2024-2025学年甘肃省武威八中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年甘肃省武威八中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l：2x−y+1=0的方向向量可以是(

)A.(1,2) B.(2,1) C.(2,−1) D.(−1,2)2.曲线y=lnx在点(e,1)处的切线方程为(

)A.y=ex−2 B.y=1ex C.y=ex−3.已知直线ax+2y−1=0与直线2x−3y+4=0垂直，则a=(

)A.43 B.−43 C.−34.五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽.若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为(

)A.12种 B.48种 C.72种 D.120种5.二项式(x−2A.80 B.−80 C.−40 D.406.过点A(−1,4)作圆(x−2)2+(y−3)2=4的切线，切点为BA.5 B.3 C.6 7.如图，已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，P，Q为双曲线A.105

B.52

C.8.如图所示，点F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=4x及圆(x−1)2+y2=16的实线部分上运动，且A.(2,6)

B.(5,8)

C.(8,12)

D.(8,10)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(2x2−1A.展开式中所有项的系数和为256

B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

C.展开式中含x项的系数为−448

D.展开式中二项式系数的最大项为第四项10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是(

)A.从六门课程中选两门的不同选法共有20种

B.课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种

C.课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种

D.课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种11.已知函数f(x)(x∈[−3,5])的导函数为f′(x)，若f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.f(x)在(−2,1)上单调递增 B.f(x)在(−12,83)上单调递减

C.f(x)在x=−2处取得极小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线l过点(2,1)，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______．13.已知不等式ex−a≥x恒成立，则a的取值范围是______．14.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且存在点x0∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=f′(x0)(b−a)，则称x0为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的中值点.试求函数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，问有多少种参赛方案？

(2)从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？

(3)4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x3+ax+1在x=−1处取得极值．

(1)求实数a的值；

(2)当x∈[−1,2]时，求函数f(x)17.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,2)，且其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线AB18.(本小题17分)

已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(−2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．

(3)已知定点G(1,2)，点D19.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2+ax−xlnx的导函数为f′(x)．

(1)若a=−1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f′(x)存在两个不同的零点x1，x2，求实数a的取值范围；

(3)在(2)的条件下，证明：参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.B

6.C

7.D

8.D

9.BC

10.BC

11.ACD

12.3x−y−5=0

13.(−∞,1]

14.ln(e−1)15.解：(1)从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，有A64=360种参赛方案；

(2)从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，有C64=15种选法；16.解：(1)f(x)=x3+ax+1⇒f′(x)=3x2+a，

函数f(x)=x3+ax+1在x=−1处取得极值，

所以有f′(−1)=0⇒3(−1)2+a=0⇒a=−3，经检验满足题意；

(2)由(1)可知：f(x)=x3−3x+1⇒f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，

当x∈(−1,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

故函数在17.解：(Ⅰ)抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，

由题意得4a2+2b2=1a2=b2+22，

解得a2=8，b2=4，

所以椭圆C的方程为x28+y24=1．

(Ⅱ)直线l的斜率存在，设斜率为k，

直线l的方程为y−1=k(x+2)，即y=kx+2k+1，

联立y=kx+2k+1x28+18.(本小题满分14分)

解：(1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，

∴其虚半轴长b=c2−a2=3，

又其焦点在x轴上，

∴双曲线C的标准方程为x2−y23=1．

(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

则3x12−y12=33x22−y22=3

两式相减，得3(x1−x2)(x1+x19.解：(1)若a=−1，f(x)=x2−x−xlnx，f′(x)=2x−lnx−2，∴f′(1)=0，且f(1)=0，

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=0．

(2)f′(x)=2x−lnx+a−1，设g(x)=2x−lnx+a−1,g′(x)=2−1x,x>0．

令g′(x)=0，得x=12，在(0,12)上，g′(x)<0，在(12,+∞)上，g′(x)>0，

∴g(x)在(0,12)上单调递减，在(12,+∞)上单调递增，

∴g(x)min=g