同时注意到不成立，故不符合题意；（ii）当时，由二次函数性质可知，即此时，注意到，若在定义域上是倒数函数，首先，其次结合，可得应该满足；充分性：，有，此时的值域为，，，故存在，使，此时存在两个，使，不合题意，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解决C选项的关键是要依次得出（1）以及（2），解决D选项的关键在于先由必要性求参数，再验证充分性即可.11.已知函数的图象在上是连续的，定义，，则下列说法正确的是（）A.若，，则，，，B.设，若，则实数的取值范围为0,2C.设，若，则实数的取值范围为D.已知，若对任意恒成立，则实数的最小值为2【答案】ACD【解析】【分析】根据所给定义求出，，即可判断A；根据在上不减，即可判断B；根据在上不增，即可判断C；根据函数的单调性求出，，即可得到，再参变分离求出的取值范围，即可判断D.【详解】对于A：因为在上单调递减，所以，，故A正确；对于B：若，则在上不减，所以，解得，故B错误；对于C：若，则在上不增，所以在上递增且恒正，所以，解得，故C正确；对于D：因为在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，因为对任意恒成立，所以对恒成立①，对恒成立②，对恒成立③，其中①可得对恒成立，而，所以；②可得对恒成立，而，所以；③可得对恒成立，又，函数在上单调递增，所以，所以；综上可得实数的取值范围为，则实数的最小值为，故D正确.

故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数.若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是__________，4个零点之和的取值范围是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据对数函数的性质化简函数y=fx的解析式，进而画出函数图象；将题干中的零点问题转化为两个函数图象的交点问题；结合对数运算，二次函数的对称性，对勾函数的单调性，即可求解【详解】由题意，，则函数的大致图象如下：由函数有4个不同的零点，得函数y=fx的图象与直线有4个不同的交点，如图所示，则，解得.设函数y=gx的四个零点从小到大依次为，由，得，即，解得，由二次函数的对称性可知，由图可知，又对勾函数在上单调递增，所以，因此，.故答案为：12,1；13.已知函数，且，则______．【答案】【解析】【分析】根据，结合两角和的正弦公式可化简，利用即可得到的值.【详解】由题意得，，因为，所以，即，因为，所以当时，．故答案为：.14.若关于的不等式的解集为，则的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后将都表示成的形式即可得解.【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设全集，集合．（1）若集合A恰有一个元素，求实数a的值；（2）若，求．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根据方程只有一个解，由求解；（2）由，求得集合A，B，再由集合的补集交集运算求解.【小问1详解】解：因为集合，且集合A恰有一个元素，所以，解得；【小问2详解】因为集合，且，所以，，解得，，所以，则．16.设函数.（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；（2）解关于的不等式；【答案】（1）（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值.（2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集.【小问1详解】函数，又有且只有一个元素，则方程有且仅有一个根，当时，，即，则，满足题设；当时，，即，则，满足题设，所以的取值集合为.【小问2详解】依题意，，整理得，当时，解得；当时，无解；当时，解得，综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.17.某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：时间月1234浮萍的面积35917现有以下两种函数模型可供选择：①，②，其中均为常数，且.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.【答案】（1）应选择函数模型②，（2），理由见解析【解析】分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后计算可求解析式；（2）根据指数幂运算公式计算可求解.【小问1详解】应选择函数模型②.依题意，得，解得，所以关于的函数解析式为.【小问2详解】，理由如下：依题意，得，，，，.18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值．【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）（3）最大值为.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.【小问1详解】对于函数的定义域内存在，则无解，故不是“依赖函数”.【小问